Kompleksni brojevi

Imaginarno I kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.

Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski

predstavljanje kompleksnih brojeva. Kompleksna ravan.

Modul i argument kompleksnog broja. Trigonometrijski

oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivreova formula.

Osnovne informacije o imaginarni I kompleksni brojevi dati su u odjeljku “Zamišljeni i kompleksni brojevi”. Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь D– diskriminanta kvadratne jednačine). Dugo vremena ovi brojevi nisu našli fizičku primjenu, zbog čega su nazvani „imaginarnim“ brojevima. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim područjima fizike.

i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi su napisane u obliku:a+bi. Evo a I b – realni brojevi , A i – imaginarna jedinica, tj. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b – ordinatakompleksni broja + bi .Dva kompleksna brojaa+bi I a–bi su pozvani konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni dogovori:

1. Realni brojAtakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a + 0 i ili a – 0 i. Na primjer, zapisi 5 + 0i i 5 – 0 iznači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Zapisbiznači isto što i 0 + bi.

3. Dva kompleksna brojaa+bi Ic + dismatraju se jednakim akoa = c I b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi I c + dise naziva kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i.dakle, prilikom dodavanja kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.

Ova definicija odgovara pravilima za operacije sa običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika dva kompleksna brojaa+bi(smanjen) i c + di(subtrahend) se naziva kompleksnim brojem (a–c ) + (b–d ) i.

dakle, Prilikom oduzimanja dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.

Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi I c + di naziva se kompleksnim brojem:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi I c + dimora se množiti kao algebarski binomi,

2) broj iima glavnu imovinu:i 2 = – 1.

PRIMJER ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . dakle, rad

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

Division. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) drugimc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + f i(chat), koji kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, rezultira dividendoma + bi .

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Rješenje Zapišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i

I Nakon što smo izvršili sve transformacije, dobijamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta Aznači broj –3, tačkaB– broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sliku). Ovaj koordinatni sistem se zove kompleksna ravan .

Modul kompleksni broj je dužina vektoraOP, koji predstavlja kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog brojaa+bi označeno | a+bi| ili pismo r

Korištenje kalkulatora

Da biste procijenili izraz, morate unijeti string za procjenu. Prilikom unosa brojeva, razdjelnik između cijelog broja i razlomaka je tačka. Možete koristiti zagrade. Operacije nad kompleksnim brojevima su množenje (*), deljenje (/), sabiranje (+), oduzimanje (-), stepenovanje (^) i druge. Možete koristiti eksponencijalne i algebarske oblike za pisanje kompleksnih brojeva. Unesite imaginarnu jedinicu i moguće je i bez znaka množenja u drugim slučajevima, znak množenja je potreban, na primjer, između zagrada ili između broja i konstante. Mogu se koristiti i konstante: broj π se upisuje kao pi, eksponent e, svi izrazi u indikatoru moraju biti okruženi zagradama.

Primjer linije za izračun: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), što odgovara izrazu \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkulator može koristiti konstante, matematičke funkcije, dodatne operacije i složenije izraze možete se upoznati sa ovim funkcijama na stranici općih pravila za korištenje kalkulatora na ovoj stranici.

Stranica je u izradi, neke stranice možda neće biti dostupne.

Vijesti

07.07.2016
Dodan kalkulator za rješavanje sistema nelinearnih algebarskih jednačina: .

30.06.2016
Stranica ima responzivni dizajn; stranice se prikazuju na odgovarajući način na velikim monitorima i mobilnim uređajima.

Sponzor

RGOnline.ru – trenutno rješenje za elektrotehnički rad na mreži.

Prisjetimo se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.

Kompleksni broj je izraz forme a + bi, Gdje a, b su realni brojevi, i i- takozvani imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat jednak –1, tj i 2 = –1. Broj a pozvao pravi deo, i broj b - imaginarni deo kompleksni broj z = a + bi. Ako b= 0, onda umjesto toga a + 0i pišu jednostavno a. Može se vidjeti da su realni brojevi poseban slučaj kompleksnih brojeva.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima su iste kao i nad realnim brojevima: mogu se međusobno sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti. Sabiranje i oduzimanje se odvijaju prema pravilu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a množenje slijedi pravilo ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(ovdje se koristi da i 2 = –1). Broj = a – bi pozvao kompleksni konjugat To z = a + bi. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućava da shvatite kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim (koji nije nula) kompleksnim brojem:

(Na primjer, .)

Kompleksni brojevi imaju zgodan i vizuelan geometrijski prikaz: broj z = a + bi može biti predstavljen vektorom sa koordinatama ( a; b) na kartezijskoj ravni (ili, što je skoro ista stvar, tačka - kraj vektora sa ovim koordinatama). U ovom slučaju, zbir dva kompleksna broja je prikazan kao zbir odgovarajućih vektora (koji se mogu pronaći pomoću pravila paralelograma). Prema Pitagorinoj teoremi, dužina vektora sa koordinatama ( a; b) je jednako . Ova količina se zove modul kompleksni broj z = a + bi i označava se sa | z|. Ugao koji ovaj vektor stvara sa pozitivnim smjerom x-ose (brojano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) naziva se argument kompleksni broj z i označava se sa Arg z. Argument nije jednoznačno definiran, već samo do zbrajanja višestrukog broja 2 π radijani (ili 360°, ako se računaju u stepenima) - na kraju krajeva, jasno je da okretanje za takav ugao oko početka neće promeniti vektor. Ali ako je vektor dužine r formira ugao φ s pozitivnim smjerom x-ose, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ ; r grijeh φ ). Odavde ispada trigonometrijska notacija kompleksni broj: z = |z| · (cos(Arg z) + i sin (Arg z)). Često je zgodno pisati kompleksne brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje proračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je vrlo jednostavno: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin (Arg z 1 + Arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja, množe se njihovi moduli i dodaju argumenti). Odavde slijedite Moivreove formule: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i grijeh( n· (Arg z))). Koristeći ove formule, lako je naučiti kako izvući korijene bilo kojeg stepena iz kompleksnih brojeva. n-ti korijen od z- ovo je kompleksan broj w, Šta w n = z. To je jasno , I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- 1). To znači da uvek postoji tačno n korijenje n stepena kompleksnog broja (na ravni se nalaze na vrhovima regularnog broja n-gon).

Klasa 12 . Kompleksni brojevi.

12.1. Definicija kompleksnih brojeva u algebarskom obliku. Poređenje i predstavljanje kompleksnih brojeva na kompleksnoj ravni. Kompleksno uparivanje. Zbrajanje, množenje, dijeljenje kompleksnih brojeva.

12.2. Modul, argument kompleksnog broja.

12.3. Trigonometrijski i eksponencijalni oblici pisanja kompleksnog broja.

12.4. Podizanje na cijeli broj i izdvajanje korijena kompleksnog broja.

Definicija kompleksnih brojeva u algebarskom obliku. Poređenje i predstavljanje kompleksnih brojeva na kompleksnoj ravni. Kompleksno uparivanje. Zbrajanje, množenje, dijeljenje kompleksnih brojeva.

Kompleksni broj u algebarskom obliku je broj

Gdje
pozvao imaginarna jedinica I
- realni brojevi:
pozvao pravi (stvarni) dio;
- imaginarni deo kompleksni broj . Kompleksni brojevi forme
su pozvani čisto izmišljeni brojevi. Skup svih kompleksnih brojeva je označen slovom .

A-priorat,

Skup svih realnih brojeva je dio seta
: . S druge strane, postoje kompleksni brojevi koji ne pripadaju skupu . Na primjer,
I
, jer
.

Kompleksni brojevi u algebarskom obliku nastaju prirodno kada se rješavaju kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantom.

Primjer 1. Riješite jednačinu
.

Rješenje. ,

Dakle, data kvadratna jednadžba ima kompleksne korijene

,
.

Primjer 2. Pronađite stvarne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva

,

,
.

Prema tome, stvarni i imaginarni dijelovi broja ,

Bilo koji kompleksni broj
predstavljen vektorom na kompleksnoj ravni , predstavlja ravan sa Dekartovim koordinatnim sistemom
. Početak vektora leži u tački , a kraj je u tački s koordinatama
(Slika 1.) Os
naziva se realna osa, a osa
- imaginarna osa kompleksne ravni .

Kompleksni brojevi se međusobno upoređuju samo znakovima
. . Ako je barem jedna od jednakosti:
prekršena, dakle
. Zapisi tipa
nema smisla.

Po definiciji, složeno broj
naziva se kompleksnim konjugatom broja
. U ovom slučaju pišu
. Očigledno je da
. Svugdje ispod, prečka iznad kompleksnog broja znači kompleksnu konjugaciju.

Na primjer, .

Možete izvoditi operacije nad kompleksnim brojevima kao što su sabiranje (oduzimanje), množenje i dijeljenje.

1. Sabiranje kompleksnih brojeva uradjeno ovako:

Svojstva operacije sabiranja:

- svojstvo komutativnosti;

- svojstvo asocijativnosti.

Lako je vidjeti da je geometrijski sabiranje kompleksnih brojeva
znači dodavanje onih koji im odgovaraju na ravni vektora prema pravilu paralelograma.

Operacija oduzimanja broja od broja uradjeno ovako:

2. Množenje kompleksnih brojeva uradjeno ovako:

Svojstva operacije množenja:

- svojstvo komutativnosti;

- svojstvo asocijativnosti;

- zakon distributivnosti.

3. Podjela kompleksnih brojeva izvodljivo samo sa
i radi se ovako:

.

Primjer 3. Nađi
, Ako .

Primjer 4. Izračunati
, Ako .

z, jer
.

.(jao!)

Nije teško provjeriti (predlaže se da to sami učinite) valjanost sljedećih izjava:

Modul, argument kompleksnog broja.

Modul kompleksnog broja
(modul označeno sa ) je nenegativan broj
, tj.
.

Geometrijsko značenje - dužina vektora koji predstavlja broj na kompleksnoj ravni . Jednačina
definira skup svih brojeva (vektori po ), čiji krajevi leže na jediničnom krugu
.

Argument kompleksnog broja
(argument označeno sa
) ovo je ugao u radijanima između realne ose
i broj na kompleksnoj ravni , i pozitivan ako se računa od
prije suprotno od kazaljke na satu i negativan ako mjereno od ose
prije u smjeru kazaljke na satu.

Dakle, argument broja određuje se dvosmisleno, do termina
, Gdje
. Definitivno brojčani argument određeno unutar jednog kruga jediničnog kruga
na površini . Obično morate pronaći
unutar intervala
,ova vrijednost se naziva glavna vrijednost argumenta broja i određen je
.

I
brojevi može se naći iz jednačine
, pri čemu Nužno treba uzeti u obzir, u kojoj četvrtini aviona nalazi se na kraju vektora - tačka
:

Ako
(1. četvrtina aviona ), To ;

Ako
(2. četvrtina aviona ), To;

Ako
(3. četvrtina aviona ), To ;

Ako
(4. četvrtina aviona ), To .

Zapravo, modul i argument broja
, ovo su polarne koordinate
bodova
- kraj vektora na površini .

Primjer 5. Pronađite modul i glavnu vrijednost argumenta brojeva:

.

Argumenti brojeva koji leže na osi
, razdvajajući četvrtine 1,2,3,4 kompleksne ravni , može se odmah pronaći iz grafičkih prikaza ovih brojeva na ravni .

Trigonometrijski i eksponencijalni oblici pisanja kompleksnog broja. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom i eksponencijalnom zapisu.

Trigonometrijska notacija kompleksni broj
ima oblik:

, (2)

Gdje - modul, - argument kompleksnog broja . Ovaj prikaz kompleksnih brojeva slijedi iz jednakosti.

Indikativno(eksponencijalna) oblik pisanja kompleksnog broja
ima oblik:

, (3)

Gdje - modul, - brojni argument . Mogućnost predstavljanja kompleksnih brojeva u eksponencijalnom obliku (3) slijedi iz trigonometrijskog oblika (2) i Eulerove formule:

. (4)

Ova formula je dokazana u toku TFKP (Teorija funkcija kompleksne varijable).

Primjer 6. Pronađite trigonometrijske i eksponencijalne oblike za kompleksne brojeve: iz primjera 5.

Rješenje. Koristimo rezultate primjera 5, u kojem se nalaze moduli i argumenti svih navedenih brojeva.

,

.

- trigonometrijski oblik pisanja broja ,

- eksponencijalni oblik pisanja broja .

3)

- trigonometrijski oblik pisanja broja ,

- eksponencijalni oblik pisanja broja .

Trigonometrijski oblik pisanja broja ,

- eksponencijalni oblik pisanja broja .

5)

- trigonometrijski oblik pisanja broja ,

- eksponencijalni oblik pisanja broja .

Trigonometrijski oblik broja ,

.

7)

- trigonometrijski oblik pisanja broja ,

- eksponencijalni oblik broja .

- trigonometrijski oblik pisanja broja ,

- eksponencijalni oblik pisanja broja .

Eksponencijalni oblik pisanja kompleksnih brojeva dovodi do sljedećeg geometrijskog tumačenja operacija množenja i dijeljenja kompleksnih brojeva. Neka
- eksponencijalni oblici brojeva
.

1. Kada se množe kompleksni brojevi, množe se njihovi moduli i dodaju argumenti.

2. Prilikom dijeljenja kompleksnog broja po broju ispada da je to kompleksan broj , modul što je jednako omjeru modula , i argument - razlike
brojčani argumenti
.

Podizanje na cijeli broj i izdvajanje korijena kompleksnog broja.

A-priorat,

Kada se podigne na punu snagu kompleksni broj
, trebalo bi da postupite ovako: prvo pronađite modul i argument ovaj broj; uvesti u demonstrativnom obliku
; naći
izvođenjem sljedećeg niza radnji

Gdje .

(5) Komentar.
Argument
brojevi
možda ne pripada intervalu . U ovom slučaju, prema dobijenoj vrijednosti pronađite glavno značenje

argument
brojevi
, dodavanjem (ili oduzimanjem) broja
sa ovim značenjem

, to
pripadao intervalu . Nakon toga, trebate zamijeniti u formulama (5) .

on. Nađi I
Primjer 7
.

1)
=
, Ako (vidi broj

2)
iz primjera 6).
.
.
.

, Gdje dakle,

može se zamijeniti sa i, što znači
.

3)
iz primjera 6).
.
.

Gdje Zamenićemo

na . dakle,
Ekstrakcija korijena
th stepen

iz kompleksnog broja

izvedeno prema Moivre-Laplace formuli

§ 1. Kompleksni brojevi: definicije, geometrijska interpretacija, radnje u algebarskim, trigonometrijskim i eksponencijalnim oblicima

Definicija kompleksnog broja

Kompleksne jednakosti

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Modul i argument kompleksnog broja

Algebarski i trigonometrijski oblici kompleksnog broja

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Ojlerove formule

§ 2. Cjelokupne funkcije (polinomi) i njihova osnovna svojstva. Rješavanje algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Primjeri rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Pitanja za samotestiranje

Glossary

§ 1. Kompleksni brojevi: definicije, geometrijska interpretacija, radnje u algebarskim, trigonometrijskim i eksponencijalnim oblicima

Definicija kompleksnog broja ( Navedite definiciju kompleksnog broja)

Kompleksni broj z je izraz sljedećeg oblika:

Kompleksni broj u algebarskom obliku,(1)

gdje je x, y Î;

- kompleksno konjugirani broj broj z ;

- suprotan broj broj z ;

- kompleksna nula ;

– ovako se označava skup kompleksnih brojeva.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – ja, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – ja, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ ako Im z= 0, onda z = x- pravi broj;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ ako je Re z= 0, onda z = iy - čisto imaginarni broj.

§ 1. Kompleksni brojevi: definicije, geometrijska interpretacija, radnje u algebarskim, trigonometrijskim i eksponencijalnim oblicima (Formulirajte značenje kompleksne jednakosti)

1) ;

2) .

Jedna složena jednakost je ekvivalentna sistemu dvije realne jednakosti. Ove stvarne jednakosti se dobijaju iz kompleksne jednakosti razdvajanjem realnog i imaginarnog dela.

1) ;

2) .

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva ( Šta je geometrijski prikaz kompleksnih brojeva?)

Kompleksni broj z predstavljeno tačkom ( x , y) na kompleksnoj ravni ili radijus vektoru ove tačke.

Potpiši z u drugoj četvrtini znači da će se kartezijanski koordinatni sistem koristiti kao kompleksna ravan.

Modul i argument kompleksnog broja ( Koji je modul i argument kompleksnog broja?)

Modul kompleksnog broja je nenegativan realan broj

.(2)

Geometrijski, modul kompleksnog broja je dužina vektora koji predstavlja broj z, ili polarni radijus tačke ( x , y).

Nacrtajte sljedeće brojeve na kompleksnoj ravni i zapišite ih u trigonometrijskom obliku.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

to jest, za z = 0 biće

, j nedefinisano.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima (Dajte definicije i navedite glavna svojstva aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.)

Sabiranje (oduzimanje) kompleksnih brojeva

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

odnosno pri sabiranju (oduzimanju) kompleksnih brojeva njihovi realni i imaginarni dijelovi se sabiraju (oduzimaju).

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Osnovna svojstva sabiranja

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Množenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

odnosno množenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku vrši se po pravilu algebarskog množenja binoma binomom, nakon čega slijedi zamjena i redukcija sličnih u realnim i imaginarnim terminima.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

z 1∙z 2 = r 1(cos j 1 + i grijeh j 1)× r 2(cos j 2 + i grijeh j 2) =

= r 1r 2(cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i grijeh j 1cos j 2 + i 2 sin j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – greh j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + sin j 1cos j 2))

Proizvod kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, odnosno kada se množe kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku, množe se njihovi moduli i dodaju argumenti.

Osnovna svojstva množenja

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - komutativnost;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asocijativnost;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - distributivnost u odnosu na sabiranje;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Podjela kompleksnih brojeva

Deljenje je inverzna operacija množenja, dakle

Ako z × z 2 = z 1 i z 2 ¹ 0, zatim .

Prilikom dijeljenja u algebarskom obliku, brojnik i nazivnik razlomka se množe kompleksnim konjugatom nazivnika:

Podjela kompleksnih brojeva u algebarskom obliku.(7)

Prilikom dijeljenja u trigonometrijskom obliku, moduli se dijele i oduzimaju argumenti:

Podjela kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku.(8)

2)
.

Podizanje kompleksnog broja na prirodni stepen

Pogodnije je izvesti eksponencijaciju u trigonometrijskom obliku:

Moivreova formula, (9)

to jest, kada se kompleksni broj podigne na prirodni stepen, njegov modul se podiže na ovaj stepen, a argument se množi sa eksponentom.

Izračunaj (1 + i)10.

Bilješke

1. Prilikom izvođenja operacija množenja i podizanja na prirodni stepen u trigonometrijskom obliku mogu se dobiti vrijednosti uglova ​​preko jednog punog obrtaja. Ali oni se uvijek mogu svesti na kutove ili ispuštanjem cijelog broja punih okretaja koristeći svojstva periodičnosti funkcija i .

2. Značenje naziva se glavna vrijednost argumenta kompleksnog broja;

u ovom slučaju, vrijednosti svih mogućih uglova su označene sa ;

očigledno je da , .

Izdvajanje korijena prirodnog stepena iz kompleksnog broja

Ojlerove formule (16)

za koje su trigonometrijske funkcije i realna varijabla izražene kroz eksponencijalnu funkciju (eksponent) sa čisto imaginarnim eksponentom.

§ 2. Cjelokupne funkcije (polinomi) i njihova osnovna svojstva. Rješavanje algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva

Dva polinoma istog stepena n su identično jednake jedna drugoj ako i samo ako se njihovi koeficijenti poklapaju za iste potencije varijable x, to je

Dokaz

w Identitet (3) vrijedi za "xO (ili "xO)"

Þ vrijedi za ; zamena , dobijamo an = bn .

Hajde da međusobno poništimo članove u (3) an I bn i podijelite oba dijela sa x :

Ovaj identitet važi i za " x, uključujući i kada x = 0

Þ pod pretpostavkom x= 0, dobijamo an – 1 = bn – 1.

Hajde da međusobno poništimo pojmove u (3") an– 1 i a n– 1 i podijelite obje strane sa x, kao rezultat dobijamo

Nastavljajući argument na sličan način, dobijamo to an – 2 = bn –2, …, A 0 = b 0.

Dakle, dokazano je da identična jednakost 2-x polinoma implicira podudarnost njihovih koeficijenata na istim stepenima x .

Obrnuta izjava je s pravom očigledna, tj. ako dva polinoma imaju iste koeficijente, onda su identične funkcije, dakle, njihove vrijednosti se podudaraju za sve vrijednosti argumenta, što znači da su identično jednake. Svojstvo 1 je u potpunosti dokazano. v

Prilikom dijeljenja polinoma Pn (x) razlikom ( x – X 0) ostatak je jednak Pn (x 0), tj

Bezoutov teorem,(4)

Gdje Qn – 1(x) - cijeli broj dijeljenja, je polinom stepena ( n – 1).

Dokaz

w Napišimo formulu dijeljenja s ostatkom:

Pn (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

Gdje Qn – 1(x) - polinom stepena ( n – 1),

A- ostatak, koji je broj zbog dobro poznatog algoritma za dijeljenje polinoma binomom “u stupcu”.

Ova jednakost važi za " x, uključujući i kada x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (X 0) itd. v

Posljedica Bezoutove teoreme. O dijeljenju polinoma binomom bez ostatka

Ako je broj X 0 je nula polinoma, tada se ovaj polinom podijeli s razlikom ( x – X 0) bez ostatka, tj

Þ .(5)

1) , pošto P 3(1) º 0

2) jer P 4(–2) º 0

3) jer P 2(–1/2) º 0

Podjela polinoma na binome "u stupcu":

_

_

_

_

_

Svaki polinom stepena n ³ 1 ima najmanje jednu nulu, realnu ili kompleksnu

Dokaz ove teoreme je izvan okvira našeg kursa. Stoga prihvatamo teoremu bez dokaza.

Poradimo na ovoj teoremi i Bezoutovoj teoremi sa polinomom Pn (x).

Poslije n-višestrukom primjenom ovih teorema dobijamo da

Gdje a 0 je koeficijent at x n V Pn (x).

Korolar temeljne teoreme algebre. O dekompoziciji polinoma na linearne faktore

Bilo koji polinom stepena na skupu kompleksnih brojeva može se razložiti na n linearni faktori, tj

Proširivanje polinoma u linearne faktore, (6)

gdje su x1, x2, ... xn nule polinoma.

Štaviše, ako k brojevi iz seta X 1, X 2, … xn poklapaju jedno s drugim i sa brojem a, zatim u umnošku (6) množitelj ( x– a) k. Zatim broj x= a se poziva k-fold nula polinoma Pn ( x) . Ako k= 1, tada se poziva nula jednostavna nula polinoma Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - jednostavna nula, x 2 = 4 - trostruka nula;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- nulta množina 4.

Svojstvo 4 (o broju korijena algebarske jednadžbe)

Bilo koja algebarska jednadžba Pn(x) = 0 stepena n ima tačno n korijena na skupu kompleksnih brojeva, ako svaki korijen brojimo onoliko puta koliko je njegova višestrukost.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - algebarska jednačina drugog stepena

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- dva korijena;

2)x 3 + 1 = 0 - algebarska jednačina trećeg stepena

Þ x 1,2,3 = - tri korena;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, jer P 3(1) = 0.

Podijelite polinom P 3(x) na ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Originalna jednadžba

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - jednostavan korijen, x 2 = –1 - dvostruki korijen.

1) – upareni kompleksni konjugirani korijeni;

Svaki polinom sa realnim koeficijentima se dekomponuje u proizvod linearnih i kvadratnih funkcija sa realnim koeficijentima.

Dokaz

w Neka x 0 = a + bi- nula polinoma Pn (x). Ako su svi koeficijenti ovog polinoma realni brojevi, onda je i on nula (po svojstvu 5).

Izračunajmo proizvod binoma :

polinomska jednadžba kompleksnog broja

imam ( x – a)2 + b 2 - kvadratni trinom sa realnim koeficijentima.

Dakle, bilo koji par binoma sa kompleksnim konjugiranim korijenima u formuli (6) dovodi do kvadratnog trinoma s realnim koeficijentima. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Primjeri rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva ( Navedite primjere rješavanja algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva)

1. Algebarske jednadžbe prvog stepena:

, je jedini jednostavan korijen.

2. Kvadratne jednadžbe:

, – uvijek ima dva korijena (različiti ili jednaki).

1) .

3. Binomne jednadžbe stepena:

, – uvijek ima različite korijene.

,

Odgovor: , .

4. Riješite kubnu jednačinu.

Jednadžba trećeg stepena ima tri korijena (realan ili kompleksan), a svaki korijen treba da izbrojite onoliko puta koliko je njegova višestrukost. Budući da su svi koeficijenti ove jednadžbe realni brojevi, kompleksni korijeni jednadžbe, ako ih ima, bit će kompleksni konjugati u paru.

Odabirom nalazimo prvi korijen jednadžbe, budući da .

Kao posledica Bezoutove teoreme. Ovu podelu izračunavamo "u koloni":

_
_
_

Sada predstavljajući polinom kao proizvod linearnog i kvadratnog faktora, dobijamo:

.

Ostale korijene nalazimo kao korijene kvadratne jednadžbe:

Odgovor: , .

5. Konstruisati algebarsku jednačinu najmanjeg stepena sa realnim koeficijentima, ako je poznato da su brojevi x 1 = 3 i x 2 = 1 + i su njeni koreni, i x 1 je dvostruki korijen, i x 2 - jednostavno.

Broj je također korijen jednadžbe, jer koeficijenti jednačine moraju biti realni.

Ukupno, tražena jednačina ima 4 korijena: x 1, x 1,x 2, . Dakle, njegov stepen je 4. Sastavljamo polinom 4. stepena sa nulama x

11. Šta je kompleksna nula?

13. Formulirajte značenje složene jednakosti.

15. Koji je modul i argument kompleksnog broja?

17. Koji je argument kompleksnog broja?

18. Koje je ime ili značenje formule?

19. Objasnite značenje notacije u ovoj formuli:

27. Dajte definicije i navedite glavna svojstva aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.

28. Koje je ime ili značenje formule?

29. Objasnite značenje notacije u ovoj formuli:

31. Koje je ime ili značenje formule?

32. Objasnite značenje notacije u ovoj formuli:

34. Koje je ime ili značenje formule?

35. Objasnite značenje notacije u ovoj formuli:

61. Navedite glavna svojstva polinoma.

63. Navedite svojstvo o dijeljenju polinoma razlikom (x – x0).

65. Koje je ime ili značenje formule?

66. Objasnite značenje notacije u ovoj formuli:

67. ⌂ .

69. Navedite teoremu: osnovni teorem algebre.

70. Koje je ime ili značenje formule?

71. Objasnite značenje notacije u ovoj formuli:

75. Navedite svojstvo o broju korijena algebarske jednadžbe.

78. Navedite svojstvo o dekompoziciji polinoma sa realnim koeficijentima na linearne i kvadratne faktore.

Glossary

K-struka nula polinoma je... (str. 18)

algebarski polinom se zove... (str. 14)

algebarska jednadžba n-tog stepena zove se... (str. 14)

algebarski oblik kompleksnog broja naziva se... (str. 5)

argument kompleksnog broja je... (strana 4)

pravi dio kompleksnog broja z je... (strana 2)

kompleksni konjugirani broj je... (stranica 2)

kompleksna nula je... (stranica 2)

kompleksan broj se zove... (strana 2)

korijen stepena n kompleksnog broja naziva se... (str. 10)

korijen jednadžbe je... (str. 14)

koeficijenti polinoma su... (str. 14)

imaginarna jedinica je... (strana 2)

imaginarni dio kompleksnog broja z je... (strana 2)

modul kompleksnog broja naziva se... (str. 4)

nula funkcije se zove... (str. 14)

eksponencijalni oblik kompleksnog broja naziva se... (str. 11)

polinom se zove... (str. 14)

prosta nula polinoma naziva se... (str. 18)

suprotni broj je... (strana 2)

stepen polinoma je... (str. 14)

trigonometrijski oblik kompleksnog broja naziva se... (str. 5)

Moivreova formula je... (str. 9)

Ojlerove formule su... (strana 13)

cijela funkcija se zove... (str. 14)

čisto imaginarni broj je... (str. 2)