Сложни числа

Въображаемо и комплексни числа. Абсциса и ординат

комплексно число. Спрягане на комплексни числа.

Операции със сложни числа. Геометрични

представяне на комплексни числа. Сложна равнина.

Модулът и аргументът на комплексно число. Тригонометричен

сложна числова форма. Операции със сложни

числа в тригонометрична форма. Формулата на Мойвр.

Първоначална информация за въображаем и комплексни числа са дадени в раздела "Въображаеми и комплексни числа". Необходимостта от тези числа от нов тип се появи при решаване на квадратни уравнения за случаяд< 0 (здесь дЕ дискриминант на квадратното уравнение). Дълго време тези числа не намериха физическа употреба, затова бяха наречени "въображаеми" числа. Сега обаче те са много широко използвани в различни области на физиката.

и технологии: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Сложни числа са написани като:a + bi... Тук аи б – реални числа , а i – въображаема единица, т.е.д. i 2 = –1. Номер аНаречен абсциса, а b - ординаткомплексно числоa + bi.Две комплексни числаa + biи а - би са наречени свързаникомплексни числа.

Основни споразумения:

1. Реално числоаможе да се запише и под форматакомплексен номер:а + 0 iили а - 0 i. Например записи 5 + 0iи 5 - 0 iозначава едно и също число 5 .

2. Комплекс номер 0 + биНаречен чисто въображаемо номер. Записбиозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числаa + bi иc + diсе считат за равни, акоa = cи b = d... В противен случай комплексните числа не са равни.

Допълнение. Сумата от комплексни числаa + biи c + diсе нарича комплексно число (a + c ) + (b + d ) i.Поради това, при добавяне комплексни числа, техните абсциси и ординати се добавят отделно.

Това определение следва правилата за работа с обикновени полиноми.

Изваждане. Разлика на две комплексни числаa + bi(намален) и c + di(извадено) се нарича комплексно число (а - в ) + (б - г ) i.

Поради това, при изваждане на две комплексни числа, техните абсциси и ординати се изваждат отделно.

Умножение. Произведението на комплексни числаa + biи c + di наречено комплексно число:

(ac - bd ) + (ad + bc ) i.Това определение следва от две изисквания:

1) числа a + biи c + diтрябва да се умножава като алгебричнодвучлен,

2) номер iима основното свойство:i 2 = – 1.

ПРИМЕР ( a + bi )(а - би) = а 2 + б 2 . Следователно, работа

две спрегнати комплексни числа е равно на действителното

положително число.

Дивизия. Разделете комплексно числоa + bi (делими) от другc + di(разделител) - означава да се намери третото числоe + f i(чат), който се умножава по делителc + di, води до дивидентa + bi.

Ако делителят не е нула, делението винаги е възможно.

ПРИМЕР Намерете (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Решение. Нека препишем това съотношение като дроб:

Умножаването на числителя и знаменателя на 2 + 3i

И след завършване на всички трансформации получаваме:

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата линия:

Тук е точката Аозначава число –3, точкаБ- номер 2 и О- нула. За разлика от това, комплексните числа са представени с точки на координатната равнина. За това избираме правоъгълни (декартови) координати със същите скали по двете оси. След това комплексното числоa + bi ще бъде представен с точка P с абсциса а и ординат б (виж фиг.). Тази координатна система се нарича сложна равнина .

Модул комплексното число е дължината на вектораОПпредставляващо комплексно число по координатата ( интегрирана) самолет. Модул комплексен номерa + biозначени с | a + bi| или писмо r

Използване на калкулатора

За да оцените израз, трябва да въведете низ за оценка. При въвеждане на числа точка е разделителят между целочислената и дробната част. Можете да използвате скоби. Операциите върху комплексни числа са умножение (*), деление (/), събиране (+), изваждане (-), степенуване (^) и други. Експоненциалните и алгебричните форми могат да се използват като обозначения за комплексни числа. Въведете въображаема единица iвъзможно е без знака за умножение, в други случаи се изисква знак за умножение, например между скоби или между число и константа. Могат да се използват и константи: числото π се въвежда като pi, степен д, всички изрази в степента трябва да бъдат оградени в скоби.

Пример за низ за изчисляване: (4.5 + i12) * (3.2i-2.5) / e ^ (i1.25 * pi), което съответства на израза \ [\ frac ((4 (,) 5 + i12) (3 (,) 2i-2 (,) 5)) (e ^ (i1 (,) 25 \ pi)) \]

Калкулаторът може да използва константи, математически функции, допълнителни операции и по -сложни изрази, можете да се запознаете с тези възможности на страницата с общи правила за използване на калкулатори на този сайт.

Сайтът е в процес на разработка, някои страници може да са недостъпни.

Новини

07.07.2016
Добавен е калкулатор за решаване на системи от нелинейни алгебрични уравнения :.

30.06.2016
Сайтът има отзивчив дизайн, страниците се показват адекватно както на големи монитори, така и на мобилни устройства.

Спонсор

RGROnline.ru - незабавно решение за електротехнически работи онлайн.

§ 1 Комплексни числа: дефиниции, геометрична интерпретация, действия в алгебрични, тригонометрични и експоненциални форми

Определение на комплексно число

Сложни равенства

Геометрично представяне на комплексни числа

Модул на сложно число и аргумент

Алгебрични и тригонометрични форми на комплексно число

Експоненциална форма на комплексно число

Формулите на Ойлер

§ 2. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решаване на алгебрични уравнения на множеството комплексни числа

Определение на алгебрично уравнение на степен th

Основни свойства на полиномите

Примери за решаване на алгебрични уравнения на множеството комплексни числа

Въпроси за самодиагностика

Терминологичен речник

§ 1. Комплексни числа: дефиниции, геометрична интерпретация, действия в алгебрични, тригонометрични и експоненциални форми

Определението на комплексно число ( Формулирайте дефиницията на комплексно число)

Комплексното число z е израз на следната форма:

Комплексно число в алгебрична форма, (1)

Където x, y Î;

- комплексно спрегнато число номер z ;

- противоположно число номер z ;

- сложна нула ;

- така се обозначава множеството комплексни числа.

1)z = 1 + i. Re z= 1, аз z = 1, = 1 – аз, = –1 – i ;

2)z = –1 + i. Re z= –1, Im z = , = –1 – аз, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, аз z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ ако съм z= 0, тогава z = х- реално число;

4)z = 0 + 3i = 3i. Re z= 0, аз z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ ако Re z= 0, тогава z = ий - чисто въображаемо число.

Сложни равенства (Посочете значението на сложното равенство)

1) ;

2) .

Едно комплексно равенство е еквивалентно на система от две реални равенства. Тези реални равенства се получават от комплексно равенство чрез разделяне на реалната и въображаемата части.

1) ;

2) .

Геометрично представяне на комплексни числа ( Какво е геометричното представяне на комплексни числа?)

Комплексен номер zсе представя с точка ( х , y) върху сложната равнина или радиусния вектор на тази точка.

Знак zпрез второто тримесечие означава, че декартовата координатна система ще се използва като сложна равнина.

Модулът и аргументът на комплексно число ( Какъв е модулът и аргументът на комплексно число?)

Модулът на комплексно число е неотрицателно реално число

.(2)

Геометрично модулът на комплексно число е дължината на вектора, представляващ числото zили полярния радиус на точката ( х , y).

Начертайте следните числа на сложната равнина и ги запишете в тригонометрична форма.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

тоест за z = 0 ще има

, йнеопределен.

Аритметични операции върху комплексни числа (Дайте дефиниции и избройте основните свойства на аритметичните операции върху комплексни числа.)

Добавяне (изваждане) на комплексни числа

z 1 ± z 2 = (х 1 + ий 1) ± ( х 2 + ий 2) = (х 1 ± х 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

тоест при събиране (изваждане) на комплексни числа се добавят (изваждат) техните реални и въображаеми части.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Основни свойства на добавянето

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Умножение на комплексни числа в алгебрична форма

z 1∙z 2 = (х 1 + ий 1)∙(х 2 + ий 2) = х 1х 2 + х 1ий 2 + ий 1х 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (х 1х 2 – y 1y 2) + i (х 1y 2 + y 1х 2),

тоест умножаването на комплексни числа в алгебрична форма се извършва съгласно правилото на алгебричното умножение на бином с бином с последваща подмяна и редукция на подобни в реално и въображаемо изражение.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Умножение на комплексни числа в тригонометрична форма

z 1∙z 2 = r 1 (cos й 1 + iгрях й 1) × r 2 (cos й 2 + iгрях й 2) =

= r 1r 2 (cos й 1cos й 2 + i cos й 1 грях й 2 + iгрях й 1cos й 2 + i 2 грях й 1 грях й 2) =

= r 1r 2 ((cos й 1cos й 2 - грях й 1 грях й 2) + i(защото й 1 грях й 2 + грях й 1cos й 2))

Произведението на комплексни числа в тригонометрична форма, тоест при умножаване на комплексни числа в тригонометрична форма, техните модули се умножават и се добавят аргументите.

Основни свойства на умножението

1)z 1 × z 2 = z 2 × z 1 - комутативност;

2)z 1 × z 2 × z 3 = (z 1 × z 2) × z 3 = z 1 × ( z 2 × z 3) - асоциативност;

3)z 1 × ( z 2 + z 3) = z 1 × z 2 + z 1 × z 3 - разпределение по отношение на добавянето;

4)z× 0 = 0; z× 1 = z ;

Деление на комплексни числа

Делението е обратно на умножението, така че

ако z × z 2 = z 1 и z 2 ¹ 0, тогава.

Когато се извършва разделяне в алгебрична форма, числителят и знаменателят на дробата се умножават по сложната конюгата на знаменателя:

Разделяне на комплексни числа в алгебрична форма. (7)

Когато правите разделяне в тригонометрична форма, модулите се разделят и аргументите се изваждат:

Разделяне на комплексни числа в тригонометрична форма. (8)

2)
.

Повишаване на комплексно число до естествена сила

По -удобно е да се извърши естествено степенуване в тригонометрична форма:

Формулата на Мойвр, (9)

тоест, когато комплексно число се повиши до естествена степен, модулът му се повишава до тази степен и аргументът се умножава по степента.

Изчислете (1 + i)10.

Забележки

1. При извършване на операции по умножение и повишаване до естествена степен в тригонометрична форма стойностите на ъглите могат да бъдат получени отвъд един пълен оборот. Но те винаги могат да бъдат намалени до ъгли или чрез отпадане на цял брой пълни обороти според свойствата на периодичността на функциите и.

2. Стойност нарича основната стойност на аргумента на комплексно число;

средните стойности на всички възможни ъгли;

очевидно е, че.

Извличане на естествения корен от комплексно число

Формулите на Ойлер (16)

чрез която тригонометрични функции и реална променлива се изразяват чрез експоненциална функция (експоненциална) с чисто въображаем показател.

§ 2. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решаване на алгебрични уравнения на множеството комплексни числа

Два полинома от една и съща степен нса еднакво равни помежду си тогава и само ако техните коефициенти съвпадат при същите степени на променливата х, това е

Доказателство

w Идентичността (3) е валидна за "xÎ (или" xÎ)

Þ важи за; замествайки, получаваме а = bn .

Ние взаимно унищожаваме в (3) условията аи bnи разделете двете части на х :

Тази идентичност е вярна и за " х, включително при х = 0

Þ ако приемем х= 0, получаваме а – 1 = bn – 1.

Ние взаимно унищожаваме в (3 ") условията а- 1 и а н- 1 и разделете двете части на х, в резултат на което получаваме

Продължавайки разсъжденията по подобен начин, ние откриваме, че а – 2 = bn –2, …, а 0 = б 0.

По този начин е доказано, че идентичността на 2-х полиноми предполага съвпадение на техните коефициенти при еднакви степени х .

Обратното твърдение е вярно и очевидно, т.е. ако два полинома имат еднакви всички коефициенти, тогава те са еднакви функции, следователно техните стойности съвпадат за всички стойности на аргумента, което означава тяхното идентично равенство. Свойство 1 е напълно доказано. v

При разделяне на полином Pn (х) по разликата ( х – NS 0), остатъкът е равен на Pn (х 0), т.е.

Теорема на Безоут, (4)

където Qn – 1(х) е целочислена част от делението, е полином от степен ( н – 1).

Доказателство

w Нека напишем формулата за деление с остатък:

Pn (х) = (х – NS 0)∙Qn – 1(х) + А ,

където Qn – 1(х) е полином от степен ( н – 1),

А-остатъкът, който е число поради добре познатия алгоритъм за разделяне на полином от двучленна „колона“.

Това равенство е вярно за " х, включително при х = NS 0 Þ

Pn (х 0) = (х 0 – х 0)× Qn – 1(х 0) + А Þ

А = Pn (NS 0), п.т.д. v

Следствие от теоремата на Безоут. При разделяне на полином на бином без остатък

Ако номерът NS 0 е нулата на полинома, тогава този полином се дели на разликата ( х – NS 0) без остатък, т.е.

Þ .(5)

1), тъй като P 3 (1) º 0

2), тъй като P 4 (–2) º 0

3), тъй като P 2 (–1/2) º 0

Разделяне на полиноми на биноми "в колона":

_

_

_

_

_

Всеки полином от степен n ³ 1 има поне една нула, реална или сложна

Доказателството на тази теорема е извън обхвата на нашия курс. Следователно, ние ще приемем теоремата без доказателства.

Ще работим върху тази теорема и върху теоремата на Безоут с полинома Pn (х).

След н-кратно приложение на тези теореми, получаваме

където а 0 е коефициентът при х н v Pn (х).

Следствие от основната теорема на алгебрата. Разлагане на полином на линейни фактори

Всеки полином от степен от множеството комплексни числа се разлага на нлинейни фактори, т.е.

Разлагане на полином на линейни фактори, (6)

където x1, x2, ... xn са нулите на полинома.

Освен това, ако кчисла от комплекта NS 1, NS 2, … xnсъвпадат помежду си и с числото a, след това в произведението (6) коефициентът ( х- а) к... След това номерът х= а се нарича k-кратна нула на полинома Pn ( х) ... Ако к= 1, тогава се извиква нула прост нулев полином Pn ( х) .

1)P 4(х) = (х – 2)(х- 4) 3 Þ х 1 = 2 - проста нула, х 2 = 4 - трикратна нула;

2)P 4(х) = (х – i) 4 Þ х = i- нула на кратността 4.

Свойство 4 (за броя на корените на алгебрично уравнение)

Всяко алгебрично уравнение Pn (x) = 0 от степен n има точно n корени в множеството комплексни числа, ако всеки корен се брои толкова пъти, колкото е неговата кратност.

1)х 2 – 4х+ 5 = 0 - алгебрично уравнение от втора степен

Þ х 1.2 = 2 ± = 2 ± i- два корена;

2)х 3 + 1 = 0 - алгебрично уравнение от трета степен

Þ х 1,2,3 = - три корена;

3)P 3(х) = х 3 + х 2 – х- 1 = 0 Þ х 1 = 1, защото P 3(1) = 0.

Разделете полинома P 3(х) На ( х – 1):

х 3	+	х 2	–	х	–	1	х – 1
х 3	–	х 2	х 2 + 2х +1
2х 2	–	х
2х 2	–	2х
х	–	1
х	–	1
0

Оригинално уравнение

P 3(х) = х 3 + х 2 – х- 1 = 0 Û ( х – 1)(х 2 + 2х+ 1) = 0 Û ( х – 1)(х + 1)2 = 0

Þ х 1 = 1 - прост корен, х 2 = –1 - двоен корен.

1) - сдвоени сложни конюгирани корени;

Всеки полином с реални коефициенти се разлага на произведението на линейни и квадратни функции с реални коефициенти.

Доказателство

w Нека х 0 = а + би- нула на полинома Pn (х). Ако всички коефициенти на този полином са реални числа, то той е и неговата нула (по свойство 5).

Изчисляваме произведението на биноми :

полиномиално уравнение на комплексно число

Има ( х – а)2 + б 2 - квадратен трином с реални коефициенти.

По този начин всяка двойка биноми със сложни спрегнати корени във формула (6) води до квадратен трином с реални коефициенти. v

1)P 3(х) = х 3 + 1 = (х + 1)(х 2 – х + 1);

2)P 4(х) = х 4 – х 3 + 4х 2 – 4х = х (х –1)(х 2 + 4).

Примери за решаване на алгебрични уравнения на множеството комплексни числа ( Дайте примери за решаване на алгебрични уравнения на множеството комплексни числа)

1. Алгебрични уравнения от първа степен:

, Е единственият прост корен.

2. Квадратични уравнения:

, - винаги има два корена (различни или равни).

1) .

3. Двучленни уравнения на степен:

, - винаги има различни корени.

,

Отговор: , .

4. Решете кубичното уравнение.

Уравнение от трета степен има три корена (реални или сложни) и всеки корен трябва да се брои толкова пъти, колкото е неговата кратност. Тъй като всички коефициенти на това уравнение са реални числа, комплексните корени на уравнението, ако има такива, ще бъдат сдвоени сложно спрягнати.

Чрез селекция намираме първия корен на уравнението, тъй като.

Вследствие на теоремата на Безоут. Изчисляваме това разделение „в колона“:

_
_
_

Представяйки сега полинома като произведение на линеен и квадратен фактор, получаваме:

.

Намираме други корени като корени на квадратното уравнение:

Отговор: , .

5. Напишете алгебричното уравнение на най -малката степен с реални коефициенти, ако е известно, че числата х 1 = 3 и х 2 = 1 + iса нейните корени и х 1 е двоен корен, а х 2 - просто.

Числото е и коренът на уравнението, защото коефициентите на уравнението трябва да са валидни.

Общо желаното уравнение има 4 корена: х 1, х 1,х 2 ,. Следователно степента му е 4. Съставяме полином от 4 -та степен с нули х

11. Какво е комплексната нула?

13. Формулирайте значението на сложното равенство.

15. Какъв е модулът и аргументът на комплексно число?

17. Какво е аргумент за комплексно число?

18. Какво име или значение има формулата?

19. Обяснете значението на нотацията в тази формула:

27. Дайте определения и избройте основните свойства на аритметичните операции върху комплексни числа.

28. Какво име или значение има формулата?

29. Обяснете значението на нотацията в тази формула:

31. Какво име или значение има формулата?

32. Обяснете значението на нотацията в тази формула:

34. Какво име или значение има формулата?

35. Обяснете значението на обозначенията в тази формула:

61. Избройте основните свойства на полиномите.

63. Формулирайте свойството да разделяте полинома на разликата (x - x0).

65. Какво име или значение има формулата?

66. Обяснете значението на обозначенията в тази формула:

67. ⌂ .

69. Формулирайте теоремата.Основната теорема на алгебрата.

70. Какво име или значение има формулата?

71. Обяснете значението на обозначенията в тази формула:

75. Формулирайте свойството за броя на корените на алгебрично уравнение.

78. Формулирайте свойството за разлагане на полином с реални коефициенти на линейни и квадратни фактори.

Терминологичен речник

k-кратна нула на полином се нарича ... (стр. 18)

алгебричен полином се нарича ... (стр. 14)

алгебрично уравнение от n -та степен се нарича ... (стр. 14)

алгебричната форма на комплексно число се нарича ... (стр. 5)

аргументът за комплексно число е ... (стр. 4)

реалната част на комплексно число z е ... (стр. 2)

сложно спрягнато число е ... (стр. 2)

комплексната нула е ... (страница 2)

комплексно число се нарича ... (стр. 2)

n -ти корен от комплексно число се нарича ... (стр. 10)

коренът на уравнението се нарича ... (стр. 14)

коефициентите на полинома са ... (стр. 14)

въображаемата единица е ... (стр. 2)

въображаемата част на комплексно число z е ... (стр. 2)

модулът на комплексно число се нарича ... (стр. 4)

нулева функция се нарича ... (стр. 14)

експоненциалната форма на комплексно число се нарича ... (стр. 11)

полиномът се нарича ... (стр. 14)

проста нула на полином се нарича ... (стр. 18)

обратното число е ... (страница 2)

степента на полином е ... (стр. 14)

тригонометрична форма на комплексно число се нарича ... (стр. 5)

Формулата на Мойвр е ... (стр. 9)

Формулите на Ойлер са ... (стр. 13)

цялата функция се нарича ... (стр. 14)

чисто въображаемо число е ... (стр. 2)

Нека припомним необходимата информация за комплексните числа.

Комплексен номере израз на формата а + би, където а, бса реални числа и i- т.нар въображаема единица, символ, чийто квадрат е -1, т.е. i 2 = -1. Номер аНаречен реална части номера б - въображаема часткомплексно число z = а + би... Ако б= 0, тогава вместо а + 0iпишете просто а... Вижда се, че реалните числа са частен случай на комплексни числа.

Аритметичните операции върху комплексни числа са същите като при реални: те могат да се събират, изваждат, умножават и разделят помежду си. Събирането и изваждането се извършва съгласно правилото ( а + би) ± ( ° С + ди) = (а ± ° С) + (б ± д)iи умножение - според правилото ( а + би) · ( ° С + ди) = (ак – бд) + (реклама + пр.н.е.)i(тук се използва само това i 2 = –1). Брой = а – биНаречен сложен конюгатДа се z = а + би... Равенство z · = а 2 + б 2 ви позволява да разберете как да разделите едно комплексно число на друго (ненулево) комплексно число:

(Например, .)

Комплексните числа имат удобно и интуитивно геометрично представяне: числото z = а + биможе да се представи с вектор с координати ( а; б) на декартовата равнина (или, което е почти същото, точка - краят на вектора с тези координати). В този случай сумата от две комплексни числа се изобразява като сума от съответните вектори (които могат да бъдат намерени чрез правилото за паралелограм). Според питагорейската теорема дължината на вектора с координати ( а; б) е равно на. Това количество се нарича модулкомплексно число z = а + бии се обозначава с | z|. Ъгълът, който този вектор прави с положителната посока на оста на абсцисата (отброен обратно на часовниковата стрелка), се нарича аргументкомплексно число zи се обозначава с Arg z... Аргументът не е еднозначно дефиниран, а само до добавяне на кратно на 2 π радиани (или 360 °, ако броите в градуси) - в края на краищата е ясно, че въртенето под такъв ъгъл около началото няма да промени вектора. Но ако векторът на дължината rобразува ъгъл φ с положителна посока на оста на абсцисата, тогава нейните координати са ( r Cos φ ; rГрех φ ). Оттам се оказва тригонометрична нотациякомплексен номер: z = |z| (Cos (Арг z) + iгрях (Арг z)). Често е удобно да се пишат сложни числа в тази форма, защото това значително опростява изчисленията. Умножаването на комплексни числа в тригонометрична форма изглежда много просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Арг z 1 + Arg z 2) + iгрях (Арг z 1 + Arg z 2)) (при умножаване на две комплексни числа модулите им се умножават и се добавят аргументите). Оттук следвайте Формули на Moivre: z n = |z|н(Cos ( н(Арг z)) + iгрех ( н(Арг z))). С помощта на тези формули е лесно да се научите как да извличате корени от всякаква степен от комплексни числа. N -ти корен от zе толкова комплексно число w, Какво w n = z... Ясно е, че , И къде кможе да вземе всяка стойност от множеството (0, 1, ..., н- 1). Това означава, че винаги има точно нкорени н-та степен на комплексно число (в равнината те са разположени във върховете на правилното н-гон).

За да разрешите проблеми със сложни числа, трябва да разберете основните определения. Основната задача на тази обзорна статия е да обясни какво представляват комплексните числа и да представи методи за решаване на основни задачи със сложни числа. И така, комплексното число е число от формата z = a + bi, където а, б- реални числа, които се наричат ​​съответно реални и въображаеми части от комплексно число и означават a = Re (z), b = Im (z).
iсе нарича въображаема единица. i 2 = -1... По -специално всяко реално число може да се счита за сложно: a = a + 0i, където а е реално. Ако а = 0и b ≠ 0, тогава числото обикновено се нарича чисто въображаемо.

Сега ще въведем операции върху комплексни числа.
Помислете за две комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 = a 2 + b 2 i.

Обмисли z = a + bi.

Множеството от комплексни числа разширява множеството от реални числа, което от своя страна разширява множеството от рационални числа и т.н. Тази верига от вграждания може да се види на фигурата: N - естествени числа, Z - цели числа, Q - рационални, R - реални, C - комплексни.

Представяне на сложно число

Алгебрична нотация.

Помислете за комплексно число z = a + bi, тази форма на изписване на комплексно число се нарича алгебричен... Вече обсъждахме подробно тази форма на запис в предишния раздел. Доста често те използват следната изобразителна рисунка.

Тригонометрична форма.

Фигурата показва, че числото z = a + biможе да се пише по различен начин. Очевидно е, че a = rcos (φ), b = rsin (φ), r = | z |, следователно z = rcos (φ) + rsin (φ) i, φ ∈ (-π; π) нарича аргумент на комплексно число. Такова представяне на комплексно число се нарича тригонометрична форма... Тригонометричната нотация понякога е много удобна. Например, удобно е да го използвате, за да издигнете комплексно число до цяло число, а именно, ако z = rcos (φ) + rsin (φ) i, тогава z n = r n cos (nφ) + r n sin (nφ) i, тази формула се нарича по формулата на Moivre.

Демонстративна форма.

Обмисли z = rcos (φ) + rsin (φ) i- комплексно число в тригонометрична форма, ние го записваме в различна форма z = r (cos (φ) + sin (φ) i) = re iφ, последното равенство следва от формулата на Ойлер, така че получихме нова форма на запис на комплексно число: z = re iφ, който се нарича показателен... Тази нотация също е много удобна за повдигане на комплексно число до степен: z n = r n e inφ, тук нне е задължително цяло число, но може да бъде произволно реално число. Тази форма на нотация често се използва за решаване на проблеми.

Основната теорема на висшата алгебра

Да кажем, че имаме квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0. Очевидно дискриминантът на това уравнение е отрицателен и няма реални корени, но се оказва, че това уравнение има два различни сложни корена. И така, основната теорема на висшата алгебра твърди, че всеки полином от степен n има поне един сложен корен. От това следва, че всеки полином от степен n има точно n комплексни корени, като се вземе предвид тяхната кратност. Тази теорема е много важен резултат в математиката и се използва широко. Просто следствие от тази теорема е следният резултат: има точно n различни корена на степен n от единица.

Основните видове задачи

Този раздел ще обхване основните видове прости задачи за сложни числа. Задачите за комплексните числа могат условно да бъдат разделени на следните категории.

• Извършване на най -простите аритметични операции върху комплексни числа.
• Намиране на корените на полиноми в комплексни числа.
• Повдигане на комплексни числа до степен.
• Извличане на корени от комплексни числа.
• Използването на комплексни числа за решаване на други проблеми.

Сега нека разгледаме общите техники за решаване на тези проблеми.

Най -простите аритметични операции със сложни числа се извършват съгласно правилата, описани в първия раздел, но ако комплексните числа са представени в тригонометрични или експоненциални форми, тогава в този случай можете да ги преобразувате в алгебрична форма и да извършвате операции според известните правила.

Намирането на корените на полиномите обикновено се свежда до намирането на корените на квадратно уравнение. Да предположим, че имаме квадратно уравнение, ако неговият дискриминант е неотрицателен, тогава неговите корени ще бъдат реални и ще бъдат намерени по известна формула. Ако дискриминантът е отрицателен, т.е. D = -1 2 a 2, където а- някакво число, тогава дискриминантът може да бъде представен под формата D = (ia) 2, следователно √D = i | a |, и след това можете да използвате вече известната формула за корените на квадратното уравнение.

Пример... Нека се върнем към квадратното уравнение, споменато по -горе x 2 + x + 1 = 0.
Дискриминанта - D = 1 -4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Сега лесно можем да намерим корените:

Сложните числа могат да бъдат повишени до степен по няколко начина. Ако трябва да повишите комплексно число в алгебрична форма до малка степен (2 или 3), тогава можете да направите това чрез директно умножение, но ако степента е по -голяма (в проблемите често е много по -голяма), тогава трябва да запишете това число в тригонометрични или експоненциални форми и използвайте по вече известни методи.

Пример... Помислете за z = 1 + i и го повдигнете до десетата степен.
Пишем z в експоненциална форма: z = √2 e iπ / 4.
Тогава z 10 = (√2 e iπ / 4) 10 = 32 e 10iπ / 4.
Нека се върнем към алгебричната форма: z 10 = -32i.

Извличането на корени от комплексни числа е обратното на операцията за степенуване, така че се извършва по подобен начин. За извличане на корени често се използва експоненциалната форма на изписване на число.

Пример... Намерете всички корени на степен 3 на едно. За да направим това, ще намерим всички корени на уравнението z 3 = 1, ще търсим корените в експоненциална форма.
Заменете в уравнението: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0.
Следователно: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, следователно φ = 2πk / 3.
Получават се различни корени при φ = 0,2π / 3, 4π / 3.
Следователно 1, e i2π / 3, e i4π / 3 са корени.
Или в алгебрична форма:

Последният тип проблеми включва огромно разнообразие от проблеми и няма общи методи за тяхното решаване. Нека да дадем прост пример за такава задача:

Намерете сумата sin (x) + sin (2x) + sin (2x) + ... + sin (nx).

Въпреки че формулирането на този проблем не се занимава със сложни числа, той може лесно да бъде решен с тяхна помощ. За решаването му се използват следните представления:


Ако сега заменим това представяне в сумата, тогава проблемът се свежда до сумиране на обичайната геометрична прогресия.

Заключение

Комплексните числа са широко използвани в математиката, в тази обзорна статия бяха разгледани основните операции върху комплексните числа, описани са няколко типа стандартни задачи и накратко са описани общи методи за тяхното решаване, за по -подробно проучване на възможностите на комплексните числа, се препоръчва използването на специализирана литература.

Литература