Ниво на профила на единния държавен изпит на Yandex. Изпит по математика

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри триковерешения, полезни измамни листове, развитие пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.

Средно аритметично общо образование

Линия UMK G. K. Muravin. Алгебра и начала математически анализ(10-11) (дълбоко)

Линия UMK Merzlyak. Алгебра и начало на анализа (10-11) (U)

Математика

Подготовка за Единния държавен изпит по математика (ниво на профил): задачи, решения и обяснения

Анализираме задачи и решаваме примери с учителя

Изпитът за профилно ниво е с продължителност 3 часа 55 минути (235 минути).

Минимален праг- 27 точки.

Изпитната работа се състои от две части, които се различават по съдържание, сложност и брой задачи.

Определящата характеристика на всяка част от работата е формата на задачите:

част 1 съдържа 8 задачи (задачи 1-8) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб;
част 2 съдържа 4 задачи (задачи 9-12) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб и 7 задачи (задачи 13-19) с подробен отговор (пълен запис на решението с обосновка за взети мерки).

Панова Светлана Анатолевна, учител по математика от най-висока категория на училище, трудов стаж 20 години:

„За да получи диплома, абитуриентът трябва да положи два задължителни изпита под формата на Единен държавен изпит, единият от които е математика. В съответствие с Концепцията за развитие на математическото образование в Руска федерацияЕдинният държавен изпит по математика е разделен на две нива: основно и специализирано. Днес ще разгледаме опциите на ниво профил.“

Задача No1- проверява способността на участниците в Единния държавен изпит да прилагат уменията, придобити в курса по елементарна математика от 5 до 9 клас, в практически дейности. Участникът трябва да притежава компютърни умения, да може да работи с рационални числа, да може да закръгля десетични знаци, да можете да конвертирате една мерна единица в друга.

Пример 1.В апартамента, в който живее Петър, е монтиран разходомер студена вода(брояч). На 1 май броячът показваше разход от 172 кубика. м вода, а на първи юни - 177 куб.м. м. Каква сума трябва да плати Петър за студена вода през май, ако цената е 1 кубичен метър? м студена вода е 34 рубли 17 копейки? Дайте отговора си в рубли.

Решение:

1) Намерете количеството вода, изразходвано на месец:

177 - 172 = 5 (кубични м)

2) Нека разберем колко пари ще платят за похабена вода:

34.17 5 = 170.85 (разтривайте)

Отговор: 170,85.

Задача No2- е една от най-простите изпитни задачи. По-голямата част от завършилите се справят успешно с него, което показва познаване на дефиницията на понятието функция. Тип задача № 2 според кодификатора на изискванията е задача за използване на придобитите знания и умения в практически дейности и Ежедневието. Задача № 2 се състои в описание, използване на функции, различни реални връзки между величини и интерпретиране на техните графики. Задача № 2 проверява умението за извличане на информация, представена в таблици, диаграми и графики. Завършилите трябва да могат да определят стойността на функция от стойността на нейния аргумент, когато по различни начиниопределяне на функция и описване на поведението и свойствата на функцията въз основа на нейната графика. Вие също трябва да можете да намерите най-великите или най-малка стойности построяване на графики на изучаваните функции. Допуснатите грешки са случайни при четене на условията на проблема, четене на диаграмата.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2.Фигурата показва промяната в обменната стойност на една акция на минна компания през първата половина на април 2017 г. На 7 април бизнесменът закупи 1000 акции от тази компания. На 10 април той продаде три четвърти от акциите, които закупи, а на 13 април продаде всички останали акции. Колко е загубил бизнесменът в резултат на тези операции?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акции) - представляват 3/4 от всички закупени акции.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - бизнесменът получи 1000 акции след продажбата.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (rub) - бизнесменът е загубил в резултат на всички операции.

Отговор: 15000.

Задача No3- е задача от основно ниво на първа част, проверява умението за извършване на действия с геометрични формивърху съдържанието на дисциплината „Планиметрия”. Задача 3 проверява умението за изчисляване на площта на фигура върху карирана хартия, умението за изчисляване на градусни мерки на ъгли, изчисляване на периметри и др.

Пример 3.Намерете площта на правоъгълник, начертан върху карирана хартия с размер на клетката 1 cm на 1 cm (вижте фигурата). Дайте отговора си в квадратни сантиметри.

Решение:За да изчислите площта на дадена фигура, можете да използвате формулата Peak:

За да изчислим площта на даден правоъгълник, използваме формулата на Peak:

С= B +	Ж
	2

където B = 10, G = 6, следователно

С = 18 +	6
	2

Отговор: 20.

Прочетете също: Единен държавен изпит по физика: решаване на задачи за трептения

Задача No4- целта на дисциплината “Теория на вероятностите и статистика”. Тества се способността за изчисляване на вероятността от събитие в най-простата ситуация.

Пример 4.В кръга са отбелязани 5 червени и 1 синя точки. Определете кои многоъгълници са по-големи: тези с всички върхове в червено или тези с един от върховете в синьо. В отговора си посочете с колко има повече едни от други.

Решение: 1) Нека използваме формулата за броя на комбинациите от нелементи от к:

чиито върхове са червени.

3) Един петоъгълник с всички върхове в червено.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоъгълника с всички червени върхове.

които имат червени върхове или с един син връх.

8) Един шестоъгълник с червени върхове и един син връх.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоъгълника с всички червени върхове или един син връх.

10) 42 – 16 = 26 многоъгълника, използвайки синята точка.

11) 26 – 16 = 10 многоъгълника – колко повече са многоъгълниците, в които един от върховете е синя точка, отколкото многоъгълниците, в които всички върхове са само червени.

Отговор: 10.

Задача No5- основното ниво на първата част проверява способността за решаване на прости уравнения (ирационални, експоненциални, тригонометрични, логаритмични).

Пример 5.Решете уравнение 2 3 + х= 0,4 5 3 + х .

Решение.Разделете двете страни на това уравнение на 5 3 + х≠ 0, получаваме

2 3 + х	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откъдето следва, че 3 + х = 1, х = –2.

Отговор: –2.

Задача No6в планиметрията за намиране на геометрични величини (дължини, ъгли, площи), моделиране на реални ситуации на езика на геометрията. Изследване на конструирани модели с помощта на геометрични концепции и теореми. Източникът на трудностите е, като правило, незнанието или неправилното прилагане на необходимите теореми на планиметрията.

Площ на триъгълник ABCе равно на 129. DE– средна линия, успоредна на страната AB. Намерете площта на трапеца ЛЕГЛО.

Решение.Триъгълник CDEподобен на триъгълник ТАКСИпод два ъгъла, тъй като ъгълът при върха ° Собщ, ъгъл СDEравен на ъгъл ТАКСИкато съответните ъгли при DE || ABсекуща A.C.. защото DEе средната линия на триъгълник по условие, след това по свойството на средната линия | DE = (1/2)AB. Това означава, че коефициентът на подобие е 0,5. Следователно площите на подобни фигури се отнасят като квадрат на коефициента на подобие

следователно С ЛЕГЛО = С Δ ABC – С Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задача No7- проверява приложението на производната за изследване на функция. Успешното внедряване изисква смислено, неформално познаване на понятието производно.

Пример 7.Към графиката на функцията г = f(х) в точката на абсцисата х 0 е начертана допирателна, която е перпендикулярна на правата, минаваща през точките (4; 3) и (3; –1) на тази графика. намирам f′( х 0).

Решение. 1) Нека използваме уравнението на права, минаваща през две дадени точки, и да намерим уравнението на права, минаваща през точки (4; 3) и (3; –1).

(г – г 1)(х 2 – х 1) = (х – х 1)(г 2 – г 1)

(г – 3)(3 – 4) = (х – 4)(–1 – 3)

(г – 3)(–1) = (х – 4)(–4)

–г + 3 = –4х+ 16| · (-1)

г – 3 = 4х – 16

г = 4х– 13, където к 1 = 4.

2) Намерете наклона на тангентата к 2, която е перпендикулярна на правата г = 4х– 13, където к 1 = 4, по формулата:

3) Ъгълът на допирателната е производната на функцията в точката на допирателна. означава, f′( х 0) = к 2 = –0,25.

Отговор: –0,25.

Задача No8- проверява знанията на участниците в изпита по елементарна стереометрия, способността да прилага формули за намиране на повърхнини и обеми на фигури, двустенни ъгли, да сравнява обемите на подобни фигури, да може да извършва действия с геометрични фигури, координати и вектори и др.

Обемът на куб, описан около сфера, е 216. Намерете радиуса на сферата.

Решение. 1) Vкуб = а 3 (където А– дължина на ръба на куба), следователно

А 3 = 216

А = 3 √216

2) Тъй като сферата е вписана в куб, това означава, че дължината на диаметъра на сферата е равна на дължината на ръба на куба, следователно д = а, д = 6, д = 2Р, Р = 6: 2 = 3.

Задача No9- изисква от завършилия да има умения да трансформира и опростява алгебрични изрази. Задача No9 по-високо нивоТрудност с кратък отговор. Задачите от раздела „Изчисления и трансформации“ в Единния държавен изпит са разделени на няколко типа:

преобразуване на числени рационални изрази;

преобразуване на алгебрични изрази и дроби;

преобразуване на числови/буквени ирационални изрази;

действия със степени;

трансформация логаритмични изрази;

конвертиране на числови/буквени тригонометрични изрази.

Пример 9.Изчислете tanα, ако е известно, че cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Нека използваме формулата с двоен аргумент: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и да намерим

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Това означава tan 2 α = ± 0,5.

3) По условие

3π	< α < π,
4

това означава, че α е ъгълът на втората четвърт и tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Отговор: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задача No10- проверява способността на учениците да използват придобитите ранни знания и умения в практически дейности и ежедневието. Можем да кажем, че това са задачи по физика, а не по математика, но в условието са дадени всички необходими формули и количества. Задачите се свеждат до решаване на линейни или квадратно уравнение, или линейно или квадратно неравенство. Следователно е необходимо да можете да решавате такива уравнения и неравенства и да определяте отговора. Отговорът трябва да бъде даден като цяло число или крайна десетична дроб.

Две тела с маса м= 2 kg всяка, движещи се с еднаква скорост v= 10 m/s под ъгъл 2α една спрямо друга. Енергията (в джаули), освободена при техния абсолютно нееластичен сблъсък, се определя от израза Q = мв 2 sin 2 α. Под какъв най-малък ъгъл 2α (в градуси) трябва да се движат телата, за да се отделят най-малко 50 джаула в резултат на сблъсъка?
Решение.За да решим задачата, трябва да решим неравенството Q ≥ 50, на интервала 2α ∈ (0°; 180°).

мв 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Тъй като α ∈ (0°; 90°), ще решим само

Нека представим решението на неравенството графично:

Тъй като по условие α ∈ (0°; 90°), това означава 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задача No11- е характерно, но се оказва трудно за учениците. Основният източник на трудност е изграждането на математически модел (съставяне на уравнение). Задача No 11 проверява умението за решаване на текстови задачи.

Пример 11.По време на пролетната ваканция 11-класникът Вася трябваше да реши 560 практически задачи, за да се подготви за Единния държавен изпит. На 18 март, в последния учебен ден, Вася реши 5 задачи. След това всеки ден решаваше същия брой задачи повече от предишния ден. Определете колко задачи е решил Вася на 2 април, последния ден от празниците.

Решение:Нека обозначим а 1 = 5 – броят на задачите, които Вася реши на 18 март, д– дневен брой задачи, решени от Вася, н= 16 – брой дни от 18 март до 2 април включително, С 16 = 560 – обща сумазадачи, а 16 – броят на задачите, които Вася реши на 2 април. Знаейки, че всеки ден Вася е решавал същия брой задачи повече в сравнение с предишния ден, можем да използваме формули за намиране на сумата аритметична прогресия:

560 = (5 + а 16) 8,

5 + а 16 = 560: 8,

5 + а 16 = 70,

а 16 = 70 – 5

а 16 = 65.

Отговор: 65.

Задача No12- проверяват способността на учениците да извършват операции с функции и да могат да прилагат производната към изучаването на функция.

Намерете максималната точка на функцията г= 10ln( х + 9) – 10х + 1.

Решение: 1) Намерете областта на дефиниция на функцията: х + 9 > 0, х> –9, тоест x ∈ (–9; ∞).

2) Намерете производната на функцията:

4) Намерената точка принадлежи на интервала (–9; ∞). Нека да определим знаците на производната на функцията и да изобразим поведението на функцията на фигурата:

Желаната максимална точка х = –8.

Изтеглете безплатно работната програма по математика за линията на учебните материали G.K. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравина 10-11 Изтегляне на безплатни учебни помагала по алгебра

Задача No13-повишено ниво на сложност с подробен отговор, проверка на способността за решаване на уравнения, най-успешно решени сред задачите с подробен отговор на повишено ниво на сложност.

а) Решете уравнението 2log 3 2 (2cos х) – 5log 3 (2cos х) + 2 = 0

б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

Решение:а) Нека log 3 (2co х) = T, след това 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

log 3 (2co х) =	2	⇔	2cos х = 9	⇔	cos х =	4,5	⇔ защото \|cos х\| ≤ 1,

log 3 (2co х) =	1		2cos х = √3		cos х =	√3
	2					2

тогава cos х =	√3
	2

х =	π	+ 2π к
	6

х = –	π	+ 2π к, к ∈ З
	6

б) Намерете корените, лежащи на отсечката .

Фигурата показва, че корените на дадения сегмент принадлежат на

11π	И	13π	.
6		6

Отговор:а)	π	+ 2π к; –	π	+ 2π к, к ∈ З; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задача No14-ниво за напреднали се отнася за задачите от втора част с подробен отговор. Задачата проверява умението за извършване на действия с геометрични фигури. Задачата съдържа две точки. В първа точка задачата трябва да бъде доказана, а във втора точка изчислена.

Диаметърът на окръжността на основата на цилиндъра е 20, образуващата на цилиндъра е 28. Равнината пресича основата му по хорди с дължина 12 и 16. Разстоянието между хордите е 2√197.

а) Докажете, че центровете на основите на цилиндъра лежат от едната страна на тази равнина.

б) Намерете ъгъла между тази равнина и равнината на основата на цилиндъра.

Решение:а) Хорда с дължина 12 е на разстояние = 8 от центъра на основния кръг, а хорда с дължина 16, по подобен начин, е на разстояние 6. Следователно разстоянието между техните проекции върху равнина, успоредна на основите на цилиндрите е или 8 + 6 = 14, или 8 − 6 = 2.

Тогава разстоянието между хордите е или

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Съгласно условието е реализиран вторият случай, при който проекциите на хордите лежат от едната страна на оста на цилиндъра. Това означава, че оста не пресича тази равнина в цилиндъра, т.е. основите лежат от едната му страна. Това, което трябваше да се докаже.

б) Нека означим центровете на основите като O 1 и O 2. Нека начертаем от центъра на основата с хорда с дължина 12 перпендикулярна ъглополовяща към тази хорда (тя има дължина 8, както вече беше отбелязано) и от центъра на другата основа към другата хорда. Те лежат в една и съща равнина β, перпендикулярна на тези хорди. Нека наречем средата на по-малката хорда B, по-голямата хорда A и проекцията на A върху втората основа - H (H ∈ β). Тогава AB,AH ∈ β и следователно AB,AH са перпендикулярни на хордата, тоест правата на пресичане на основата с дадената равнина.

Това означава, че търсеният ъгъл е равен на

∠ABH = арктан	А.Х.	= арктан	28	= arctg14.
	Б.Х.		8 – 6

Задача No15- повишено ниво на сложност с подробен отговор, проверява умението за решаване на неравенства, което се решава най-успешно сред задачите с подробен отговор с повишено ниво на сложност.

Пример 15.Решете неравенство | х 2 – 3х| дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 .

Решение:Областта на дефиниране на това неравенство е интервалът (–1; +∞). Разгледайте три случая поотделно:

1) Нека х 2 – 3х= 0, т.е. х= 0 или х= 3. В този случай това неравенство става вярно, следователно тези стойности са включени в решението.

2) Нека сега х 2 – 3х> 0, т.е. х∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Освен това, това неравенство може да се пренапише като ( х 2 – 3х) дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 и разделете на положителен израз х 2 – 3х. Получаваме дневник 2 ( х + 1) ≤ –1, х + 1 ≤ 2 –1 , х≤ 0,5 –1 или х≤ –0,5. Като вземем предвид домейна на дефиницията, имаме х ∈ (–1; –0,5].

3) И накрая, нека помислим х 2 – 3х < 0, при этом х∈ (0; 3). В този случай първоначалното неравенство ще бъде пренаписано във формата (3 х – х 2) дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2. След разделяне на положително 3 х – х 2, получаваме дневник 2 ( х + 1) ≤ 1, х + 1 ≤ 2, х≤ 1. Имайки предвид региона, имаме х ∈ (0; 1].

Комбинирайки получените решения, получаваме х ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Отговор: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задача No16- ниво за напреднали се отнася за задачите от втора част с подробен отговор. Задачата проверява умението за извършване на действия с геометрични фигури, координати и вектори. Задачата съдържа две точки. В първа точка задачата трябва да бъде доказана, а във втора точка изчислена.

IN равнобедрен триъгълник ABC с ъгъл 120° при върха A е начертана ъглополовяща BD. Правоъгълникът DEFH е вписан в триъгълник ABC така, че страната FH лежи на отсечката BC, а върхът E лежи на отсечката AB. а) Докажете, че FH = 2DH. б) Намерете площта на правоъгълника DEFH, ако AB = 4.

Решение:а)

1) ΔBEF – правоъгълник, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, тогава EF = BE по свойството на катета, лежащ срещу ъгъл от 30°.

2) Нека EF = DH = х, тогава BE = 2 х, BF = х√3 според Питагоровата теорема.

3) Тъй като ΔABC е равнобедрен, това означава ∠B = ∠C = 30˚.

BD е ъглополовяща на ∠B, което означава ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Да разгледаме ΔDBH – правоъгълен, т.к DH⊥BC.

2х	=	4 – 2х
2х(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – х
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – х

х = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) С DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

С DEFH = 24 – 12√3.

Отговор: 24 – 12√3.

Задача No17- задача с подробен отговор, тази задача проверява приложението на знанията и уменията в практическата дейност и ежедневието, способността за изграждане и изследване на математически модели. Тази задача е текстова с икономическо съдържание.

Пример 17.Депозит от 20 милиона рубли се планира да бъде открит за четири години. В края на всяка година банката увеличава депозита с 10% спрямо размера му в началото на годината. Освен това в началото на третата и четвъртата година инвеститорът ежегодно попълва депозита с хмилиона рубли, където х - цялономер. намирам най-висока стойност х, в който банката ще натрупа по-малко от 17 милиона рубли на депозита за четири години.

Решение:В края на първата година вноската ще бъде 20 + 20 · 0,1 = 22 милиона рубли, а в края на втората - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 милиона рубли. В началото на третата година вноската (в милиони рубли) ще бъде (24,2 + х), а накрая - (24,2 + Х) + (24,2 + Х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). В началото на четвъртата година вноската ще бъде (26,62 + 2,1 Х), а накрая - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). По условие трябва да намерите най-голямото цяло число x, за което е валидно неравенството

(29,282 + 2,31х) – 20 – 2х < 17

29,282 + 2,31х – 20 – 2х < 17

0,31х < 17 + 20 – 29,282

0,31х < 7,718

х <	7718
	310

х <	3859
	155

х < 24	139
	155

Най-голямото цяло число решение на това неравенство е числото 24.

Отговор: 24.

Задача No18- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Упражнение високо нивосложност - тази задача не е за използване на един метод за решаване, а за комбинация различни методи. За успешното изпълнение на задача 18 освен солидни математически познания са необходими и висока математическа култура.

При какво асистема от неравенства

	х 2 + г 2 ≤ 2ай – а 2 + 1

	г + а ≤ \|х\| – а

има точно две решения?

Решение:Тази система може да бъде пренаписана във формата

	х 2 + (г– а) 2 ≤ 1

	г ≤ \|х\| – а

Ако начертаем върху равнината набора от решения на първото неравенство, ще получим вътрешността на окръжност (с граница) с радиус 1 с център в точката (0, А). Множеството от решения на второто неравенство е частта от равнината, лежаща под графиката на функцията г = | х| – а, а последната е графиката на функцията
г = | х| , изместен надолу с А. Решението на тази система е пресечната точка на множествата от решения на всяко от неравенствата.

Следователно две решения тази системаще има само в случая, показан на фиг. 1.

Допирните точки на окръжността с правите ще бъдат двете решения на системата. Всяка от правите е наклонена спрямо осите под ъгъл 45°. Така че това е триъгълник PQR– правоъгълен равнобедрен. Точка Qима координати (0, А), и точката Р– координати (0, – А). Освен това сегментите PRИ PQравен на радиуса на окръжността равен на 1. Това означава

Qr= 2а = √2, а =	√2	.
	2

Отговор: а =	√2	.
	2

Задача No19- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Задача с високо ниво на сложност е задача не за използването на един метод за решение, а за комбинация от различни методи. За да изпълните успешно задача 19, трябва да можете да търсите решение, като избирате различни подходи измежду познатите и модифицирате изучаваните методи.

Позволявам снсума Пусловия на аритметична прогресия ( a p). Известно е, че S n + 1 = 2н 2 – 21н – 23.

а) Въведете формулата Пти термин от тази прогресия.

б) Намерете най-малката абсолютна сума S n.

в) Намерете най-малкото П, при което S nще бъде квадрат на цяло число.

Решение: а) Очевидно е, че a n = S n – S n- 1 . Използвайки тази формула, получаваме:

S n = С (н – 1) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 1) – 23 = 2н 2 – 25н,

S n – 1 = С (н – 2) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 2) – 23 = 2н 2 – 25н+ 27

означава, a n = 2н 2 – 25н – (2н 2 – 29н + 27) = 4н – 27.

Б) Тъй като S n = 2н 2 – 25н, след това разгледайте функцията С(х) = | 2х 2 – 25x|. Графиката му може да се види на фигурата.

Очевидно най-малката стойност се постига в целочислените точки, разположени най-близо до нулите на функцията. Очевидно това са точки х= 1, х= 12 и х= 13. Тъй като, С(1) = |С 1 | = |2 – 25| = 23, С(12) = |С 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, С(13) = |С 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, тогава най-малката стойност е 12.

в) От предходния параграф следва, че снположително, започвайки от н= 13. Тъй като S n = 2н 2 – 25н = н(2н– 25), тогава очевидният случай, когато този израз е пълен квадрат, се реализира, когато н = 2н– 25, т.е П= 25.

Остава да проверите стойностите от 13 до 25:

С 13 = 13 1, С 14 = 14 3, С 15 = 15 5, С 16 = 16 7, С 17 = 17 9, С 18 = 18 11, С 19 = 19 13, С 20 = 20 13, С 21 = 21 17, С 22 = 22 19, С 23 = 23 21, С 24 = 24 23.

Оказва се, че за по-малки стойности Пне се постига пълен квадрат.

Отговор:а) a n = 4н– 27; б) 12; в) 25.

________________

*От май 2017 г. обединената издателска група "ДРОФА-ВЕНТАНА" е част от корпорацията "Учебник по руски език". В корпорацията влизат още издателство Астрел и дигиталната образователна платформа LECTA. Генералният директорназначен Александър Бричкин, възпитаник на Финансовата академия към правителството на Руската федерация, кандидат на икономическите науки, ръководител иновативни проектииздателство "ДРОФА" в областта на дигиталното образование (електронни форми на учебници, "рус. електронно училище“, дигитална образователна платформа LECTA). Преди да се присъедини към издателство ДРОФА, заема длъжността вицепрезидент за стратегическо развитиеи инвестиции на издателския холдинг "EXMO-AST". Днес издателската корпорация "Руски учебник" има най-голямото портфолио от учебници, включени във Федералния списък - 485 заглавия (приблизително 40%, без учебниците за специални училища). Издателствата на корпорацията притежават най-популярните комплекти учебници в руските училища по физика, рисуване, биология, химия, технологии, география, астрономия - области на знанието, които са необходими за развитието на производствения потенциал на страната. Портфолиото на корпорацията включва учебници и учебни помагалаЗа начално училище, удостоен с президентската награда в областта на образованието. Това са учебници и ръководства по предметни области, които са необходими за развитието на научно-техническия и производствения потенциал на Русия.

Няма промени на Единния държавен изпит по математика на ниво профил през 2019 г. - изпитната програма, както и в предходните години, е съставена от материали от основните математически дисциплини. Билетите ще съдържат математически, геометрични и алгебрични задачи.

Няма промени в Единния държавен изпит KIM 2019 по математика на ниво профил.

Характеристики на задачите за единен държавен изпит по математика 2019 г

Когато се подготвяте за Единния държавен изпит по математика (профил), обърнете внимание на основните изисквания на изпитната програма. Предназначен е за проверка на знанията по задълбочена програма: векторни и математически модели, функции и логаритми, алгебрични уравнения и неравенства.
Отделно упражнете решаване на задачи в .
Важно е да проявяваме иновативно мислене.

Структура на изпита

Задачи за единен държавен изпитспециализирана математикаразделен на два блока.

Част - кратки отговори, включва 8 задачи, които проверяват основната математическа подготовка и способността за прилагане на знанията по математика в ежедневието.
част -кратко и подробни отговори. Състои се от 11 задачи, 4 от които изискват кратък отговор, а 7 - подробен с аргументация за извършените действия.

Напреднала трудност- задачи 9-17 от втората част на КИМ.
Високо ниво на трудност- задачи 18-19 –. Тази част изпитни задачипроверява не само нивото на математическите знания, но и наличието или отсъствието творчески подходза решаване на сухи „числови“ задачи, както и ефективността на способността за използване на знания и умения като професионален инструмент.

важно!Ето защо, в подготовката за Теория на единния държавен изпитВ математиката винаги ги подкрепяйте, като решавате практически задачи.

Как ще се разпределят точките?

Задачите от първата част на КИМ по математика са близки до Тестове за единен държавен изпитосновно ниво, така че е невъзможно да се постигне висок резултат на тях.

Точките за всяка задача по математика на ниво профил бяха разпределени както следва:

за верни отговори на задачи No 1-12 - 1 точка;
No 13-15 – по 2 бр.;
No 16-17 – по 3 бр.;
No 18-19 – по 4 бр.

Продължителност на изпита и правила за провеждане на Единния държавен изпит

За попълване на изпитната работа -2019 ученикът е назначен 3 часа 55 минути(235 минути).

През това време ученикът не трябва:

държат се шумно;
използване на джаджи и други технически средства;
отписвам;
опитайте се да помогнете на другите или поискайте помощ за себе си.

За подобни действия изпитваният може да бъде изгонен от класната стая.

За държавния изпит по математика позволено да донесеНосете със себе си само линийка; останалите материали ще ви бъдат дадени непосредствено преди Единния държавен изпит. се издават на място.

Ефективна подготовка- това е решението онлайн тестовепо математика 2019. Изберете и вземете максимален резултат!

Средно общо образование

Линия UMK G. K. Muravin. Алгебра и принципи на математическия анализ (10-11) (задълбочено)

Линия UMK Merzlyak. Алгебра и начало на анализа (10-11) (U)

Математика

Подготовка за Единния държавен изпит по математика (ниво на профил): задачи, решения и обяснения

Анализираме задачи и решаваме примери с учителя

Изпитът за профилно ниво е с продължителност 3 часа 55 минути (235 минути).

Минимален праг- 27 точки.

Изпитната работа се състои от две части, които се различават по съдържание, сложност и брой задачи.

Определящата характеристика на всяка част от работата е формата на задачите:

част 1 съдържа 8 задачи (задачи 1-8) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб;
част 2 съдържа 4 задачи (задачи 9-12) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб и 7 задачи (задачи 13-19) с подробен отговор (пълен запис на решението с обосновка за взети мерки).

Панова Светлана Анатолевна, учител по математика от най-висока категория на училище, трудов стаж 20 години:

„За да получи диплома, абитуриентът трябва да положи два задължителни изпита под формата на Единен държавен изпит, единият от които е математика. В съответствие с Концепцията за развитие на математическото образование в Руската федерация Единният държавен изпит по математика е разделен на две нива: основно и специализирано. Днес ще разгледаме опциите на ниво профил.“

Задача No1- проверява способността на участниците в Единния държавен изпит да прилагат уменията, придобити в курса по елементарна математика от 5 до 9 клас, в практически дейности. Участникът трябва да има изчислителни умения, да може да работи с рационални числа, да може да закръгля десетични знаци и да може да преобразува една мерна единица в друга.

Пример 1.В апартамента, в който живее Петър, е монтиран разходомер (мер) за студена вода. На 1 май броячът показваше разход от 172 кубика. м вода, а на първи юни - 177 куб.м. м. Каква сума трябва да плати Петър за студена вода през май, ако цената е 1 кубичен метър? м студена вода е 34 рубли 17 копейки? Дайте отговора си в рубли.

Решение:

1) Намерете количеството вода, изразходвано на месец:

177 - 172 = 5 (кубични м)

2) Нека разберем колко пари ще платят за похабена вода:

34.17 5 = 170.85 (разтривайте)

Отговор: 170,85.

Задача No2- е една от най-простите изпитни задачи. По-голямата част от завършилите се справят успешно с него, което показва познаване на дефиницията на понятието функция. Тип задача № 2 според кодификатора на изискванията е задача за използване на придобитите знания и умения в практическите дейности и ежедневието. Задача № 2 се състои в описание, използване на функции, различни реални връзки между величини и интерпретиране на техните графики. Задача № 2 проверява умението за извличане на информация, представена в таблици, диаграми и графики. Завършилите трябва да могат да определят стойността на функция от стойността на аргумента по различни начини за специфициране на функцията и да опишат поведението и свойствата на функцията въз основа на нейната графика. Също така трябва да можете да намирате най-голямата или най-малката стойност от графика на функция и да изграждате графики на изучаваните функции. Допуснатите грешки са случайни при четене на условията на проблема, четене на диаграмата.

#ADVERTISING_INSERT#

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акции) - представляват 3/4 от всички закупени акции.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - бизнесменът получи 1000 акции след продажбата.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (rub) - бизнесменът е загубил в резултат на всички операции.

Отговор: 15000.

Задача No3- е задача от основно ниво от първа част, проверява уменията за извършване на действия с геометрични фигури според съдържанието на курса Планиметрия. Задача 3 проверява умението за изчисляване на площта на фигура върху карирана хартия, умението за изчисляване на градусни мерки на ъгли, изчисляване на периметри и др.

Решение:За да изчислите площта на дадена фигура, можете да използвате формулата Peak:

За да изчислим площта на даден правоъгълник, използваме формулата на Peak:

С= B +	Ж
	2

където B = 10, G = 6, следователно

С = 18 +	6
	2

Отговор: 20.

Решение: 1) Нека използваме формулата за броя на комбинациите от нелементи от к:

чиито върхове са червени.

3) Един петоъгълник с всички върхове в червено.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоъгълника с всички червени върхове.

които имат червени върхове или с един син връх.

8) Един шестоъгълник с червени върхове и един син връх.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоъгълника с всички червени върхове или един син връх.

10) 42 – 16 = 26 многоъгълника, използвайки синята точка.

Отговор: 10.

Пример 5.Решете уравнение 2 3 + х= 0,4 5 3 + х .

Решение.Разделете двете страни на това уравнение на 5 3 + х≠ 0, получаваме

2 3 + х	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откъдето следва, че 3 + х = 1, х = –2.

Отговор: –2.

следователно С ЛЕГЛО = С Δ ABC – С Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

(г – г 1)(х 2 – х 1) = (х – х 1)(г 2 – г 1)

(г – 3)(3 – 4) = (х – 4)(–1 – 3)

(г – 3)(–1) = (х – 4)(–4)

–г + 3 = –4х+ 16| · (-1)

г – 3 = 4х – 16

г = 4х– 13, където к 1 = 4.

2) Намерете наклона на тангентата к 2, която е перпендикулярна на правата г = 4х– 13, където к 1 = 4, по формулата:

3) Ъгълът на допирателната е производната на функцията в точката на допирателна. означава, f′( х 0) = к 2 = –0,25.

Отговор: –0,25.

Обемът на куб, описан около сфера, е 216. Намерете радиуса на сферата.

Решение. 1) Vкуб = а 3 (където А– дължина на ръба на куба), следователно

А 3 = 216

А = 3 √216

Задача No9- изисква от завършилия да има умения да трансформира и опростява алгебрични изрази. Задача № 9 с повишена степен на трудност с кратък отговор. Задачите от раздела „Изчисления и трансформации“ в Единния държавен изпит са разделени на няколко типа:

преобразуване на числени рационални изрази;

преобразуване на алгебрични изрази и дроби;

преобразуване на числови/буквени ирационални изрази;

действия със степени;

преобразуване на логаритмични изрази;

конвертиране на числови/буквени тригонометрични изрази.

Пример 9.Изчислете tanα, ако е известно, че cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Нека използваме формулата с двоен аргумент: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и да намерим

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Това означава tan 2 α = ± 0,5.

3) По условие

3π	< α < π,
4

това означава, че α е ъгълът на втората четвърт и tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Отговор: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задача No10- проверява способността на учениците да използват придобитите ранни знания и умения в практически дейности и ежедневието. Можем да кажем, че това са задачи по физика, а не по математика, но в условието са дадени всички необходими формули и количества. Задачите се свеждат до решаване на линейно или квадратно уравнение или линейно или квадратно неравенство. Следователно е необходимо да можете да решавате такива уравнения и неравенства и да определяте отговора. Отговорът трябва да бъде даден като цяло число или крайна десетична дроб.

мв 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Тъй като α ∈ (0°; 90°), ще решим само

Нека представим решението на неравенството графично:

Решение:Нека обозначим а 1 = 5 – броят на задачите, които Вася реши на 18 март, д– дневен брой задачи, решени от Вася, н= 16 – брой дни от 18 март до 2 април включително, С 16 = 560 – общ брой задачи, а 16 – броят на задачите, които Вася реши на 2 април. Знаейки, че всеки ден Вася е решавал същия брой задачи повече в сравнение с предходния ден, можем да използваме формули за намиране на сумата от аритметична прогресия:

560 = (5 + а 16) 8,

5 + а 16 = 560: 8,

5 + а 16 = 70,

а 16 = 70 – 5

а 16 = 65.

Отговор: 65.

Намерете максималната точка на функцията г= 10ln( х + 9) – 10х + 1.

Решение: 1) Намерете областта на дефиниция на функцията: х + 9 > 0, х> –9, тоест x ∈ (–9; ∞).

2) Намерете производната на функцията:

Желаната максимална точка х = –8.

а) Решете уравнението 2log 3 2 (2cos х) – 5log 3 (2cos х) + 2 = 0

б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

Решение:а) Нека log 3 (2co х) = T, след това 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

log 3 (2co х) =	2	⇔	2cos х = 9	⇔	cos х =	4,5	⇔ защото \|cos х\| ≤ 1,

log 3 (2co х) =	1		2cos х = √3		cos х =	√3
	2					2

тогава cos х =	√3
	2

х =	π	+ 2π к
	6

х = –	π	+ 2π к, к ∈ З
	6

б) Намерете корените, лежащи на отсечката .

Фигурата показва, че корените на дадения сегмент принадлежат на

11π	И	13π	.
6		6

Отговор:а)	π	+ 2π к; –	π	+ 2π к, к ∈ З; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

а) Докажете, че центровете на основите на цилиндъра лежат от едната страна на тази равнина.

б) Намерете ъгъла между тази равнина и равнината на основата на цилиндъра.

Тогава разстоянието между хордите е или

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Това означава, че търсеният ъгъл е равен на

∠ABH = арктан	А.Х.	= арктан	28	= arctg14.
	Б.Х.		8 – 6

Пример 15.Решете неравенство | х 2 – 3х| дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 .

Решение:Областта на дефиниране на това неравенство е интервалът (–1; +∞). Разгледайте три случая поотделно:

Комбинирайки получените решения, получаваме х ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Отговор: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

В равнобедрен триъгълник ABC с ъгъл 120° във върха A е начертана ъглополовящата BD. Правоъгълникът DEFH е вписан в триъгълник ABC така, че страната FH лежи на отсечката BC, а върхът E лежи на отсечката AB. а) Докажете, че FH = 2DH. б) Намерете площта на правоъгълника DEFH, ако AB = 4.

Решение:а)

1) ΔBEF – правоъгълник, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, тогава EF = BE по свойството на катета, лежащ срещу ъгъл от 30°.

2) Нека EF = DH = х, тогава BE = 2 х, BF = х√3 според Питагоровата теорема.

3) Тъй като ΔABC е равнобедрен, това означава ∠B = ∠C = 30˚.

BD е ъглополовяща на ∠B, което означава ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Да разгледаме ΔDBH – правоъгълен, т.к DH⊥BC.

2х	=	4 – 2х
2х(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – х
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – х

х = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) С DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

С DEFH = 24 – 12√3.

Отговор: 24 – 12√3.

Пример 17.Депозит от 20 милиона рубли се планира да бъде открит за четири години. В края на всяка година банката увеличава депозита с 10% спрямо размера му в началото на годината. Освен това в началото на третата и четвъртата година инвеститорът ежегодно попълва депозита с хмилиона рубли, където х - цялономер. Намерете най-голямата стойност х, в който банката ще натрупа по-малко от 17 милиона рубли на депозита за четири години.

(29,282 + 2,31х) – 20 – 2х < 17

29,282 + 2,31х – 20 – 2х < 17

0,31х < 17 + 20 – 29,282

0,31х < 7,718

х <	7718
	310

х <	3859
	155

х < 24	139
	155

Най-голямото цяло число решение на това неравенство е числото 24.

Отговор: 24.

Задача No18- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Задача с високо ниво на сложност е задача не за използването на един метод за решение, а за комбинация от различни методи. За успешното изпълнение на задача 18 освен солидни математически познания са необходими и висока математическа култура.

При какво асистема от неравенства

	х 2 + г 2 ≤ 2ай – а 2 + 1

	г + а ≤ \|х\| – а

има точно две решения?

Решение:Тази система може да бъде пренаписана във формата

	х 2 + (г– а) 2 ≤ 1

	г ≤ \|х\| – а

Следователно тази система ще има две решения само в случая, показан на фиг. 1.

Qr= 2а = √2, а =	√2	.
	2

Отговор: а =	√2	.
	2

Позволявам снсума Пусловия на аритметична прогресия ( a p). Известно е, че S n + 1 = 2н 2 – 21н – 23.

а) Въведете формулата Пти термин от тази прогресия.

б) Намерете най-малката абсолютна сума S n.

в) Намерете най-малкото П, при което S nще бъде квадрат на цяло число.

Решение: а) Очевидно е, че a n = S n – S n- 1 . Използвайки тази формула, получаваме:

S n = С (н – 1) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 1) – 23 = 2н 2 – 25н,

S n – 1 = С (н – 2) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 2) – 23 = 2н 2 – 25н+ 27

означава, a n = 2н 2 – 25н – (2н 2 – 29н + 27) = 4н – 27.

Остава да проверите стойностите от 13 до 25:

С 13 = 13 1, С 14 = 14 3, С 15 = 15 5, С 16 = 16 7, С 17 = 17 9, С 18 = 18 11, С 19 = 19 13, С 20 = 20 13, С 21 = 21 17, С 22 = 22 19, С 23 = 23 21, С 24 = 24 23.

Оказва се, че за по-малки стойности Пне се постига пълен квадрат.

Отговор:а) a n = 4н– 27; б) 12; в) 25.

________________

*От май 2017 г. обединената издателска група "ДРОФА-ВЕНТАНА" е част от корпорацията "Учебник по руски език". В корпорацията влизат още издателство Астрел и дигиталната образователна платформа LECTA. Александър Бричкин, възпитаник на Финансовата академия към правителството на Руската федерация, кандидат на икономическите науки, ръководител на иновативни проекти на издателство DROFA в областта на цифровото образование (електронни форми на учебници, Руско електронно училище, цифрова образователна платформа LECTA) е назначен за генерален директор. Преди да се присъедини към издателство DROFA, той заема длъжността вицепрезидент по стратегическо развитие и инвестиции на издателския холдинг EKSMO-AST. Днес издателската корпорация "Руски учебник" има най-голямото портфолио от учебници, включени във Федералния списък - 485 заглавия (приблизително 40%, без учебниците за специални училища). Издателствата на корпорацията притежават най-популярните комплекти учебници в руските училища по физика, рисуване, биология, химия, технологии, география, астрономия - области на знанието, които са необходими за развитието на производствения потенциал на страната. Портфолиото на корпорацията включва учебници и учебни помагала за началните училища, удостоени с президентската награда в областта на образованието. Това са учебници и ръководства по предметни области, които са необходими за развитието на научно-техническия и производствения потенциал на Русия.