Как да начертая графика на функцията y=sin x? Първо, нека разгледаме синусовата графика на интервала.

Взимаме един сегмент с дължина 2 клетки в тетрадката. На оста Oy отбелязваме едно.

За удобство закръгляме числото π/2 до 1,5 (а не до 1,6, както се изисква от правилата за закръгляване). В този случай сегмент с дължина π/2 съответства на 3 клетки.

На оста Ox маркираме не отделни сегменти, а сегменти с дължина π/2 (на всеки 3 клетки). Съответно сегмент с дължина π съответства на 6 клетки, а сегмент с дължина π/6 съответства на 1 клетка.

При този избор на единична отсечка графиката, изобразена на лист от тетрадка в кутия, съответства максимално на графиката на функцията y=sin x.

Нека направим таблица със синусови стойности на интервала:

Маркираме получените точки на координатната равнина:

Тъй като y=sin x е нечетна функция, синусовата графика е симетрична по отношение на началото - точка O(0;0). Като вземем предвид този факт, продължаваме да начертаваме графиката вляво, след това точките -π:

Функцията y=sin x е периодична с период T=2π. Следователно графиката на функция, взета в интервала [-π;π], се повтаря безкраен брой пъти надясно и наляво.

В този урок ще разгледаме подробно функцията y = sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем дефиницията на тригонометричната функция y = sin t върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи с помощта на графиката на функция и нейните свойства.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика

Когато разглеждате функция, важно е да свържете всяка стойност на аргумента с една стойност на функцията. това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.

Нека дефинираме закона за съответствие за .

Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която се нарича синус на числото (фиг. 1).

Всяка стойност на аргумент е свързана с една стойност на функцията.

Очевидни свойства следват от дефиницията на синуса.

Фигурата показва това защото е ординатата на точка от единичната окръжност.

Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.

Например, ъгъл върху единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)

Получихме графика на функцията в областта, но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг. 3).

Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи през цялата област на дефиниране.

Разгледайте свойствата на функцията:

1) Обхват на определението:

2) Диапазон от стойности:

3) Странна функция:

4) Най-малкият положителен период:

5) Координати на точките на пресичане на графиката с абсцисната ос:

6) Координати на пресечната точка на графиката с ординатната ос:

7) Интервали, при които функцията приема положителни стойности:

8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:

9) Увеличаване на интервалите:

10) Намаляващи интервали:

11) Минимални точки:

12) Минимални функции:

13) Максимален брой точки:

14) Максимални функции:

Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.

Референции

1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.

5. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави - М.: Висше училище, 1992 г.).

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.

7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции - М.: Просвещение, 2003 г.).

8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.

домашна работа

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.

А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен портал за подготовка за изпити ().

, Конкурс "Презентация към урока"

Презентация към урока

Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Желязото ръждясва, без да намери никаква употреба,
стоящата вода изгнива или замръзва на студа,
и умът на човека, без да намира никаква употреба за себе си, изнемогва.
Леонардо да Винчи

Използвани технологии:проблемно-базирано обучение, критично мислене, комуникативна комуникация.

Цели:

• Развитие на познавателен интерес към ученето.
• Изучаване свойствата на функцията y = sin x.
• Формиране на практически умения за построяване на графика на функцията y = sin x въз основа на изучения теоретичен материал.

Задачи:

1. Използвайте съществуващия потенциал от знания за свойствата на функцията y = sin x в конкретни ситуации.

2. Прилага съзнателно установяване на връзки между аналитични и геометрични модели на функцията y = sin x.

Развийте инициативност, определена воля и интерес за намиране на решение; способността да вземате решения, да не спирате дотук и да защитавате своята гледна точка.

Да насърчава у учениците когнитивна активност, чувство за отговорност, уважение един към друг, взаимно разбиране, взаимна подкрепа и самочувствие; култура на общуване.

Напредък на урока

Етап 1. Актуализиране на основни знания, мотивиране за усвояване на нов материал

"Влизане в урока."

На дъската са написани 3 твърдения:

1. Тригонометричното уравнение sin t = a винаги има решения.
2. Графиката на нечетна функция може да бъде конструирана с помощта на трансформация на симетрия спрямо оста Oy.
3. Тригонометрична функция може да бъде начертана като се използва една главна полувълна.

Учениците обсъждат по двойки: верни ли са твърденията? (1 минута). След това резултатите от първоначалното обсъждане (да, не) се въвеждат в таблицата в колоната „Преди“.

Учителят определя целите и задачите на урока.

2. Актуализиране на знанията (фронтално върху модел на тригонометрична окръжност).

Вече се запознахме с функцията s = sin t.

1) Какви стойности може да приеме променливата t. Какъв е обхватът на тази функция?

2) В какъв интервал се съдържат стойностите на израза sin t? Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията s = sin t.

3) Решете уравнението sin t = 0.

4) Какво се случва с ординатата на точка, докато се движи по първата четвърт? (ординатата нараства). Какво се случва с ординатата на точка, докато се движи през втората четвърт? (ординатата постепенно намалява). Как това е свързано с монотонността на функцията? (функцията s = sin t нараства на отсечката и намалява на отсечката ).

5) Нека напишем функцията s = sin t във формата y = sin x, която ни е позната (ще я конструираме в обичайната координатна система xOy) и съставете таблица със стойностите на тази функция.

X	0
при	0			1			0

Етап 2. Възприятие, разбиране, първично консолидиране, неволно запаметяване

Етап 4. Първична систематизация на знанията и методите на дейност, тяхното пренасяне и прилагане в нови ситуации

6. № 10.18 (b,c)

Етап 5. Заключителен контрол, поправка, оценка и самооценка

7. Върнете се към твърденията (началото на урока), обсъдете използването на свойствата на тригонометричната функция y = sin x и попълнете колоната „След“ в таблицата.

8. D/z: клауза 10, № 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

ФУНКЦИОНАЛНА ГРАФИКА

Функция синус

- много Рвсички реални числа.

Стойности на множество функции— сегмент [-1; 1], т.е. синусова функция - ограничено.

Странна функция: sin(−x)=−sin x за всички x ∈ Р.

Функцията е периодична

sin(x+2π k) = sin x, където k ∈ Зза всички x ∈ Р.

sin x = 0за x = π·k, k ∈ З.

sin x > 0(положителен) за всички x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ З.

грях х< 0 (отрицателно) за всички x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ З.

Функция косинус

Функционален домейн- много Рвсички реални числа.

Стойности на множество функции— сегмент [-1; 1], т.е. косинусова функция - ограничено.

Четна функция: cos(−x)=cos x за всички x ∈ Р.

Функцията е периодичнас най-малък положителен период 2π:

cos(x+2π к) = cos x, където к ∈ Зза всички x ∈ Р.

cos x = 0при
cos x > 0за всички
cos x< 0 за всички
Функцията се увеличаваот −1 до 1 на интервали:
Функцията намаляваот −1 до 1 на интервали:
Най-голямата стойност на функцията sin x = 1по точки:
Най-малката стойност на функцията sin x = −1по точки:

Тангенсна функция

Стойности на множество функции— цялата числова ос, т.е. тангенс - функция неограничен.

Странна функция: tg(−x)=−tg x
Графиката на функцията е симетрична спрямо оста OY.

Функцията е периодичнас най-малък положителен период π, т.е. tg(x+π к) = тен x, к ∈ Зза всички x от областта на дефиницията.

Функция котангенс

Стойности на множество функции— цялата числова ос, т.е. котангенс - функция неограничен.

Странна функция: ctg(−x)=−ctg x за всички x от областта на дефиницията.
Графиката на функцията е симетрична спрямо оста OY.

Функцията е периодичнас най-малък положителен период π, т.е. cotg(x+π к)=ctg x, к ∈ Зза всички x от областта на дефиницията.

Функция арксинус

Функционален домейн— сегмент [-1; 1]

Стойности на множество функции- сегмент -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус - функция ограничено.

Странна функция: arcsin(−x)=−arcsin x за всички x ∈ Р.
Графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

В цялата зона на дефиниране.

Арк косинус функция

Функционален домейн— сегмент [-1; 1]

Стойности на множество функции— сегмент 0 arccos x π, т.е. аркосинус - функция ограничено.

Функцията се увеличававърху цялата зона на дефиниране.

Арктангенс функция

Функционален домейн- много Рвсички реални числа.

Стойности на множество функции— сегмент 0 π, т.е. арктангенс - функция ограничено.

Странна функция: arctg(−x)=−arctg x за всички x ∈ Р.
Графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

Функцията се увеличававърху цялата зона на дефиниране.

Функция аркутангенс

Функционален домейн- много Рвсички реални числа.

Стойности на множество функции— сегмент 0 π, т.е. арккотангенс - функция ограничено.

Функцията не е нито четна, нито нечетна.
Графиката на функцията не е асиметрична нито по отношение на началото, нито по отношение на оста Oy.

Функцията намалявавърху цялата зона на дефиниране.

Урок и презентация на тема: "Функция y=sin(x). Определения и свойства"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:

• Свойства на функцията Y=sin(X).
• Функционална графика.
• Как да изградим графика и нейния мащаб.
• Примери.

Свойства на синуса. Y=грех(X)

Момчета, вече се запознахме с тригонометрични функции на числен аргумент. помните ли ги

Нека разгледаме по-подробно функцията Y=sin(X)

Нека запишем някои свойства на тази функция:
1) Областта на дефиниция е множеството от реални числа.
2) Функцията е нечетна. Нека си припомним дефиницията на нечетна функция. Една функция се нарича нечетна, ако е изпълнено равенството: y(-x)=-y(x). Както помним от призрачните формули: sin(-x)=-sin(x). Дефиницията е изпълнена, което означава, че Y=sin(X) е нечетна функция.
3) Функцията Y=sin(X) нараства на отсечката и намалява на отсечката [π/2; π]. Когато се движим по първата четвърт (обратно на часовниковата стрелка), ординатата нараства, а когато се движим през втората четвърт, намалява.

4) Функцията Y=sin(X) е ограничена отдолу и отгоре. Това свойство следва от факта, че
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Най-малката стойност на функцията е -1 (при x = - π/2+ πk). Най-голямата стойност на функцията е 1 (при x = π/2+ πk).

Нека използваме свойства 1-5, за да начертаем функцията Y=sin(X). Ще изградим нашата графика последователно, прилагайки нашите свойства. Нека започнем да изграждаме графика върху сегмента.

Особено внимание трябва да се обърне на мащаба. По ординатната ос е по-удобно да вземете единичен сегмент, равен на 2 клетки, а по абсцисната ос е по-удобно да вземете единичен сегмент (две клетки), равен на π/3 (виж фигурата).

Начертаване на функцията синус x, y=sin(x)

Нека изчислим стойностите на функцията на нашия сегмент:

Нека изградим графика, използвайки нашите точки, като вземем предвид третото свойство.

Таблица за преобразуване на призрачни формули

Нека използваме второто свойство, което казва, че нашата функция е нечетна, което означава, че може да бъде отразена симетрично по отношение на произхода:

Знаем, че sin(x+ 2π) = sin(x). Това означава, че на интервала [- π; π] графиката изглежда по същия начин като на сегмента [π; 3π] или или [-3π; - π] и така нататък. Всичко, което трябва да направим, е внимателно да преначертаем графиката на предишната фигура по цялата ос x.

Графиката на функцията Y=sin(X) се нарича синусоида.

Нека напишем още няколко свойства според построената графика:
6) Функцията Y=sin(X) нараства върху всяка отсечка от вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k е цяло число и намалява на всеки сегмент от формата: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – цяло число.
7) Функцията Y=sin(X) е непрекъсната функция. Нека да разгледаме графиката на функцията и да се уверим, че нашата функция няма прекъсвания, това означава непрекъснатост.
8) Диапазон от стойности: сегмент [- 1; 1]. Това се вижда ясно и от графиката на функцията.
9) Функция Y=sin(X) - периодична функция. Нека отново да погледнем графиката и да видим, че функцията приема същите стойности на определени интервали.

Примери за задачи със синус

1. Решете уравнението sin(x)= x-π

Решение: Нека построим 2 графики на функцията: y=sin(x) и y=x-π (виж фигурата).
Нашите графики се пресичат в една точка A(π;0), това е отговорът: x = π

2. Начертайте графика на функцията y=sin(π/6+x)-1

Решение: Желаната графика ще бъде получена чрез преместване на графиката на функцията y=sin(x) π/6 единици наляво и 1 единица надолу.

Решение: Нека начертаем функцията и разгледаме нашата отсечка [π/2; 5π/4].
Графиката на функцията показва, че най-големите и най-малките стойности се постигат в краищата на сегмента, съответно в точки π/2 и 5π/4.
Отговор: sin(π/2) = 1 – най-голямата стойност, sin(5π/4) = най-малката стойност.

Синусови задачи за самостоятелно решение

• Решете уравнението: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Начертайте графика на функцията y=sin(π/3+x)-2
• Начертайте графика на функцията y=sin(-2π/3+x)+1
• Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y=sin(x) върху отсечката
• Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y=sin(x) на интервала [- π/3; 5π/6]