В тази статия ще разгледаме умножение на смесени числа. Първо ще очертаем правилото за умножение на смесени числа и ще разгледаме приложението на това правило при решаване на примери. След това ще говорим за умножаване на смесено число и естествено число. Накрая ще научим как да умножаваме смесено число и обикновена дроб.

Навигация в страницата.

Умножение на смесени числа.

Умножение на смесени числаможе да се сведе до умножаване на обикновени дроби. За да направите това, достатъчно е да преобразувате смесени числа в неправилни дроби.

Нека го запишем правило за умножение на смесени числа:

• Първо, смесените числа, които се умножават, трябва да бъдат заменени с неправилни дроби;
• Второ, трябва да използвате правилото за умножение на дроби по дроби.

Нека да разгледаме примери за прилагане на това правило при умножаване на смесено число по смесено число.

Извършете умножение на смесени числа и .

Първо, нека представим смесените числа, които се умножават като неправилни дроби: И . Сега можем да заменим умножението на смесени числа с умножението на обикновени дроби: . Прилагайки правилото за умножение на дроби, получаваме . Получената дроб е несъкратима (вижте съкратими и несъкратими дроби), но е неправилна (вижте правилни и неправилни дроби), следователно, за да получите окончателния отговор, остава да изолирате цялата част от неправилната дроб: .

Нека напишем цялото решение в един ред: .

.

За да затвърдите уменията за умножение на смесени числа, помислете за решаване на друг пример.

Направете умножението.

Смешни числа и са равни съответно на дробите 13/5 и 10/9. Тогава . На този етап е време да си спомните за намаляването на дроб: заменете всички числа в дробта с техните разложения на прости множители и извършете редукция на идентични множители.

Умножение на смесено число и естествено число

След замяна на смесено число с неправилна дроб, умножение на смесено число и естествено числоводи до умножение на обикновена дроб и естествено число.

Умножете смесено число и естественото число 45.

Тогава едно смесено число е равно на дроб . Нека заменим числата в получената дроб с техните разложения на прости множители, извършим редукция и след това изберем цялата част: .

.

Умножението на смесено число и естествено число понякога се извършва удобно, като се използва разпределителното свойство на умножението спрямо събирането. В този случай произведението на смесено число и естествено число е равно на сбора от произведенията на цялата част по даденото естествено число и дробната част по даденото естествено число, т.е. .

Изчислете произведението.

Нека заместим смесеното число със сбора от целите и дробните части, след което приложим разпределителното свойство на умножението: .

Умножение на смесени числа и дробиНай-удобно е да го сведем до умножение на обикновени дроби, като представим смесеното число, което се умножава, като неправилна дроб.

Умножете смесеното число по обикновената дроб 4/15.

Заменяйки смесеното число с дроб, получаваме .

www.cleverstudents.ru

Умножение на дроби

§ 140. Определения. 1) Умножаването на дроб по цяло число се дефинира по същия начин като умножаването на цели числа, а именно: да се умножи число (множител) по цяло число (фактор) означава да се състави сума от еднакви членове, в която всеки член е равен на множителя, а броят на членовете е равен на множителя.

Така че умножаването по 5 означава намиране на сумата:
2) Умножаването на число (умножено) по дроб (множител) означава намиране на тази част от умноженото.

По този начин намирането на дроб от дадено число, което разгледахме преди, сега ще наричаме умножение с дроб.

3) Да умножите число (множител) по смесено число (коефициент) означава да умножите множителя първо по цялото число на множителя, след това по частта на множителя и да добавите резултатите от тези две умножения заедно.

Например:

Числото, получено след умножение във всички тези случаи, се нарича работа, т.е. същото като при умножаване на цели числа.

От тези определения става ясно, че умножението на дробни числа е действие, което винаги е възможно и винаги недвусмислено.

§ 141. Целесъобразността на тези определения.За да разберем целесъобразността от въвеждане на последните две дефиниции на умножение в аритметиката, нека вземем следния проблем:

Задача. Влак, движещ се равномерно, изминава 40 км в час; как да разберете колко километра ще измине този влак за даден брой часове?

Ако останем с тази единствена дефиниция на умножението, която е посочена в целочислена аритметика (събиране на равни членове), тогава нашият проблем ще има три различни решения, а именно:

Ако даденият брой часове е цяло число (например 5 часа), тогава за да решите задачата, трябва да умножите 40 км по този брой часове.

Ако даден брой часове е изразен като дроб (например час), тогава ще трябва да намерите стойността на този дял от 40 км.

И накрая, ако даденият брой часове е смесен (например часове), тогава 40 км ще трябва да се умножат по цялото число, съдържащо се в смесеното число, и към резултата да се добави друга част от 40 км, която е в смесеното номер.

Дефинициите, които дадохме, ни позволяват да дадем един общ отговор на всички тези възможни случаи:

трябва да умножите 40 км по даден брой часове, какъвто и да е той.

Така, ако проблемът е представен в общ изгледТака:

Влак, движещ се равномерно, изминава v km за час. Колко километра ще измине влакът за t часа?

тогава, без значение какви са числата v и t, можем да дадем един отговор: желаното число се изразява с формулата v · t.

Забележка. Намирането на някаква дроб от дадено число, по нашата дефиниция, означава същото като умножаването на дадено число по тази дроб; следователно, например, намирането на 5% (т.е. пет стотни) от дадено число означава същото като умножаване на дадено число по или по ; намирането на 125% от дадено число означава същото като умножаването на това число по или по и т.н.

§ 142. Забележка кога числото се увеличава и кога намалява от умножение.

Умножението с правилна дроб намалява числото, а умножението с неправилна дроб увеличава числото, ако тази неправилна дроб е по-голяма от едно, и остава непроменена, ако е равна на едно.
Коментирайте. При умножаване на дробни числа, както и на цели числа, продуктът се приема равен на нула, ако някой от факторите е равен на нула, така че .

§ 143. Извеждане на правила за умножение.

1) Умножение на дроб по цяло число. Нека една дроб бъде умножена по 5. Това означава увеличена 5 пъти. За да увеличите една дроб 5 пъти, достатъчно е да увеличите нейния числител или да намалите знаменателя й 5 пъти (§ 127).

Ето защо:
Правило 1. За да умножите дроб по цяло число, трябва да умножите числителя по това цяло число, но да оставите знаменателя същия; вместо това можете също да разделите знаменателя на дробта на даденото цяло число (ако е възможно) и да оставите числителя същия.

Коментирайте. Произведението на дроб и знаменателя е равно на числителя.

Така:
Правило 2. За да умножите цяло число по дроб, трябва да умножите цялото число по числителя на дробта и да направите този продукт числител и да подпишете знаменателя на тази дроб като знаменател.
Правило 3. За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя и да направите първия продукт числител, а втория знаменател на продукта.

Коментирайте. Това правило може да се приложи и за умножаване на дроб по цяло число и на цяло число по дроб, само ако разглеждаме цялото число като дроб със знаменател единица. Така:

По този начин трите описани правила се съдържат в едно, което най-общо може да се изрази по следния начин:
4) Умножение на смесени числа.

Правило 4-то. За да умножите смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да умножите според правилата за умножение на дроби. Например:
§ 144. Редукция при умножение. При умножаване на дроби, ако е възможно, е необходимо да се направи предварително намаление, както се вижда от следните примери:

Такова намаление може да се направи, защото стойността на една дроб няма да се промени, ако нейният числител и знаменател се намалят еднакъв брой пъти.

§ 145. Промяна на продукт с променящи се фактори.Когато факторите се променят, произведението на дробните числа ще се промени точно по същия начин като произведението на цели числа (§ 53), а именно: ако увеличите (или намалите) всеки фактор няколко пъти, тогава продуктът ще се увеличи (или намали) със същата сума.

Така че, ако в примера:
за да умножите няколко дроби, трябва да умножите техните числители един с друг и знаменателите един с друг и да направите първия продукт числител, а вторият знаменател на продукта.

Коментирайте. Това правило може да се приложи и към такива продукти, в които някои от множителите на числото са цели или смесени, само ако разглеждаме цялото число като дроб със знаменател единица и превръщаме смесените числа в неправилни дроби. Например:
§ 147. Основни свойства на умножението.Тези свойства на умножението, които посочихме за цели числа (§ 56, 57, 59), се отнасят и за умножението на дробни числа. Нека посочим тези свойства.

1) Продуктът не се променя, когато факторите се променят.

Например:

Наистина, съгласно правилото от предходния параграф, първият продукт е равен на дробта, а вторият е равен на дробта. Но тези дроби са еднакви, защото членовете им се различават само по реда на целочислените множители, а произведението на целите числа не се променя, когато местата на множителите се променят.

2) Продуктът няма да се промени, ако някоя група фактори се замени с техния продукт.

Например:

Резултатите са същите.

От това свойство на умножението може да се направи следното заключение:

за да умножите число по продукт, можете да умножите това число по първия фактор, да умножите полученото число по втория и т.н.

Например:
3) Разпределителен закон на умножението (спрямо събирането). За да умножите сбор по число, можете да умножите всеки член поотделно по това число и да добавите резултатите.

Този закон беше обяснен от нас (§ 59) приложен към цели числа. Остава вярно без промени за дробните числа.

Нека да покажем всъщност, че равенството

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(законът за разпределение на умножението спрямо събирането) остава верен дори когато буквите представляват дробни числа. Нека разгледаме три случая.

1) Нека първо приемем, че факторът m е цяло число, например m = 3 (a, b, c – произволни числа). Съгласно дефиницията на умножение с цяло число, можем да напишем (ограничавайки се до три термина за простота):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Въз основа на асоциативния закон за събиране, можем да пропуснем всички скоби от дясната страна; Чрез прилагане на комутативния закон за събиране и след това отново на асоциативния закон, можем очевидно да пренапишем дясната страна, както следва:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Това означава, че законът за разпределение е потвърден в този случай.

Умножение и деление на дроби

Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Повечето труден моменттези действия включват привеждане на дроби към общ знаменател.

Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека да разгледаме най-простият случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.

За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.

За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.

От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.

В резултат на умножението може да възникне редуцируема дроб (и често възниква) - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.

По дефиниция имаме:

Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби

Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.

Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:

1. Плюс с минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървем от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:

1. Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
2. Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.

Задача. Намерете значението на израза:

Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:

Още веднъж напомням, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).

Обърнете внимание и на отрицателните числа: при умножаване те се затварят в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.

Намаляване на дроби в движение

Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете значението на израза:

По дефиниция имаме:

Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са били намалени и това, което е останало от тях.

Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.

Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:

Не можете да направите това!

Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.

Просто няма други причини за намаляване на дробите, така че правилно решениепредишната задача изглежда така:

Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.

Умножение на дроби.

За да умножите правилно дроб по дроб или дроб по число, трябва да знаете прости правила. Сега ще анализираме подробно тези правила.

Умножение на обикновена дроб по дроб.

За да умножите дроб по дроб, трябва да изчислите произведението на числителите и произведението на знаменателите на тези дроби.

Да разгледаме един пример:
Умножаваме числителя на първата дроб с числителя на втората дроб и също така умножаваме знаменателя на първата дроб със знаменателя на втората дроб.

Умножение на дроб по число.

Първо, нека си припомним правилото, всяко число може да бъде представено като дроб \(\bf n = \frac \) .

Нека използваме това правило, когато умножаваме.

Неправилната дроб \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) беше преобразувана в смесена дроб.

С други думи, Когато умножаваме число по дроб, умножаваме числото по числителя и оставяме знаменателя непроменен.Пример:

Умножение на смесени дроби.

За да умножите смесени дроби, първо трябва да представите всяка смесена дроб като неправилна дроб и след това да използвате правилото за умножение. Умножаваме числителя по числителя и умножаваме знаменателя по знаменателя.

Умножение на реципрочни дроби и числа.

Свързани въпроси:
Как да умножим дроб по дроб?
Отговор: Произведението на обикновените дроби е умножение на числител с числител, знаменател със знаменател. За да получите произведението на смесени дроби, трябва да ги преобразувате в неправилна дроб и да ги умножите според правилата.

Как да умножим дроби с различни знаменатели?
Отговор: няма значение дали дробите имат еднакви или различни знаменатели, умножението се извършва според правилото за намиране на произведението на числител с числител, знаменател със знаменател.

Как да умножим смесени дроби?
Отговор: първо трябва да преобразувате смесената дроб в неправилна дроб и след това да намерите продукта, като използвате правилата за умножение.

Как да умножим число по дроб?
Отговор: умножаваме числото с числителя, но оставяме знаменателя същия.

Пример #1:
Изчислете произведението: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Пример #2:
Изчислете произведенията на число и дроб: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Пример #3:
Напишете реципрочната стойност на дробта \(\frac \)?
Отговор: \(\frac = 3\)

Пример #4:
Изчислете произведението на две взаимно обратни дроби: a) \(\frac \times \frac \)

Пример #5:
Могат ли реципрочните дроби да бъдат:
а) едновременно с правилните дроби;
б) едновременно неправилни дроби;
в) по едно и също време естествени числа?

Решение:
а) за да отговорим на първия въпрос, нека дадем пример. Дробта \(\frac \) е правилна, нейната обратна дроб ще бъде равна на \(\frac \) - неправилна дроб. Отговор: не.

б) в почти всички изброявания на дроби това условие не е изпълнено, но има някои числа, които изпълняват условието да бъдат едновременно неправилна дроб. Например неправилна дроб е \(\frac \) , нейната обратна дроб е равна на \(\frac \). Получаваме две неправилни дроби. Отговор: не винаги при определени условия, когато числителят и знаменателят са равни.

в) естествените числа са числата, които използваме, когато броим, например 1, 2, 3, …. Ако вземем числото \(3 = \frac \), тогава неговата обратна дроб ще бъде \(\frac \). Дробта \(\frac \) не е естествено число. Ако преминем през всички числа, реципрочната стойност на числото винаги е дроб, с изключение на 1. Ако вземем числото 1, тогава реципрочната му дроб ще бъде \(\frac = \frac = 1\). Числото 1 е естествено число. Отговор: те могат да бъдат едновременно естествени числа само в един случай, ако това е числото 1.

Пример #6:
Направете произведението на смесени дроби: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Решение:
а) \(4 \пъти 2\frac = \frac \пъти \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Пример #7:
Могат ли две реципрочни да бъдат смесени числа едновременно?

Нека разгледаме един пример. Нека вземем смесена дроб \(1\frac \), намерим нейната обратна дроб, за да направим това, я преобразуваме в неправилна дроб \(1\frac = \frac \) . Неговата обратна дроб ще бъде равна на \(\frac \) . Дробта \(\frac\) е правилна дроб. Отговор: Две дроби, които са взаимно обратни, не могат да бъдат смесени числа едновременно.

Умножение на десетична запетая по естествено число

Презентация към урока

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

• По забавен начин запознайте учениците с правилото за умножаване на десетична дроб по естествено число, с единица за стойност на място и правилото за изразяване на десетична дроб като процент. Развийте способността за прилагане на придобитите знания при решаване на примери и задачи.
• Развийте и активирайте логично мисленеучениците, способността да идентифицират модели и да ги обобщават, укрепват паметта, способността да си сътрудничат, да оказват помощ, да оценяват собствената си работа и работата един на друг.
• Култивирайте интерес към математиката, активност, мобилност и комуникативни умения.

Оборудване: интерактивна дъска, плакат с шифрограма, плакати с изказвания на математици.

1. Организиране на времето.
2. Устна аритметика – обобщение на вече изучен материал, подготовка за изучаване на нов материал.
3. Обяснение на нов материал.
4. Домашна работа.
5. Математическо физическо възпитание.
6. Обобщаване и систематизиране на усвоените знания по игрова формаизползване на компютър.
7. Класиране.

2. Момчета, днес нашият урок ще бъде малко необичаен, защото няма да го преподавам сам, а с моя приятел. И моят приятел също е необичаен, сега ще го видите. (На екрана се появява анимационен компютър.) Приятелят ми има име и може да говори. Как се казваш, приятел? Компоша отговаря: „Казвам се Компоша.“ Готови ли сте да ми помогнете днес? ДА! Добре тогава, нека започнем урока.

Днес получих криптирана шифрограма, момчета, която трябва да решим и дешифрираме заедно. (Плакат с устно броеневърху събиране и изваждане на десетични дроби, в резултат на което децата получават следния код 523914687. )

Komposha помага за дешифрирането на получения код. Резултатът от декодирането е думата УМНОЖЕНИЕ. Умножението е ключовата дума в темата на днешния урок. Темата на урока се показва на монитора: „Умножаване на десетична дроб с естествено число“

Момчета, знаем как да умножаваме естествени числа. Днес ще разгледаме умножението на десетични числа по естествено число. Умножаването на десетична дроб с естествено число може да се разглежда като сбор от членове, всеки от които е равен на тази десетична дроб, а броят на членовете е равен на това естествено число. Например: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 И така, 5,21 ·3 = 15,63. Представяйки 5,21 като обикновена дроб към естествено число, получаваме

И в този случай получихме същия резултат: 15,63. Сега, пренебрегвайки запетаята, вместо числото 5,21, вземете числото 521 и го умножете по това естествено число. Тук трябва да припомним, че в един от факторите запетаята е преместена две места надясно. При умножаване на числата 5, 21 и 3 получаваме произведение равно на 15,63. Сега в този пример преместваме запетаята на две места вляво. По този начин, с колко пъти е увеличен един от факторите, с колко пъти е намален продуктът. Въз основа на приликите на тези методи ще направим заключение.

Да се ​​размножава десетичен знакза естествено число трябва:
1) без да обръщате внимание на запетаята, умножете естествените числа;
2) в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно, колкото има в десетичната дроб.

На монитора се показват следните примери, които анализираме заедно с Компоша и момчетата: 5.21 ·3 = 15.63 и 7.624 ·15 = 114.34. След това показвам умножение с кръгло число 12,6 · 50 = 630. След това преминавам към умножаване на десетична дроб по единица за място. Показвам следните примери: 7,423 · 100 = 742,3 и 5,2 · 1000 = 5200. И така, въвеждам правилото за умножаване на десетична дроб по цифрова единица:

За да умножите десетична дроб по разрядни единици 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб надясно с толкова места, колкото нули има в разрядната единица.

Завършвам обяснението си, като изразявам десетичната дроб като процент. Представям правилото:

За да изразите десетична дроб като процент, трябва да я умножите по 100 и да добавите знака %.

Ще дам пример на компютър: 0,5 100 = 50 или 0,5 = 50%.

4. В края на обяснението давам на момчетата домашна работа, което се показва и на монитора на компютъра: № 1030, № 1034, № 1032.

5. За да могат момчетата да си починат малко, правим сесия по математическо физическо възпитание заедно с Компоша, за да консолидираме темата. Всички се изправят, показват решените примери на класа и те трябва да отговорят дали примерът е решен вярно или неправилно. Ако примерът е решен правилно, те вдигат ръце над главата си и пляскат с длани. Ако примерът не е решен правилно, момчетата протягат ръце встрани и опъват пръстите си.

6. А сега си починахте малко, можете да решавате задачите. Отворете учебника си на страница 205, № 1029. В тази задача трябва да изчислите стойността на изразите:

Задачите се появяват на компютъра. Докато се решават, се появява картина с изображение на лодка, която изплува, когато е напълно сглобена.

Решавайки тази задача на компютър, ракетата постепенно се сгъва; след решаването на последния пример ракетата отлита. Учителят дава малко информация на учениците: „Всяка година космически кораби излитат от космодрума Байконур от земята на Казахстан към звездите. Казахстан строи новия си космодрум Байтерек близо до Байконур.

Какво разстояние ще измине лек автомобил за 4 часа, ако скоростта на лекия автомобил е 74,8 km/h.

Сертификат за подарък Не знаете какво да подарите на половинката си, приятели, служители, роднини? Възползвайте се от нашата специална оферта: „Сертификат за подарък за кънтри хотел Blue Sedge дава […]

Подмяна на газомер: правила за цена и подмяна, експлоатационен живот, списък с документи Всеки собственик на имот се интересува от висококачествено изпълнение газомер. Ако не го смените навреме, то [...]

Детски надбавки в Краснодар и Краснодарски крайпрез 2018 г. Населението на топлия (в сравнение с много други региони на Русия) Кубан непрекъснато нараства поради миграцията и увеличаването на раждаемостта. Въпреки това властите на субекта […]

Пенсия за инвалидност на военнослужещите през 2018 г. Военната служба е дейност, характеризираща се с особен здравен риск. Защото в законодателството Руска федерацияпредоставени специални условияиздръжка на хора с увреждания, [...]

Детски надбавки в Самара и Самарска област през 2018 г. Помощите за непълнолетни в Самарска област са предназначени за граждани, които отглеждат деца в предучилищна възраст и ученици. При отпускането на средства не само [...]

Пенсионно осигуряване за жителите на Краснодар и Краснодарския край през 2018 г. Лицата с увреждания, признати за такива по закон, получават финансова подкрепа от държавата. Правя се бюджетни средства […]

Пенсионно осигуряване за жителите на Челябинск и Челябинска област през 2018 г определени от законавъзраст гражданите получават право на пенсионно осигуряване. Тя може да бъде различна и условията за назначаване варират. Например, […]

Детски надбавки в Московска област през 2018 г. Социалната политика на Московска област е насочена към идентифициране на семейства, нуждаещи се от допълнителна подкрепа от хазната. Мерките за федерална подкрепа за семейства с деца през 2018 г. […]

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Съществуват два вида събиране на дроби:

1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2.Добавете дроби и .

Отговорът се оказа неправилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Този пример се решава по абсолютно същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, дроби могат да се добавят, защото имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същ (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дробите до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Нека съберем дробите и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен множител. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:

Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Това завършва примера. Оказва се да добавите .

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същ (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни дялове (приведени до един знаменател).

Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Като добавим тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).

Моля, имайте предвид, че сме описали този примертвърде подробно. IN образователни институцииНе е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Ако бяхме в училище, трябваше да напишем този пример по следния начин:

Но също така има задната странамедали. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дробите;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
4. Съберете дроби с еднакви знаменатели;
5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;

Пример 2.Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители

Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея

Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:

Получихме отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2.Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Този пример се решава по абсолютно същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същ (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1.Намерете значението на израза:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се върнем към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Получихме отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица

Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):

Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2.Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.

И така, намираме gcd на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10

Получихме отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дробта по това число и да оставите знаменателя същия.

Пример 1. Умножете дроб по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пици 1 път, получавате пици

От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици

И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.

Пример 1.Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателно решениеще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, говорим за пица с еднакъв размер. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът се оказа правилна дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-голямата общ делител(GCD) номера 105 и 450.

И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:

Реципрочни числа

Сега ще се запознаем с много интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.

Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:

Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.

Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.

Деление на дроб на число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?

Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Реципрочните числа ви позволяват да замените делението с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите дробта по обратното на делителя.

Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.

И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дробта, а делителят е числото 2.

За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дробта. Така че трябва да умножите по

За да умножите правилно дроб по дроб или дроб по число, трябва да знаете прости правила. Сега ще анализираме подробно тези правила.

Умножение на обикновена дроб по дроб.

За да умножите дроб по дроб, трябва да изчислите произведението на числителите и произведението на знаменателите на тези дроби.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Да разгледаме един пример:
Умножаваме числителя на първата дроб с числителя на втората дроб и също така умножаваме знаменателя на първата дроб със знаменателя на втората дроб.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ по 3)(7 \пъти 3) = \frac(4)(7)\\\)

Дробта \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) беше намалена с 3.

Умножение на дроб по число.

Първо, нека си припомним правилото, всяко число може да бъде представено като дроб \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Нека използваме това правило, когато умножаваме.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Неправилна дроб \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) преобразувано в смесена дроб.

С други думи, Когато умножаваме число по дроб, умножаваме числото по числителя и оставяме знаменателя непроменен.Пример:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Умножение на смесени дроби.

За да умножите смесени дроби, първо трябва да представите всяка смесена дроб като неправилна дроб и след това да използвате правилото за умножение. Умножаваме числителя по числителя и умножаваме знаменателя по знаменателя.

Пример:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Умножение на реципрочни дроби и числа.

Дробта \(\bf \frac(a)(b)\) е обратна на дробта \(\bf \frac(b)(a)\), при условие че a≠0,b≠0.
Дробите \(\bf \frac(a)(b)\) и \(\bf \frac(b)(a)\) се наричат ​​реципрочни дроби. Произведението на реципрочните дроби е равно на 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Пример:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Свързани въпроси:
Как да умножим дроб по дроб?
Отговор: Произведението на обикновените дроби е умножение на числител с числител, знаменател със знаменател. За да получите произведението на смесени дроби, трябва да ги преобразувате в неправилна дроб и да ги умножите според правилата.

Как да умножим дроби с различни знаменатели?
Отговор: няма значение дали дробите имат еднакви или различни знаменатели, умножението се извършва според правилото за намиране на произведението на числител с числител, знаменател със знаменател.

Как да умножим смесени дроби?
Отговор: първо трябва да преобразувате смесената дроб в неправилна дроб и след това да намерите продукта, като използвате правилата за умножение.

Как да умножим число по дроб?
Отговор: умножаваме числото с числителя, но оставяме знаменателя същия.

Пример #1:
Изчислете произведението: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Решение:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( червено) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Пример #2:
Изчислете произведенията на число и дроб: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Решение:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Пример #3:
Напишете реципрочната стойност на дробта \(\frac(1)(3)\)?
Отговор: \(\frac(3)(1) = 3\)

Пример #4:
Изчислете произведението на две взаимно обратни дроби: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Решение:
а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Пример #5:
Могат ли реципрочните дроби да бъдат:
а) едновременно с правилните дроби;
б) едновременно неправилни дроби;
в) едновременно естествени числа?

Решение:
а) за да отговорим на първия въпрос, нека дадем пример. Дробта \(\frac(2)(3)\) е правилна, нейната обратна дроб ще бъде равна на \(\frac(3)(2)\) - неправилна дроб. Отговор: не.

б) в почти всички изброявания на дроби това условие не е изпълнено, но има някои числа, които изпълняват условието да бъдат едновременно неправилна дроб. Например неправилната дроб е \(\frac(3)(3)\), нейната обратна дроб е равна на \(\frac(3)(3)\). Получаваме две неправилни дроби. Отговор: не винаги при определени условия, когато числителят и знаменателят са равни.

в) естествените числа са числата, които използваме, когато броим, например 1, 2, 3, …. Ако вземем числото \(3 = \frac(3)(1)\), тогава неговата обратна дроб ще бъде \(\frac(1)(3)\). Дробта \(\frac(1)(3)\) не е естествено число. Ако преминем през всички числа, реципрочната стойност на числото винаги е дроб, с изключение на 1. Ако вземем числото 1, тогава неговата реципрочна дроб ще бъде \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Числото 1 е естествено число. Отговор: те могат да бъдат едновременно естествени числа само в един случай, ако това е числото 1.

Пример #6:
Направете произведението на смесени дроби: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Решение:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Пример #7:
Могат ли две реципрочни да бъдат смесени числа едновременно?

Нека разгледаме един пример. Нека вземем смесена дроб \(1\frac(1)(2)\), намерим нейната обратна дроб, за да направим това, я преобразуваме в неправилна дроб \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Неговата обратна дроб ще бъде равна на \(\frac(2)(3)\) . Дробта \(\frac(2)(3)\) е правилна дроб. Отговор: Две дроби, които са взаимно обратни, не могат да бъдат смесени числа едновременно.

През пети век пр.н.е древногръцки философЗенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат по един или друг начин апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... в изследването на въпроса са включени математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че ги заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логически парадоксможе да се преодолее много просто - достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, което искам да отбележа Специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Разликите между набор и мултимножество са описани много добре в Wikipedia. Да видим.

Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Разумните същества никога няма да разберат такава абсурдна логика. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“ или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Приложимо математическа теориязадава на самите математици.

Учихме много добре математика и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговия „математически набор от заплата“. Нека обясним на математика, че той ще получи останалите сметки едва когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: на различни монети има различни количествамръсотията, кристалната структура и атомната подредба на всяка монета са уникални...

А сега имам най-много интерес Питай: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е както множество, така и мултимножество. Кое е вярно? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те затова са шамани, за да учат потомците на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. Няма формула в математиката, която може да се използва за намиране на сумата от цифрите на произволно число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят лесно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, нека имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Ние преобразувахме числото в графичен числов символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена картина на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични символи в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са „курсовете по кроене и шиене“, преподавани от шамани, които математиците използват. Но това не е всичко.

От математическа гледна точка няма значение в коя бройна система записваме числото. Така че в различни системи с числа сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. СЪС Голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, нека погледнем числото 26 от статията за . Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп; вече сме го направили. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако определите площта на правоъгълник в метри и сантиметри, ще получите напълно различни резултати.

Нулата изглежда еднакво във всички бройни системи и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как в математиката се обозначава нещо, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо освен числата? Това мога да го позволя за шаманите, но не и за учените. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числата с различни единициизмервания. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от математическа операция не зависи от размера на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.

Знак на вратата Той отваря вратата и казва:

о! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на бездефилната святост на душите по време на възнесението им на небето! Ореол отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореолът отгоре и стрелката надолу са мъжки.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, числото четири, обозначение на градуси). И не мисля, че това момиче е глупачка, която не знае физика. Тя просто има силен стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е „минус четири градуса“ или „едно а“. Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичен запис. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат число и буква като един графичен символ.