Нека първо си припомним определението за решение на система от уравнения с две променливи.

Определение 1

Двойка числа се нарича решение на система от уравнения с две променливи, ако заместването им в уравнението води до истинско равенство.

В бъдеще ще разгледаме системи от две уравнения с две променливи.

Съществуват четири основни начина за решаване на системи от уравнения: метод на заместване, метод на добавяне, графичен метод, метод за поддържане на нови променливи. Нека да разгледаме тези методи конкретни примери. За да опишем принципа на използване на първите три метода, ще разгледаме система от два линейни уравненияс две неизвестни:

Метод на заместване

Методът на заместване е следният: вземете някое от тези уравнения и изразете $y$ чрез $x$, след което $y$ се замества в системното уравнение, откъдето се намира променливата $x.$ След това можем лесно изчисляване на променливата $y.$

Пример 1

Нека изразим $y$ от второто уравнение чрез $x$:

Нека заместим в първото уравнение и намерим $x$:

\ \ \

Нека намерим $y$:

Отговор: $(-2,\ 3)$

Метод на добавяне.

Нека да разгледаме този метод с пример:

Пример 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Умножавайки второто уравнение по 3, получаваме:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Сега нека съберем двете уравнения заедно:

\ \ \

Нека намерим $y$ от второто уравнение:

\[-6-y=-9\] \

Отговор: $(-2,\ 3)$

Бележка 1

Обърнете внимание, че при този метод е необходимо да умножите едно или и двете уравнения с такива числа, че по време на събирането една от променливите да „изчезне“.

Графичен метод

Графичният метод е следният: двете уравнения на системата се изобразяват върху координатната равнина и се намира точката на тяхното пресичане.

Пример 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Нека изразим $y$ от двете уравнения чрез $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Нека изобразим двете графики в една и съща равнина:

Снимка 1.

Отговор: $(-2,\ 3)$

Метод за въвеждане на нови променливи

Нека да разгледаме този метод, използвайки следния пример:

Пример 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Решение.

Тази система е еквивалентна на системата

\[\left\( \begin(масив)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(масив) \ точно.\]

Нека $2^x=u\ (u>0)$ и $3^y=v\ (v>0)$, получаваме:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Нека решим получената система, използвайки метода на добавяне. Нека съберем уравненията:

\ \

Тогава от второто уравнение получаваме това

Връщайки се към замяната, получаваме нова система от експоненциални уравнения:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Получаваме:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Урок и презентация на тема: "Системи от уравнения. Метод на заместване, метод на добавяне, метод на въвеждане на нова променлива"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 9 клас
Симулатор към учебници от Атанасян Л.С. Симулатор за учебници Погорелова А.В.

Методи за решаване на системи от неравенства

Момчета, изучавахме системи от уравнения и се научихме как да ги решаваме с помощта на графики. Сега да видим какви други начини за решаване на системи съществуват?
Почти всички методи за решаването им не се различават от тези, които изучавахме в 7 клас. Сега трябва да направим някои корекции според уравненията, които се научихме да решаваме.
Същността на всички методи, описани в този урок, това е замяната на система с еквивалентна система с по-проста форма и метод на решение. Момчета, помнете какво е еквивалентна система.

Метод на заместване

Първият начин за решаване на системи от уравнения с две променливи ни е добре известен - това е методът на заместване. Използвахме този метод за решаване на линейни уравнения. Сега да видим как се решават уравнения в общия случай?

Как трябва да постъпите, когато вземате решение?
1. Изразете една от променливите чрез друга. Най-често използваните променливи в уравненията са x и y. В едно от уравненията изразяваме една променлива чрез друга. Съвет: Разгледайте внимателно и двете уравнения, преди да започнете да решавате, и изберете това, при което е по-лесно да изразите променливата.
2. Заместете получения израз във второто уравнение, вместо променливата, която е изразена.
3. Решете уравнението, което получихме.
4. Заместете полученото решение във второто уравнение. Ако има няколко решения, тогава трябва да ги замените последователно, за да не загубите няколко решения.
5. В резултат на това ще получите двойка числа $(x;y)$, която трябва да бъде записана като отговор.

Пример.
Решете система с две променливи, като използвате метода на заместване: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Решение.
Нека разгледаме по-отблизо нашите уравнения. Очевидно изразяването на y чрез x в първото уравнение е много по-просто.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Нека заместим първия израз във второто уравнение $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Нека решим второто уравнение отделно:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Получихме две решения на второто уравнение $x_1=2$ и $x_2=3$.
Заместете последователно във второто уравнение.
Ако $x=2$, тогава $y=3$. Ако $x=3$, тогава $y=2$.
Отговорът ще бъде две двойки числа.
Отговор: $(2;3)$ и $(3;2)$.

Алгебричен метод на добавяне

Ние също учехме този метод в 7 клас.
Известно е, че можем да умножим рационално уравнение в две променливи по произволно число, като не забравяме да умножим и двете страни на уравнението. Умножихме едно от уравненията по определено число, така че при добавяне на полученото уравнение към второто уравнение на системата една от променливите беше унищожена. След това уравнението беше решено за останалата променлива.
Този метод все още работи, въпреки че не винаги е възможно да се унищожи една от променливите. Но ви позволява значително да опростите формата на едно от уравненията.

Пример.
Решете системата: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Решение.
Нека умножим първото уравнение по 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Нека извадим второто от първото уравнение.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Както можете да видите, формата на полученото уравнение е много по-проста от оригиналната. Сега можем да използваме метода на заместване.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Нека изразим x чрез y в полученото уравнение.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Имаме $y=-1$ и $y=-3$.
Нека заместим тези стойности последователно в първото уравнение. Получаваме две двойки числа: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Отговор: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.

Метод за въвеждане на нова променлива

Ние също изучавахме този метод, но нека го разгледаме отново.

Пример.
Решете системата: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Решение.
Нека въведем замяната $t=\frac(x)(y)$.
Нека пренапишем първото уравнение с нова променлива: $t+\frac(2)(t)=3$.
Нека решим полученото уравнение:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Имаме $t=2$ или $t=1$. Нека въведем обратната промяна $t=\frac(x)(y)$.
Имаме: $x=2y$ и $x=y$.

За всеки от изразите оригиналната система трябва да се реши отделно:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.    $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$.    $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$.       $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.      $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Получихме четири двойки решения.
Отговор: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Пример.
Решете системата: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Решение.
Нека въведем замяната: $z=\frac(2)(x-3y)$ и $t=\frac(3)(2x+y)$.
Нека пренапишем оригиналните уравнения с нови променливи:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Нека използваме метода на алгебричното добавяне:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Нека въведем обратното заместване:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Нека използваме метода на заместване:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Отговор: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Задачи от системи уравнения за самостоятелно решаване

Решете системи:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ край (случаи)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

По-надежден от графичния метод, обсъден в предишния параграф.

Метод на заместване

Използвахме този метод в 7 клас за решаване на системи от линейни уравнения. Алгоритъмът, разработен в 7. клас, е доста подходящ за решаване на системи от произволни две уравнения (не непременно линейни) с две променливи x и y (разбира се, променливите могат да бъдат обозначени с други букви, което няма значение). Всъщност ние използвахме този алгоритъм в предишния параграф, когато проблемът с двуцифрено число доведе до математически модел, който е система от уравнения. Решихме тази система от уравнения по-горе, използвайки метода на заместване (вижте пример 1 от § 4).

Алгоритъм за използване на метода на заместване при решаване на система от две уравнения с две променливи x, y.

1. Изразете y през x от едно уравнение на системата.
2. Заместете получения израз вместо y в друго уравнение на системата.
3. Решете полученото уравнение за x.
4. Заместете последователно всеки от корените на уравнението, намерени в третата стъпка, вместо x в израза y до x, получен в първата стъпка.
5. Напишете отговора под формата на двойки стойности (x; y), които са намерени съответно в третата и четвъртата стъпка.

4) Заменете една по една всяка от намерените стойности на y във формулата x = 5 - 3. Ако тогава
5) Двойки (2; 1) и решения на дадена система от уравнения.

Отговор: (2; 1);

Алгебричен метод на добавяне

Този метод, подобно на метода на заместване, ви е познат от курса по алгебра за 7 клас, където се използва за решаване на системи от линейни уравнения. Нека си припомним същността на метода, използвайки следния пример.

Пример 2.Решете система от уравнения

Нека умножим всички членове на първото уравнение на системата по 3 и оставим второто уравнение непроменено:
Извадете второто уравнение на системата от първото уравнение:

В резултат на алгебричното събиране на две уравнения на изходната система се получава уравнение, което е по-просто от първото и второто уравнения на дадената система. С това по-просто уравнение имаме право да заместим всяко уравнение на дадена система, например второто. Тогава дадената система от уравнения ще бъде заменена с по-проста система:

Тази система може да бъде решена с помощта на метода на заместване. От второто уравнение намираме, замествайки този израз вместо y в първото уравнение на системата, получаваме

Остава да заменим намерените стойности на x във формулата

Ако x = 2 тогава

Така открихме две решения на системата:

Метод за въвеждане на нови променливи

Запознахте се с метода за въвеждане на нова променлива при решаване на рационални уравнения с една променлива в курса по алгебра за 8. клас. Същността на този метод за решаване на системи от уравнения е същата, но от техническа гледна точка има някои особености, които ще разгледаме в следващите примери.

Пример 3.Решете система от уравнения

Нека въведем нова променлива, тогава първото уравнение на системата може да бъде пренаписано в повече в проста форма: Нека решим това уравнение за променливата t:

И двете стойности отговарят на условието и следователно са корените на рационално уравнение с променлива t. Но това означава или където намираме, че x = 2y, или
Така, използвайки метода за въвеждане на нова променлива, успяхме да „стратифицираме“ първото уравнение на системата, което беше доста сложно на външен вид, в две по-прости уравнения:

x = 2 y; y - 2x.

Какво следва? И тогава всеки от двамата получи прости уравнениятрябва да се разглеждат един по един в система с уравнението x 2 - y 2 = 3, което все още не сме запомнили. С други думи, проблемът се свежда до решаването на две системи от уравнения:

Трябва да намерим решения на първата система, втората система и да включим всички получени двойки стойности в отговора. Нека решим първата система от уравнения:

Нека използваме метода на заместване, особено след като тук всичко е готово за него: нека заместим израза 2y вместо x във второто уравнение на системата. Получаваме

Тъй като x = 2y, намираме съответно x 1 = 2, x 2 = 2. Така се получават две решения на дадената система: (2; 1) и (-2; -1). Нека решим втората система от уравнения:

Нека отново използваме метода на заместване: заместете израза 2x вместо y във второто уравнение на системата. Получаваме

Това уравнение няма корени, което означава, че системата от уравнения няма решения. Следователно само решенията на първата система трябва да бъдат включени в отговора.

Отговор: (2; 1); (-2;-1).

Методът за въвеждане на нови променливи при решаване на системи от две уравнения с две променливи се използва в два варианта. Първи вариант: въвежда се една нова променлива и се използва само в едно уравнение на системата. Точно това се случи в пример 3. Втори вариант: две нови променливи се въвеждат и използват едновременно в двете уравнения на системата. Такъв ще бъде случаят в пример 4.

Пример 4.Решете система от уравнения

Нека въведем две нови променливи:

Нека вземем това предвид тогава

Това ще ви позволи да пренапишете тази системав много по-проста форма, но сравнително нови променливи a и b:

Тъй като a = 1, то от уравнението a + 6 = 2 намираме: 1 + 6 = 2; 6=1. Така, по отношение на променливите a и b, имаме едно решение:

Връщайки се към променливите x и y, получаваме система от уравнения

Нека приложим метода на алгебричното събиране, за да решим тази система:

Оттогава от уравнението 2x + y = 3 намираме:
Така, по отношение на променливите x и y, имаме едно решение:

Нека завършим този параграф с кратък, но доста сериозен теоретичен разговор. Вече сте придобили известен опит в решаването на различни уравнения: линейни, квадратни, рационални, ирационални. Знаете, че основната идея за решаване на уравнение е постепенно преминаване от едно уравнение към друго, по-просто, но еквивалентно на даденото. В предишния параграф въведохме концепцията за еквивалентност за уравнения с две променливи. Това понятие се използва и за системи от уравнения.

Определение.

Две системи от уравнения с променливи x и y се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви решения или ако и двете системи нямат решения.

И трите метода (заместване, алгебрично събиране и въвеждане на нови променливи), които обсъдихме в този раздел, са абсолютно правилни от гледна точка на еквивалентност. С други думи, използвайки тези методи, ние заместваме една система от уравнения с друга, по-проста, но еквивалентна на оригиналната система.

Графичен метод за решаване на системи от уравнения

Вече се научихме как да решаваме системи от уравнения по такива общи и надеждни начини като метода на заместване, алгебричното събиране и въвеждането на нови променливи. Сега нека си припомним метода, който вече изучавахте в предишния урок. Тоест, нека повторим това, което знаете за метода на графичното решение.

Методът за графично решаване на системи от уравнения включва изграждане на графика за всяко от конкретните уравнения, които са включени в дадена система и са разположени в една и съща координатна равнина, както и където е необходимо да се намерят пресечните точки на тези точки. графики. За решаване на тази система от уравнения са координатите на тази точка (x; y).

Трябва да се помни, че за една графична система от уравнения е типично да има или едно единствено правилното решение, или безкраен брой решения, или никакви решения.

Сега нека разгледаме всяко от тези решения по-подробно. И така, система от уравнения може да има уникално решение, ако линиите, които са графиките на уравненията на системата, се пресичат. Ако тези прави са успоредни, тогава такава система от уравнения няма абсолютно никакви решения. Ако директните графики на уравненията на системата съвпадат, тогава такава система позволява да се намерят много решения.

Е, сега нека да разгледаме алгоритъма за решаване на система от две уравнения с 2 неизвестни с помощта на графичен метод:

Първо, първо изграждаме графика на първото уравнение;
Втората стъпка ще бъде да се построи графика, която се отнася до второто уравнение;
Трето, трябва да намерим пресечните точки на графиките.
И в резултат на това получаваме координатите на всяка пресечна точка, което ще бъде решението на системата от уравнения.

Нека разгледаме този метод по-подробно, като използваме пример. Дадена ни е система от уравнения, която трябва да бъде решена:

Решаване на уравнения

1. Първо, ще изградим графика на това уравнение: x2+y2=9.

Но трябва да се отбележи, че тази графика на уравненията ще бъде кръг с център в началото и радиусът му ще бъде равен на три.

2. Следващата ни стъпка ще бъде да начертаем графика на уравнение като: y = x – 3.

В този случай трябва да построим права линия и да намерим точките (0;−3) и (3;0).

3. Да видим какво имаме. Виждаме, че правата пресича окръжността в две от нейните точки A и B.

Сега търсим координатите на тези точки. Виждаме, че координатите (3;0) съответстват на точка A, а координатите (0;−3) съответстват на точка B.

И какво получаваме в резултат?

Числата (3;0) и (0;−3), получени при пресичане на правата с окръжността, са именно решенията и на двете уравнения на системата. И от това следва, че тези числа също са решения на тази система от уравнения.

Тоест отговорът на това решение са числата: (3;0) и (0;−3).

Инструкции

Метод на добавяне.
Трябва да напишете две строго една под друга:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
В произволно избрано (от системата) уравнение вмъкнете числото 11 вместо вече намерената „игра“ и изчислете второто неизвестно:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Отговорът на тази система от уравнения е x=116, y=11.

Графичен метод.
Състои се от практическо намиране на координатите на точката, в която линиите са математически записани в система от уравнения. Графиките на двете линии трябва да се начертаят поотделно в една и съща координатна система. Обща форма: – y=khx+b. За да се построи права линия, достатъчно е да се намерят координатите на две точки, а x се избира произволно.
Нека е дадена системата: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Правата линия се конструира с помощта на първата, за удобство трябва да се запише: y=2x-4. Измислете (по-лесни) стойности за x, замествайки го в уравнението, решавайки го и намирайки y. Получаваме две точки, по които е построена права линия. (виж снимката)
х 0 1

y -4 -2
Правата линия се конструира с помощта на второто уравнение: y=-3x+1.
Постройте и права линия. (виж снимката)

y 1 -5
Намерете координатите на пресечната точка на две построени прави на графиката (ако линиите не се пресичат, тогава системата от уравнения няма - така).

Видео по темата

Полезен съвет

Ако една и съща система от уравнения се реши с три различни начини, отговорът ще бъде същият (ако решението е правилно).

източници:

• Алгебра 8 клас
• решаване на уравнение с две неизвестни онлайн
• Примери за решаване на системи от линейни уравнения с две

Система уравненияе колекция от математически записи, всеки от които съдържа определен брой променливи. Има няколко начина за решаването им.

Ще имаш нужда

• -Линийка и молив;
• - калкулатор.

Инструкции

Нека разгледаме последователността на решаване на системата, която се състои от линейни уравнения, имащи формата: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Където x и y са неизвестни променливи, а b,c са свободни членове. Когато се прилага този метод, всяка система представлява координатите на точки, съответстващи на всяко уравнение. Като начало, във всеки случай изразете една променлива по отношение на друга. След това задайте произволен брой стойности на променливата x. Две са достатъчни. Заместете в уравнението и намерете y. Постройте координатна система, маркирайте върху нея получените точки и начертайте линия през тях. Подобни изчисления трябва да се извършат и за други части на системата.

Системата има уникално решение, ако построените прави се пресичат и имат една обща точка. Несъвместимо е, ако са успоредни един на друг. И има безкрайно много решения, когато линиите се сливат една с друга.

Този методсмятан за много визуален. Основният недостатък е, че изчислените неизвестни имат приблизителни стойности. По-точни резултати дават т. нар. алгебрични методи.

Всяко решение на система от уравнения си струва да бъде проверено. За да направите това, заменете получените стойности за променливите. Можете също да намерите неговото решение, като използвате няколко метода. Ако решението на системата е правилно, тогава всички трябва да се окажат еднакви.

Често има уравнения, в които един от членовете е неизвестен. За да решите уравнение, трябва да запомните и извършите определен набор от действия с тези числа.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химикал или молив.

Инструкции

Представете си, че пред вас има 8 заека, а вие имате само 5 моркова. Помислете за това, все пак трябва да купите повече моркови, така че всеки заек да получи по един.

Нека представим тази задача под формата на уравнение: 5 + x = 8. Нека заместим числото 3 на мястото на x. Наистина, 5 + 3 = 8.

Когато заместихте число с x, направихте същото нещо, както когато извадихте 5 от 8. Така че, за да намерите неизвестенчлен, извадете известния член от сумата.

Да кажем, че имате 20 заека и само 5 моркова. Нека се измислим. Уравнението е равенство, което е валидно само за определени стойности на буквите, включени в него. Буквите, чието значение трябва да се открие, се наричат. Напишете уравнение с едно неизвестно, наречете го x. Когато решаваме проблема със заека, получаваме следното уравнение: 5 + x = 20.

Да намерим разликата между 20 и 5. При изваждане числото, от което се изважда, е това, което се намалява. Числото, което се изважда, се нарича , а крайният резултат се нарича разлика. И така, x = 20 – 5; x = 15. Трябва да купите 15 моркова за зайците.

Проверка: 5 + 15 = 20. Уравнението е решено правилно. Разбира се, когато става въпрос за толкова прости, проверката не е необходима. Когато обаче имате уравнения с трицифрени, четирицифрени и т.н. числа, определено трябва да проверите, за да сте напълно сигурни в резултата от работата си.

Видео по темата

Полезен съвет

За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата.

За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното.

Съвет 4: Как да решим система от три уравнения с три неизвестни

Система от три уравнения с три неизвестни може да няма решения, въпреки достатъчен брой уравнения. Можете да опитате да го решите, като използвате метода на заместване или метода на Крамер. Методът на Cramer, в допълнение към решаването на системата, ви позволява да оцените дали системата е разрешима, преди да намерите стойностите на неизвестните.

Инструкции

Методът на заместване се състои от последователно последователно едно неизвестно чрез две други и заместване на получения резултат в уравненията на системата. Нека система от три уравнения е дадена в общ вид:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Изразете x от първото уравнение: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и заместете във второто и третото уравнения, след това изразете y от второто уравнение и заместете в третото. Ще получите линеен израз за z чрез коефициентите на уравненията на системата. Сега отидете „назад“: заместете z във второто уравнение и намерете y, а след това заместете z и y в първото и решете за x. Процесът обикновено е показан на фигурата преди намирането на z. По-нататъшното писане в обща форма ще бъде твърде тромаво; на практика можете лесно да намерите и трите неизвестни.

Методът на Cramer се състои от конструиране на системна матрица и изчисляване на детерминанта на тази матрица, както и още три помощни матрици. Матрицата на системата е съставена от коефициенти за неизвестните членове на уравненията. Колона, съдържаща числата от дясната страна на уравненията, колона от дясната страна. Не се използва в системата, но се използва при решаване на системата.

Видео по темата

Забележка

Всички уравнения в системата трябва да предоставят допълнителна информация, независима от други уравнения. В противен случай системата ще бъде недоопределена и няма да може да се намери еднозначно решение.

Полезен съвет

След като решите системата от уравнения, заменете намерените стойности в оригиналната система и проверете дали те отговарят на всички уравнения.

От само себе си уравнениетос три неизвестенима много решения, така че най-често се допълва от още две уравнения или условия. От това какви са първоначалните данни до голяма степен ще зависи и ходът на решението.

Ще имаш нужда

• - система от три уравнения с три неизвестни.

Инструкции

Ако две от трите системи имат само две от трите неизвестни, опитайте се да изразите някои променливи по отношение на другите и да ги замените в уравнениетос три неизвестен. Вашата цел в този случай е да го превърнете в нормално уравнениетос непознат човек. Ако това е, по-нататъшното решение е съвсем просто - заместете намерената стойност в други уравнения и намерете всички останали неизвестни.

Някои системи от уравнения могат да бъдат извадени от едно уравнение с друго. Вижте дали е възможно да умножите едно от или променлива, така че две неизвестни да бъдат анулирани наведнъж. Ако има такава възможност, най-вероятно се възползвайте от нея, последващото решение няма да бъде трудно; Не забравяйте, че когато умножавате по число, трябва да умножите както лявата, така и дясната страна. По същия начин, когато изваждате уравнения, трябва да запомните, че дясната страна също трябва да се извади.

Ако предишните методи не помогнаха, използвайте по общ начинрешения на всякакви уравнения с три неизвестен. За да направите това, пренапишете уравненията във формата a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Сега създайте матрица от коефициенти за x (A), матрица от неизвестни (X) и матрица от свободни (B). Моля, имайте предвид, че като умножите матрицата на коефициентите по матрицата на неизвестните, ще получите матрица на свободните членове, тоест A*X=B.

Намерете матрица A на степен (-1), като първо намерите , имайте предвид, че тя не трябва да е равна на нула. След това умножете получената матрица по матрица B, в резултат на което ще получите желаната матрица X, посочваща всички стойности.

Можете също така да намерите решение на система от три уравнения, като използвате метода на Крамър. За да направите това, намерете детерминанта от трети ред ∆, съответстваща на системната матрица. След това последователно намерете още три детерминанти ∆1, ∆2 и ∆3, замествайки стойностите на свободните членове вместо стойностите на съответните колони. Сега намерете x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

източници:

• решения на уравнения с три неизвестни

Когато започнете да решавате система от уравнения, разберете какъв вид уравнения са те. Методите за решаване на линейни уравнения са проучени доста добре. Нелинейните уравнения най-често не се решават. Има само един частен случай, всеки от които е практически индивидуален. Следователно изучаването на техниките за решаване трябва да започне с линейни уравнения. Такива уравнения могат дори да бъдат решени чисто алгоритмично.

знаменателите на намерените неизвестни са абсолютно еднакви. Да, и числителите показват някои модели в тяхната конструкция. Ако измерението на системата от уравнения беше по-голямо от две, тогава методът на елиминиране би довел до много тромави изчисления. За избягването им са разработени чисто алгоритмични решения. Най-простият от тях е алгоритъмът на Крамър (формули на Крамър). Защото трябва да разберете обща системауравнения от n уравнения.

Система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни има формата (виж Фиг. 1а). В него aij са коефициентите на системата,
xj – неизвестни, bi – свободни членове (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Такава система може да бъде записана компактно в матрична форма AX=B. Тук A е матрицата на коефициентите на системата, X е матрицата на колоната на неизвестните, B е матрицата на колоната на свободните членове (виж Фигура 1b). Съгласно метода на Крамър всяко неизвестно xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Детерминантата ∆ на матрицата на коефициента се нарича основна, а ∆i спомагателна. За всяко неизвестно, спомагателният детерминант се намира чрез замяна на i-тата колона на основния детерминант с колона от свободни членове. Методът на Крамер за случая на системи от втори и трети ред е представен подробно на фиг. 2.

Системата е комбинация от две или повече равенства, всяко от които съдържа две или повече неизвестни. Има два основни начина за решаване на системи от линейни уравнения, които се използват в рамките училищна програма. Единият от тях се нарича метод, другият - метод на добавяне.

Стандартна форма на система от две уравнения

При стандартна формапървото уравнение има формата a1*x+b1*y=c1, второто уравнение има формата a2*x+b2*y=c2 и т.н. Например, в случай на две части на системата, и двете дадени a1, a2, b1, b2, c1, c2 са някои числени коефициенти, представени в конкретни уравнения. На свой ред x и y представляват неизвестни, чиито стойности трябва да бъдат определени. Необходимите стойности превръщат двете уравнения едновременно в истински равенства.

Решаване на системата чрез метода на събиране

За да разрешите системата, тоест да намерите тези стойности на x и y, които ще ги превърнат в истински равенства, трябва да предприемете няколко прости стъпки. Първият от тях е да се преобразува едно от уравненията, така че числовите коефициенти за променливата x или y в двете уравнения да са еднакви по величина, но различни по знак.

Да предположим например, че е дадена система, състояща се от две уравнения. Първият от тях има формата 2x+4y=8, вторият има формата 6x+2y=6. Един от вариантите за изпълнение на задачата е второто уравнение да се умножи с коефициент -2, което ще го доведе до вида -12x-4y=-12. Правилният избор на коефициент е една от ключовите задачи в процеса на решаване на система с помощта на метода на добавяне, тъй като определя целия по-нататъшен ход на процедурата за намиране на неизвестни.

Сега е необходимо да съберем двете уравнения на системата. Очевидно взаимното унищожаване на променливи с равни по стойност коефициенти, но противоположни по знак ще доведе до формата -10x=-4. След това е необходимо да се реши това просто уравнение, от което ясно следва, че x = 0,4.

Последната стъпкав процеса на решаване е заместването на намерената стойност на една от променливите във всяко от първоначалните равенства, налични в системата. Например, замествайки x=0,4 в първото уравнение, можете да получите израза 2*0,4+4y=8, от който y=1,8. Така x=0,4 и y=1,8 са корените на примерната система.

За да сте сигурни, че корените са намерени правилно, е полезно да проверите чрез заместване на намерените стойности във второто уравнение на системата. Например в в такъв случайполучаваме равенство от формата 0,4*6+1,8*2=6, което е вярно.

Видео по темата

Система от линейни уравнения с две неизвестни е две или повече линейни уравнения, за които е необходимо да се намерят всички общи решения. Ще разгледаме системи от две линейни уравнения с две неизвестни. Общ изглед на система от две линейни уравнения с две неизвестни е показан на фигурата по-долу:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Тук x и y са неизвестни променливи, a1, a2, b1, b2, c1, c2 са някои реални числа. Решение на система от две линейни уравнения с две неизвестни е двойка числа (x,y), така че ако заместим тези числа в уравненията на системата, тогава всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство. Има няколко начина за решаване на система от линейни уравнения. Нека разгледаме един от начините за решаване на система от линейни уравнения, а именно метода на добавяне.

Алгоритъм за решаване чрез метод на събиране

Алгоритъм за решаване на система от линейни уравнения с две неизвестни чрез метода на събиране.

1. Ако е необходимо, чрез еквивалентни трансформации изравнете коефициентите на една от неизвестните променливи в двете уравнения.

2. Чрез събиране или изваждане на получените уравнения се получава линейно уравнение с едно неизвестно

3. Решете полученото уравнение с едно неизвестно и намерете една от променливите.

4. Заместете получения израз в някое от двете уравнения на системата и решете това уравнение, като по този начин получите втората променлива.

5. Проверете решението.

Пример за решение, използващо метода на добавяне

За по-голяма яснота нека решим следната система от линейни уравнения с две неизвестни, използвайки метода на добавяне:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Тъй като нито една от променливите няма еднакви коефициенти, ние изравняваме коефициентите на променливата y. За да направите това, умножете първото уравнение по три, а второто уравнение по две.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Получаваме следната система от уравнения:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Сега изваждаме първото от второто уравнение. Представяме подобни членове и решаваме полученото линейно уравнение.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; х=-6;

Заместваме получената стойност в първото уравнение от нашата оригинална система и решаваме полученото уравнение.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Резултатът е двойка числа x=6 и y=14. Проверяваме. Да направим замяна.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Както виждате, получихме две правилни равенства, следователно намерихме правилното решение.