Продължаваме да изучаваме темата " решаване на уравнения" Вече се запознахме с линейните уравнения и преминаваме към запознаване квадратни уравнения.

Първо ще разгледаме какво е квадратно уравнение, как се записва в обща форма и ще дадем свързани дефиниции. След това ще използваме примери, за да разгледаме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. След това ще преминем към решаване на пълни уравнения, ще получим формулата на корена, ще се запознаем с дискриминанта на квадратно уравнение и ще разгледаме решения на типични примери. И накрая, нека проследим връзките между корените и коефициентите.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем разговор за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и сродни определения. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Дефиниция и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа, а a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат ​​уравнения от втора степен. Това се дължи на факта, че квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора специалност.

Посоченото определение ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a, b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 и коефициентът a се нарича първи, или най-високият, или коефициентът на x 2, b е вторият коефициент, или коефициентът на x, а c е свободният член .

Например, нека вземем квадратно уравнение под формата 5 x 2 −2 x −3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е равен на −2, а свободният член е равен на −3. Обърнете внимание, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, тогава кратка формаписане на квадратно уравнение във формата 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и/или b са равни на 1 или −1, тогава те обикновено не присъстват изрично в квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на тяхното записване. Например в квадратното уравнение y 2 −y+3=0 водещият коефициент е единица, а коефициентът на y е равен на −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Нарича се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 дадено квадратно уравнение. В противен случай квадратното уравнение е недокоснат.

Според това определение, квадратни уравнения x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 и т.н. – дадени, във всяка от тях първият коефициент е равен на единица. A 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, техните водещи коефициенти са различни от 1.

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете страни на водещия коефициент, можете да отидете до редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или, подобно на него, няма корени.

Нека разгледаме пример за това как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Просто трябва да разделим двете страни на първоначалното уравнение на водещия коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, което е същото, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и след това (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, от където . Така получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

Отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

Дефиницията на квадратно уравнение съдържа условието a≠0. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 + b x + c = 0 да е квадратно, тъй като когато a = 0 то всъщност се превръща в линейно уравнение във формата b x + c = 0.

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълна, ако поне един от коефициентите b, c е равен на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Такива имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващите дискусии.

Ако коефициентът b е нула, тогава квадратното уравнение приема формата a·x 2 +0·x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a·x 2 +c=0. Ако c=0, тоест квадратното уравнение има формата a·x 2 +b·x+0=0, тогава то може да бъде пренаписано като a·x 2 +b·x=0. И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им - непълни квадратни уравнения.

Така уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0.2=0 са примери за пълни квадратни уравнения и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията в предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

• a·x 2 =0, на него съответстват коефициентите b=0 и c=0;
• a x 2 +c=0, когато b=0;
• и a·x 2 +b·x=0, когато c=0.

Нека разгледаме по ред как се решават непълните квадратни уравнения от всеки от тези типове.

a x 2 =0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете части на различно от нула число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 =0 е нула, тъй като 0 2 =0. Това уравнение няма други корени, което се обяснява с факта, че за всяко ненулево число p е в сила неравенството p 2 >0, което означава, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 =0 има един корен x=0.

Като пример даваме решението на непълното квадратно уравнение −4 x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 =0, единственият му корен е x=0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Кратко решение в този случай може да се напише по следния начин:
−4 x 2 =0,
х 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Сега нека да разгледаме как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е нула и c≠0, тоест уравнения от формата a x 2 +c=0. Знаем, че преместването на член от едната страна на уравнението в другата с противоположния знак, както и разделянето на двете страни на уравнението на различно от нула число, дава еквивалентно уравнение. Следователно можем да извършим следните еквивалентни трансформации на непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0:

• преместете c в дясната страна, което дава уравнението a x 2 =−c,
• и разделяме двете страни на a, получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2, тогава ) или положителна (например, ако a=−2 и c=6, тогава ), не е нула , тъй като по условие c≠0. Отделно ще анализираме случаите и.

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си спомним за , тогава коренът на уравнението веднага става очевиден; това е числото, тъй като . Лесно е да се досетите, че числото също е коренът на уравнението, наистина, . Това уравнение няма други корени, което може да се покаже, например, от противоречие. Хайде да го направим.

Нека обозначим корените на току-що обявеното уравнение като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има още един корен x 2, различен от посочените корени x 1 и −x 1. Известно е, че заместването на неговите корени в уравнение вместо x превръща уравнението в правилно числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме изваждане член по член на правилни числени равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 −x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаем, че произведението на две числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, което е едно и също, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така че стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1. Това доказва, че уравнението няма корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението, което

• няма корени, ако,
• има два корена и , ако .

Нека разгледаме примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0.

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0. След преместване на свободния член в дясната страна на уравнението, той ще приеме формата 9 x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9, получаваме . Тъй като дясната страна има отрицателно число, това уравнение няма корени, следователно оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7 = 0 няма корени.

Нека решим друго непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Преместваме деветката от дясната страна: −x 2 =−9. Сега разделяме двете страни на −1, получаваме x 2 =9. От дясната страна има положително число, от което заключаваме, че или . След това записваме крайния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се занимаем с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0. Непълните квадратни уравнения под формата a x 2 + b x = 0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, намирайки се от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да извадим общия множител x извън скоби. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение във формата x·(a·x+b)=0. И това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения x=0 и a·x+b=0, последното от които е линейно и има корен x=−b/a.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 +b·x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждането на x извън скобите дава уравнението. Това е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Разрешаване на това, което имаме линейно уравнение: и разделяне на смесеното число на обикновена дроб, намираме . Следователно корените на първоначалното уравнение са x=0 и .

След придобиване на необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има формула за корен. Нека го запишем формула за корените на квадратно уравнение: , Където D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Вписването по същество означава, че.

Полезно е да знаете как е получена формулата за корен и как се използва при намиране на корените на квадратни уравнения. Нека разберем това.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0. Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

• Можем да разделим двете страни на това уравнение на ненулево число a, което води до следното квадратно уравнение.
• Сега изберете пълен квадратот лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
• На този етап е възможно последните два термина да се прехвърлят от дясната страна с противоположния знак, имаме .
• И нека трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнение, което е еквивалентно на оригиналното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0.

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишните параграфи, когато разглеждахме. Това ни позволява да направим следните заключения относно корените на уравнението:

• ако , тогава уравнението няма реални решения;
• ако , тогава уравнението има формата , следователно, , от което се вижда единственият му корен;
• ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корени на уравнението и следователно на оригиналното квадратно уравнение зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4·a 2 винаги е положителен, тоест от знака на израза b 2 −4·a·c. Този израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминант на квадратно уравнениеи обозначени с буквата д. Оттук е ясна същността на дискриминанта - по стойността и знака му правят извод дали квадратното уравнение има реални корени и ако има, какъв е техният брой - един или два.

Нека се върнем към уравнението и го пренапишем, като използваме дискриминантната нотация: . И правим изводи:

• ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D=0, тогава това уравнение има един корен;
• накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или, които могат да бъдат пренаписани във формата или и след разширяване и привеждане на дробите към общ знаменател получаваме.

Така че изведехме формулите за корените на квадратното уравнение, те изглеждат като , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4·a·c.

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е равен на нула, и двете формули дават една и съща стойност на корена, съответстваща на уникално решение на квадратното уравнение. А с отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, се сблъскваме с извличане на корен квадратен от отрицателно число, което ни извежда извън обхвата на училищната програма. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексно спрегнаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика, когато решавате квадратни уравнения, можете веднага да използвате формулата на корена, за да изчислите техните стойности. Но това е по-скоро свързано с намирането на сложни корени.

Но в училищния курс по алгебра обикновено говорим не за сложни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да намерите дискриминанта, да се уверите, че е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени), и едва след това изчислете стойностите на корените.

Горното разсъждение ни позволява да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, трябва:

• използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4·a·c, изчислете стойността му;
• заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
• изчислете единствения корен на уравнението по формулата, ако D=0;
• намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате формулата за корен, ако дискриминантът е положителен.

Тук просто отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, можете също да използвате формулата, тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за използване на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека разгледаме решения на три квадратни уравнения с положителен, отрицателен и нулев дискриминант. След като се справим с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Нека да започнем.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2·x−6=0.

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритъма, първо трябва да изчислите дискриминанта; заместваме посочените a, b и c във формулата на дискриминанта, която имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на формулата за корен, получаваме , тук можете да опростите получените изрази, като направите преместване на множителя отвъд знака за коренпоследвано от намаляване на фракцията:

Отговор:

Да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

Отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решаването на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5, b=6 и c=2. Ние заместваме тези стойности в дискриминантната формула, която имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да посочите сложни корени, тогава прилагаме добре известната формула за корените на квадратно уравнение и изпълняваме операции с комплексни числа:

Отговор:

няма реални корени, сложните корени са: .

Нека отбележим още веднъж, че ако дискриминантът на квадратно уравнение е отрицателен, тогава в училище те обикновено незабавно записват отговор, в който посочват, че няма реални корени и сложни корени не се намират.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение, където D=b 2 −4·a·c ви позволява да получите формула с по-компактна форма, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент за x (или просто с коефициент, имащ формата 2·n, например, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Да я измъкнем.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от формата a x 2 +2 n x+c=0. Нека намерим корените му, използвайки формулата, която знаем. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)и след това използваме коренната формула:

Нека обозначим израза n 2 −a c като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата , където D 1 =n 2 −a·c.

Лесно се вижда, че D=4·D 1, или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част от дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знака на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втори коефициент 2·n, трябва

• Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
• Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
• Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена, като използвате формулата.

Нека разгледаме решаването на примера с помощта на формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Това означава, че можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тук a=5, n=−3 и c=−32, и да изчислите четвъртата част от дискриминанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на подходящата коренна формула:

Имайте предвид, че беше възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се извърши повече изчислителна работа.

Отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да започнете да изчислявате корените на квадратно уравнение с помощта на формули, няма да навреди да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение?“ Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x−6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0.

Обикновено опростяването на формата на квадратно уравнение се постига чрез умножаване или деление на двете страни на определено число. Например, в предишния параграф беше възможно да се опрости уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0, като се разделят двете му страни на 100.

Подобна трансформация се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай двете страни на уравнението обикновено се разделят на абсолютните стойности на неговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6. Разделяйки двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6, стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0.

И умножаването на двете страни на квадратно уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробните коефициенти. В този случай умножението се извършва по знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако двете страни на квадратното уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6, тогава то ще приеме по-простата форма x 2 +4·x−18=0.

В заключение на тази точка отбелязваме, че те почти винаги се отървават от минуса при най-високия коефициент на квадратно уравнение чрез промяна на знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например, обикновено се преминава от квадратното уравнение −2 x 2 −3 x+7=0 към решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на уравнението чрез неговите коефициенти. Въз основа на формулата за корен можете да получите други връзки между корени и коефициенти.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета са от вида и . По-специално, за даденото квадратно уравнение сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, като разгледаме формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x + 22 = 0, можем веднага да кажем, че сборът от неговите корени е равен на 7/3, а произведението на корените е равно на 22 /3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение чрез неговите коефициенти: .

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторизиране.

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корени на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратно уравнение са известни, тогава полином от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че - реални числа.
Нека помислим дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е равен на нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако изградите графика на функция
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
При , графиката пресича оста x (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
Където
; .

И така, получихме формулата за полином от втора степен във формата:
.
Това показва, че уравнението

извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От това получаваме факторизацията на квадратния трином:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича абсцисната ос (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича кратно. Тоест, те вярват, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем оригиналното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя не пресича оста x (ос). Следователно няма истински корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *Наричано по-долу „KU“.Приятели, изглежда, че не може да има нищо по-просто в математиката от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии при поискване дава Yandex на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души месечно търсят тази информация, какво общо има това лято и какво ще се случи сред учебна година— ще има два пъти повече заявки. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за Единния държавен изпит, търсят тази информация, а учениците също се стремят да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които ви казват как да решите това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на сайта ми въз основа на тази заявка; второ, в други статии, когато се появи темата за „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратно уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите a,bи c са произволни числа, с a≠0.

В училищния курс материалът е даден в следната форма - уравненията са разделени на три класа:

1. Те ​​имат два корена.

2. *Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва специално да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази „ужасна“ дума се крие много проста формула:

Формулите на корените са както следва:

*Трябва да знаете тези формули наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

Пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

В тази връзка, когато дискриминантът е равен на нула, в училищния курс се казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Всичко е точно, така е, но...

Тази идея е донякъде неправилна. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, получавате два равни корена и за да бъдем математически точни, тогава отговорът трябва да напише два корена:

x 1 = 3 x 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да го запишете и да кажете, че има един корен.

Сега следващият пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не може да бъде взет, така че решенията в в такъв случайНе.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Това показва как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще в една от статиите ще анализираме подробно решението на квадратното неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c – дадени числа, като a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) и нито една (дискриминантът е отрицателен). Подробности за квадратичната функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.

Нека да разгледаме примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = –12

*Беше възможно незабавно да се разделят лявата и дясната страна на уравнението на 2, тоест да се опрости. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Реши х 2–22 х+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Открихме, че x 1 = 11 и x 2 = 11

В отговора е допустимо да се запише x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаването на уравнението в случая, когато се окаже отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната конкретна роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Понятието комплексно число.

Малко теория.

Комплексно число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената имагинерна единица.

а+би – това е ЕДИНСТВЕНО ЧИСЛО, а не събиране.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега разгледайте уравнението:

Получаваме два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Нека разгледаме специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Те могат да бъдат решени лесно без никакви дискриминанти.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението става:

Нека трансформираме:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението става:

Нека трансформираме и факторизираме:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициентите.

Има свойства, които ви позволяват да решавате уравнения с големи коефициенти.

Ах 2 + bx+ ° С=0 има равенство

а + b+ c = 0,Че

- ако за коефициентите на уравнението Ах 2 + bx+ ° С=0 има равенство

а+ s =b, Че

Тези свойства помагат да се вземе решение определен типуравнения

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумата на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, което означава

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенството е в сила а+ s =b, Средства

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c = 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", то неговите корени са равни

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 – bx + c = 0 коефициентът “b” е равен на (a 2 +1), а коефициентът “c” е числено равен на коефициента “a”, то неговите корени са равни

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в ур. ax 2 + bx – c = 0 коефициент „b“ е равно на (a 2 – 1), и коефициент „c“ е числено равен на коефициента "а", тогава неговите корени са равни

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 – bx – c = 0 коефициентът “b” е равен на (a 2 – 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента “a”, то неговите корени са равни

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Виета, можем да изразим сумата и произведението на корените на произволно KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Общо числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С известно умение, използвайки представената теорема, можете веднага да решите много квадратни уравнения устно.

Освен това теоремата на Виета. Удобно е с това, че след решаване на квадратно уравнение по обичайния начин (чрез дискриминант), могат да се проверят получените корени. Препоръчвам да правите това винаги.

НАЧИН НА ТРАНСПОРТИРАНЕ

С този метод коефициентът "а" се умножава по свободния термин, сякаш "хвърлен" към него, поради което се нарича "трансферен" метод.Този метод се използва, когато корените на уравнението могат лесно да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако А± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:

2х 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Използвайки теоремата на Vieta в уравнение (2), е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1

Получените корени на уравнението трябва да бъдат разделени на 2 (тъй като двете бяха „хвърлени“ от x 2), получаваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са равни:

Ако погледнете корените на уравненията, получавате само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента на x 2:

Вторият (модифициран) има корени, които са 2 пъти по-големи.

Следователно, разделяме резултата на 2.

*Ако прехвърлим тройката, ще разделим резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

пл. ur-ie и Единен държавен изпит.

Ще ви разкажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ ​​бързо и без да мислите, трябва да знаете формулите на корените и дискриминантите наизуст. Много от задачите, включени в задачите на Единния държавен изпит, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Нещо, което си струва да се отбележи!

1. Формата на записване на уравнение може да бъде „неявна“. Например е възможен следният запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го доведеш до стандартен изглед(за да не се объркате при решаване).

2. Запомнете, че x е неизвестна величина и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и др.

Квадратно уравнение е уравнение във формата ax^2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0, в противен случай то вече няма да бъде квадратно уравнение. Квадратните уравнения или нямат корени, или имат точно един корен, или два различни корена. Първата стъпка е да потърсите дискриминант. Формула: D = b^2 − 4ac. 1. Ако Д< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, ще има два корена. С първия вариант е ясно, няма корени. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени, както следва: x12 = (-b +- √D) / 2a. Що се отнася до втория вариант, когато D = 0, може да се използва горната формула.

Квадратните уравнения започват да се изучават през училищна програмав курс по математика. Но, за съжаление, не всеки разбира и знае как правилно да реши квадратно уравнение и да изчисли неговите корени. Първо, нека разберем какво е квадратно уравнение.

Какво е квадратно уравнение

Терминът квадратно уравнение обикновено означава алгебрично уравнение от общ вид. Това уравнение има следната форма: ax2 + bx + c = 0, докато a, b и c са някои конкретни числа, x е неизвестно. Тези три числа обикновено се наричат ​​коефициенти на квадратното уравнение:

• a - първи коефициент;
• b - втори коефициент;
• c е третият коефициент.

Как да намерим корените на квадратно уравнение

За да се изчисли на какво ще бъдат равни корените на квадратно уравнение, е необходимо да се намери дискриминантът на уравнението. Дискриминантът на квадратно уравнение е израз, който е равен и се изчислява по формулата b2 - 4ac. Ако дискриминантът е по-голям от нула, коренът се изчислява по формулата: x = -b + - корен от дискриминанта, разделен на 2 a.

Помислете за примера на уравнението 5x на квадрат - 8x +3 = 0

Дискриминантът е равен на осем на квадрат, минус четири по пет, по три, което е = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + корен от четири делено на две по пет = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Съответно, корените на това квадратно уравнение ще бъдат 1 и 0,6.

Някои задачи по математика изискват способността да се изчислява стойността на корен квадратен. Такива проблеми включват решаване на уравнения от втори ред. В тази статия ще представим ефективен методизчисления квадратни корении го използвайте, когато работите с формули за корените на квадратно уравнение.

Какво е квадратен корен?

В математиката това понятие съответства на символа √. Исторически данни сочат, че е използван за първи път около първата половина на 16 век в Германия (първият немски труд по алгебра от Кристоф Рудолф). Учените смятат, че посоченият символ е трансформиран латиница r (radix означава "корен" на латински).

Коренът на всяко число е равен на стойността, чийто квадрат съответства на радикалния израз. На езика на математиката това определение ще изглежда така: √x = y, ако y 2 = x.

Корен от положително число(x > 0) също е положително число (y > 0), обаче, ако вземете корен от отрицателно число (x< 0), то его результатом уже будет комплексно число, включително въображаемата единица i.

Ето два прости примера:

√9 = 3, тъй като 3 2 = 9; √(-9) = 3i, тъй като i 2 = -1.

Итеративна формула на Heron за намиране на стойностите на квадратни корени

Горните примери са много прости и изчисляването на корените в тях не е трудно. Трудности започват да се появяват дори при намиране на коренни стойности за всяка стойност, която не може да бъде представена като квадрат на естествено число, например √10, √11, √12, √13, да не говорим за факта, че на практика е необходимо за намиране на корени за нецели числа: например √(12.15), √(8.5) и т.н.

Във всички горепосочени случаи трябва да се използва специален метод за изчисляване на квадратния корен. Понастоящем са известни няколко такива метода: например разширение на серия Тейлър, разделяне на колони и някои други. От всички известни методи, може би най-простият и най-ефективен е използването на итеративната формула на Херон, която е известна още като вавилонския метод за определяне на квадратни корени (има доказателства, че древните вавилонци са го използвали в своите практически изчисления).

Нека е необходимо да се определи стойността на √x. Формулата за намиране на квадратния корен е следната:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), където lim n->∞ (a n) => x.

Нека дешифрираме тази математическа нотация. За да изчислите √x, трябва да вземете определено число a 0 (може да е произволно, но за да получите бързо резултата, трябва да го изберете така, че (a 0) 2 да е възможно най-близо до x. След това го заменете в посочената формула за изчисляване на квадратния корен и получаване на ново число a 1, което вече ще бъде по-близо до желаната стойност. След това е необходимо да замените 1 в израза и да получите 2. Тази процедура трябва да се повтори, докато. се получава необходимата точност.

Пример за използване на итеративната формула на Heron

Описаният по-горе алгоритъм за получаване на квадратен корен от дадено число може да звучи доста сложен и объркващ за мнозина, но в действителност всичко се оказва много по-просто, тъй като тази формула се сближава много бързо (особено ако е избрано успешно число 0) .

Нека дадем прост пример: трябва да изчислите √11. Нека изберем 0 = 3, тъй като 3 2 = 9, което е по-близо до 11 отколкото 4 2 = 16. Като заместим във формулата, получаваме:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Няма смисъл да продължаваме с изчисленията, тъй като установихме, че 2 и 3 започват да се различават едва от 5-ия знак след десетичната запетая. По този начин беше достатъчно да се приложи формулата само 2 пъти, за да се изчисли √11 с точност до 0,0001.

В днешно време калкулаторите и компютрите се използват широко за изчисляване на корени, но е полезно да запомните маркираната формула, за да можете ръчно да изчислите точната им стойност.

Уравнения от втори ред

Разбирането какво е квадратен корен и способността да се изчислява се използва при решаването на квадратни уравнения. Тези уравнения се наричат ​​равенства с едно неизвестно, обща формакоето е показано на фигурата по-долу.

Тук c, b и a представляват някои числа и a не трябва да е равно на нула, а стойностите на c и b могат да бъдат напълно произволни, включително равни на нула.

Всички стойности на x, които отговарят на равенството, посочено на фигурата, се наричат ​​неговите корени (това понятие не трябва да се бърка с квадратния корен √). Тъй като разглежданото уравнение е от 2-ри ред (x 2), тогава не може да има повече от два корена за него. Нека разгледаме по-нататък в статията как да намерим тези корени.

Намиране на корените на квадратно уравнение (формула)

Този метод за решаване на разглеждания тип равенства се нарича още универсален метод или дискриминантен метод. Може да се използва за всякакви квадратни уравнения. Формулата за дискриминанта и корените на квадратното уравнение е следната:

То показва, че корените зависят от стойността на всеки от трите коефициента на уравнението. Освен това изчислението на x 1 се различава от изчислението на x 2 само по знака пред квадратния корен. Радикалният израз, който е равен на b 2 - 4ac, не е нищо повече от дискриминанта на въпросното равенство. Дискриминантът във формулата за корените на квадратно уравнение играе важна роля, защото определя броя и вида на решенията. Така че, ако е равно на нула, тогава ще има само едно решение, ако е положително, тогава уравнението има два реални корена и накрая, отрицателен дискриминант води до два сложни корени x 1 и x 2 .

Теорема на Виета или някои свойства на корените на уравнения от втори ред

В края на 16-ти век един от основателите на съвременната алгебра, французин, изучавайки уравнения от втори ред, успява да получи свойствата на неговите корени. Математически те могат да бъдат записани така:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

И двете равенства могат лесно да бъдат получени от всеки; за да направите това, трябва само да извършите съответните математически операции с корените, получени чрез формулата с дискриминанта.

Комбинацията от тези два израза с право може да се нарече втората формула за корените на квадратно уравнение, което дава възможност да се познаят решенията му без използване на дискриминант. Тук трябва да се отбележи, че въпреки че и двата израза са винаги валидни, е удобно да се използват за решаване на уравнение само ако то може да бъде факторизирано.

Задачата за консолидиране на придобитите знания

Нека да решим математическа задача, в която ще демонстрираме всички техники, разгледани в статията. Условията на задачата са следните: трябва да намерите две числа, за които произведението е -13, а сумата е 4.

Това условие веднага ни напомня за теоремата на Виета, използвайки формулите за сумата от квадратни корени и техния продукт, записваме:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ако приемем, че a = 1, тогава b = -4 и c = -13. Тези коефициенти ни позволяват да създадем уравнение от втори ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Нека използваме формулата с дискриминанта и да получим следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тоест проблемът беше сведен до намирането на числото √68. Обърнете внимание, че 68 = 4 * 17, тогава, използвайки свойството квадратен корен, получаваме: √68 = 2√17.

Сега нека използваме разглежданата формула за квадратен корен: a 0 = 4, тогава:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Няма нужда да изчислявате 3, тъй като намерените стойности се различават само с 0,02. Така √68 = 8,246. Замествайки го във формулата за x 1,2, получаваме:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Както виждаме, сумата от намерените числа наистина е равна на 4, но ако намерим произведението им, то ще бъде равно на -12,999, което удовлетворява условията на задачата с точност до 0,001.