Обратна допирателна. Обратни тригонометрични функции и техните графики

Обратни тригонометрични функции- това са арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс.

Първо нека дадем някои определения.

арксинусИли можем да кажем, че това е ъгъл, принадлежащ на сегмент, чийто синус е равно на числотоА.

аркосинусчисло a се нарича число такова, че

Арктангенсчисло a се нарича число такова, че

Аркотангенсчисло a се нарича число такова, че

Нека поговорим подробно за тези четири нови за нас функции - обратни тригонометрични.

Не забравяйте, че вече сме се срещали.

Например аритметика Корен квадратенот число a е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a.

Логаритъмът на число b при основа a е число c такова, че

При което

Разбираме защо математиците трябваше да „измислят“ нови функции. Например, решенията на едно уравнение са и не бихме могли да ги запишем без специалния аритметичен символ за квадратен корен.

Концепцията за логаритъм се оказа необходима, за да се запишат решения, например, на такова уравнение: Решението на това уравнение е ирационално числоТова е показателят, до който трябва да се повдигне 2, за да се получи 7.

Същото е и с тригонометричните уравнения. Например, искаме да решим уравнението

Ясно е, че неговите решения съответстват на точки от тригонометричната окръжност, чиято ордината е равна на И е ясно, че това не е табличната стойност на синуса. Как се записват решения?

Тук не можем без нова функция, обозначаваща ъгъла, на който е равен синус дадено числоа. Да, всички вече се досетиха. Това е арксинус.

Ъгълът, принадлежащ на сегмента, чийто синус е равен, е арксинус на една четвърт. И това означава, че поредицата от решения на нашето уравнение, съответстваща на правилната точка на тригонометричната окръжност, е

И втората поредица от решения на нашето уравнение е

Повече за решението тригонометрични уравнения - .

Остава да разберем - защо дефиницията на арксинуса показва, че това е ъгъл, принадлежащ на сегмента?

Факт е, че има безкрайно много ъгли, чийто синус е равен например на . Трябва да изберем един от тях. Избираме този, който лежи на сегмента.

Погледнете тригонометричния кръг. Ще видите, че на сегмента всеки ъгъл отговаря на определена синусова стойност и само на една. И обратно, всяка стойност на синуса от сегмента съответства на едно единствено значениеъгъл върху отсечка. Това означава, че в сегмент можете да дефинирате функция, приемаща стойности от до

Нека повторим определението отново:

Арксинусът на число е числото , такова, че

Обозначение: Областта на дефиниция на арксинуса е сегмент.

Можете да си спомните фразата „арксинуси живеят отдясно“. Само не забравяйте, че не е само отдясно, но и в сегмента.

Готови сме да начертаем графика на функцията

Както обикновено, ние нанасяме стойностите x на хоризонталната ос и стойностите на y на вертикалната ос.

Тъй като , следователно, x лежи в диапазона от -1 до 1.

Това означава, че областта на дефиниция на функцията y = arcsin x е отсечката

Казахме, че y принадлежи на сегмента. Това означава, че диапазонът от стойности на функцията y = arcsin x е сегментът.

Обърнете внимание, че графиката на функцията y=arcsinx се вписва изцяло в областта, ограничена от линиите и

Както винаги, когато чертаем графика на непозната функция, нека започнем с таблица.

По дефиниция арксинусът на нулата е число от сегмента, чийто синус е равен на нула. Какво е това число? - Ясно е, че това е нула.

По същия начин, арксинусът на едно е число от сегмента, чийто синус е равен на едно. Очевидно това

Продължаваме: - това е число от сегмента, чийто синус е равен на . да то

			0
			0

Построяване на графика на функция

Функционални свойства

1. Обхват на определението

2. Диапазон от стойности

3., тоест тази функция е нечетна. Графиката му е симетрична спрямо началото.

4. Функцията нараства монотонно. нея най-малка стойност, равна на - , се постига при , а най-голямата стойност, равна на , при

5. Какво означават графиките на функциите и ? Не мислите ли, че те са "направени по един и същи модел" - точно като дясното разклонение на функция и графиката на функция или като графиките на експоненциалната и логаритмичната функция?

Представете си, че изрязахме малък фрагмент от до до от обикновена синусоида и след това го обърнахме вертикално - и ще получим арксинусна графика.

Какво за функция на този интервал са стойностите на аргумента, тогава за арксинуса ще има стойностите на функцията. Така трябва да бъде! В крайна сметка синус и арксинус са взаимно обратни функции. Други примери за двойки взаимно обратни функции са at и , както и експоненциални и логаритмични функции.

Спомнете си, че графиките на взаимно обратни функции са симетрични по отношение на правата линия

По подобен начин дефинираме функцията Нуждаем се само от сегмент, на който всяка стойност на ъгъла съответства на собствената си косинусова стойност, и знаейки косинуса, можем уникално да намерим ъгъла. Един сегмент ще ни подхожда

Арккосинусът на число е числото , така че

Лесно е да запомните: „дъга косинусите живеят отгоре“ и не само отгоре, но и върху сегмента

Обозначение: Областта на дефиниция на аркосинуса е сегмент.

Очевидно сегментът е избран, защото в него всяка стойност на косинус се взема само веднъж. С други думи, всяка косинусова стойност, от -1 до 1, съответства на единична ъглова стойност от интервала

Арккосинусът не е нито четен, нито странна функция. Но можем да използваме следната очевидна връзка:

Нека начертаем функцията

Нуждаем се от част от функцията, където тя е монотонна, тоест приема всяка стойност точно веднъж.

Да изберем сегмент. На този сегмент функцията намалява монотонно, т.е. съответствието между множествата е едно към едно. Всяка стойност x има съответстваща стойност y. На този сегмент има функция, обратна на косинус, тоест функцията y = arccosx.

Нека попълним таблицата, използвайки дефиницията на арккосинус.

Арккосинусът на число x, принадлежащо на интервала, ще бъде число y, принадлежащо на интервала, така че

Това означава, тъй като;

защото ;

защото,

			0
					0

Ето графиката на арк косинус:

Функционални свойства

1. Обхват на определението

2. Диапазон от стойности

Тази функция общ изглед- не е нито четно, нито нечетно.

4. Функцията е строго намаляваща. Най-висока стойност, равно на , функцията y = arccosx приема при , а най-малката стойност, равна на нула, приема при

5. Функциите и са взаимно обратни.

Следващите са арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсът на число е числото , така че

Обозначаване: . Областта на дефиниране на арктангенса е областта на стойностите.

Защо краищата на интервала - точки - са изключени в дефиницията на арктангенса? Разбира се, тъй като допирателната в тези точки не е дефинирана. Няма число a равно на тангенса на някой от тези ъгли.

Нека построим графика на арктангенса. Според дефиницията аркутангенсът на число x е число y, принадлежащо на интервала, така че

Как да изградим графика вече е ясно. Тъй като арктангенсът е обратна функция на тангенса, ние процедираме както следва:

Избираме част от графиката на функцията, където съответствието между x и y е едно към едно. Това е интервалът C. В този раздел функцията приема стойности от до

Тогава обратната функция, тоест функцията, има дефиниционна област, която ще бъде цялата числова линия, от до, а диапазонът от стойности ще бъде интервалът

означава,

Но какво се случва за безкрайно големи стойности на x? С други думи, как се държи тази функция, когато х клони към плюс безкрайност?

Можем да си зададем въпроса: за кое число от интервала стойността на тангенса клони към безкрайност? - Очевидно е това

Това означава, че за безкрайно големи стойности на x графиката на арктангенса се доближава до хоризонталната асимптота

По същия начин, ако x се доближава до минус безкрайност, графиката на арктангенса се доближава до хоризонталната асимптота

Фигурата показва графика на функцията

Функционални свойства

1. Обхват на определението

2. Диапазон от стойности

3. Функцията е нечетна.

4. Функцията е строго нарастваща.

6. Функциите и са взаимно обратни - разбира се, когато функцията се разглежда на интервала

По подобен начин дефинираме обратната тангенс функция и начертаваме нейната графика.

Аркотангенсът на число е числото , така че

Функционална графика:

Функционални свойства

1. Обхват на определението

2. Диапазон от стойности

3. Функцията е от общ вид, тоест нито четна, нито нечетна.

4. Функцията е строго намаляваща.

5. Прави и хоризонтални асимптоти на тази функция.

6. Функциите и са взаимно обратни, ако се разглеждат на интервала

Обратни тригонометрични функции(кръгови функции, дъгови функции) - математически функции, които са обратни на тригонометричните функции.

Те обикновено включват 6 функции:

арксинус(обозначаване: arcsin x; arcsin x- това е ъгълът гряхкоето е равно на х),
аркосинус(обозначаване: arccos x; arccos xе ъгълът, чийто косинус е равен на хи така нататък),
арктангенс(обозначаване: арктан хили арктан х),
арккотангенс(обозначаване: arcctg xили arccot xили аркотан х),
арсеканс(обозначаване: arcsec x),
арккосеканс(обозначаване: arccosec xили arccsc x).

арксинус (y = arcsin x) - обратна функция към грях (x = sin y . С други думи, връща ъгъла по неговата стойност грях.

аркосинус (y = arccos x) - обратна функция към cos (x = cos y cos.

Арктангенс (y = арктан х) - обратна функция към tg (x = тен y), който има домейн и набор от стойности . С други думи, връща ъгъла по неговата стойност tg.

Аркотангенс (y = arcctg x) - обратна функция към ctg (x = cotg y), който има домейн на дефиниция и набор от стойности. С други думи, връща ъгъла по неговата стойност ctg.

дъгова секунда- арксеканс, връща ъгъла според стойността на неговия секанс.

arccosec- арккосеканс, връща ъгъл въз основа на стойността на неговия косеканс.

Когато обратната тригонометрична функция не е дефинирана в определена точка, тогава нейната стойност няма да се появи в крайната таблица. Функции дъгова секундаИ arccosecне се определят на сегмента (-1,1), но arcsinИ arccosсе определят само на интервала [-1,1].

Името на обратната тригонометрична функция се формира от името на съответната тригонометрична функция чрез добавяне на префикса "arc-" (от лат. дъга нас- дъга). Това се дължи на факта, че геометрично стойността на обратната тригонометрична функция е свързана с дължината на дъгата на единичната окръжност (или ъгъла, който обхваща тази дъга), който съответства на един или друг сегмент.

Понякога в чужда литература, както в научните/инженерни калкулатори, използвайте обозначения като грях−1, cos −1за арксинус, аркосинус и други подобни, това се счита за не напълно точно, т.к има вероятност да има объркване с повишаването на функция на степен −1 (« −1 » (минус първата степен) дефинира функцията x = f -1 (y), обратна функция y = f(x)).

Основни отношения на обратни тригонометрични функции.

Тук е важно да се обърне внимание на интервалите, за които са валидни формулите.

Формули, свързващи обратни тригонометрични функции.

Нека обозначим всяка от стойностите на обратните тригонометрични функции с Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot xи запазете бележката: arcsin x, аркос х, арктан х, arccot xза техните основни ценности, тогава връзката между тях се изразява чрез такива отношения.

Задачи, свързани с обратни тригонометрични функции, често се предлагат на зрелостни изпити в училище и на кандидатстудентски изпити в някои университети. Подробно изучаване на тази тема може да се постигне само в избираемите часове или избираеми дисциплини. Предлаганият курс е предназначен да развие възможно най-пълно способностите на всеки ученик и да подобри математическата му подготовка.

Курсът е с продължителност 10 часа:

1. Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 часа).

2.Действия върху обратни тригонометрични функции (4 часа).

3. Обратни тригонометрични операции върху тригонометрични функции (2 часа).

Урок 1 (2 часа) Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Цел: пълно отразяване на проблема.

1. Функция y = arcsin x.

а) За функцията y = sin x върху отсечката има обратна (еднозначна) функция, която се съгласихме да наричаме арксинус и да я обозначим по следния начин: y = arcsin x. Графиката на обратната функция е симетрична на графиката на главната функция спрямо ъглополовящата на I - III координатни ъгли.

Свойства на функцията y = arcsin x.

1) Област на дефиниция: сегмент [-1; 1];

2) Област на промяна: сегмент;

3) Функция y = arcsin x нечетен: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Функцията y = arcsin x е монотонно нарастваща;

5) Графиката пресича осите Ox, Oy в началото.

Пример 1. Намерете a = arcsin. Този примерможе да се формулира подробно по следния начин: намира се аргумент a, лежащ в диапазона от до, чийто синус е равен на.

Решение. Има безброй аргументи, чийто синус е равен на, например: и т.н. Но ние се интересуваме само от аргумента, който е на сегмента. Това би бил аргументът. Така, .

Пример 2. Намерете .Решение.Като се аргументираме по същия начин, както в пример 1, получаваме .

б) устни упражнения. Намерете: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Примерен отговор: , защото . Имат ли смисъл изразите: ; arcsin 1,5; ?

в) Подредете във възходящ ред: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Функции y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (подобни).

Урок 2 (2 часа) Тема: Обратни тригонометрични функции, техните графики.

Цел: на този урокнеобходимо е да се развият умения за определяне на стойностите на тригонометрични функции, за конструиране на графики на обратни тригонометрични функции с помощта на D (y), E (y) и необходимите трансформации.

В този урок изпълнете упражнения, които включват намиране на област на дефиниция, област на стойност на функции от типа: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Трябва да се построят графики на функциите: а) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;

d) y = arcsin; д) y = arcsin; д) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Пример.Нека начертаем y = arccos

Можете да включите следните упражнения в домашното си: построяване на графики на функции: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графики на обратни функции

Урок № 3 (2 часа) Тема:
Операции върху обратни тригонометрични функции.

Цел: разширяване на математическите знания (това е важно за постъпващите в специалности с повишени изисквания към математическата подготовка) чрез въвеждане на основни съотношения за обратни тригонометрични функции.

Материал за урока.

Някои прости тригонометрични операции върху обратни тригонометрични функции: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x, x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Упражнения.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нека arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Забележка: ние поставяме знака „+“ пред корена, защото a = arcsin x удовлетворява .

в) sin (1,5 + arcsin) Отговор: ;

г) ctg ( + arctg 3).

д) tg ( – arcctg 4).

д) cos (0,5 + arccos). Отговор: .

Изчисли:

а) грях (2 арктан 5) .

Нека arctan 5 = a, тогава sin 2 a = или грях (2 арктан 5) = ;

б) cos ( + 2 arcsin 0,8).

в) arctg + arctg.

Нека a = arctan, b = arctan,

тогава tg(a + b) = .

г) sin(arcsin + arcsin).

д) Докажете, че за всички x I [-1; 1] истински arcsin x + arccos x = .

Доказателство:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin (– arccos x)

x = cos (arccos x)

За да го разрешите сами: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

За домашно решение: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Урок No4 (2 часа) Тема: Операции върху обратни тригонометрични функции.

Цел: В този урок демонстрирайте използването на съотношения при трансформиране на по-сложни изрази.

Материал за урока.

УСТНО:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ПИСМЕНО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

Самостоятелната работа ще помогне да се определи нивото на овладяване на материала.

1) tg (arctg 2 – arctg)

2) cos (- arctan2)

3) arcsin + arccos

1) cos (arcsin + arcsin)

2) sin (1.5 - arctan 3)

3) arcctg3 – arctg 2

За домашна работаможем да предложим:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Урок No 5 (2 часа) Тема: Обратни тригонометрични операции върху тригонометрични функции.

Цел: да се формира разбирането на учениците за обратните тригонометрични операции върху тригонометрични функции, като се фокусира върху повишаване на разбирането на изучаваната теория.

При изучаването на тази тема се предполага, че обемът на теоретичния материал, който трябва да се запомни, е ограничен.

Материал на урока:

Можете да започнете да изучавате нов материал, като изучавате функцията y = arcsin (sin x) и начертаете нейната графика.

3. Всеки x I R е свързан с y I, т.е.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функцията е нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Графика y = arcsin (sin x) върху:

а) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Така,

След като построихме y = arcsin (sin x) на , продължаваме симетрично по отношение на началото на координатите на [- ; 0], предвид странността на тази функция. Използвайки периодичността, продължаваме по цялата числова ос.

След това запишете някои връзки: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos а ) = a ако е 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ако< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

И направете следните упражнения: а) arccos(sin 2). Отговор: 2 - ; б) arcsin (cos 0,6) Отговор: - 0,1; в) arctg (tg 2) Отговор: 2 - ;

г) arcctg(tg 0,6).Отговор: 0,9; д) arccos (cos ( - 2)) Отговор: 2 - ; д) arcsin (sin (- 0,6)). Отговор: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Отговор: 2 - ; з) аrcctg (tg 0,6). Отговор: - 0,6; - арктан х; д) arccos + arccos

Тъй като тригонометричните функции са периодични, техните обратни функции не са уникални. И така, уравнението y = грях х, за дадено , има безкрайно много корени. Наистина, поради периодичността на синуса, ако х е такъв корен, значи е такъв x + 2πn(където n е цяло число) също ще бъде коренът на уравнението. По този начин, обратните тригонометрични функции са многозначни. За по-лесна работа с тях се въвежда понятието за основните им значения. Помислете например за синус: y = грях х. Ако ограничим аргумента x до интервала, тогава върху него функцията y = грях хнараства монотонно. Следователно той има уникална обратна функция, която се нарича арксинус: x = arcsin y.

Освен ако не е посочено друго, под обратни тригонометрични функции разбираме техните основни стойности, които се определят от следните определения.

арксинус ( y = arcsin x) е обратната функция на синус ( x = сини
Аркосинус ( y = arccos x) е обратната функция на косинус ( x = уютен), имащ домейн на дефиниция и набор от стойности.
Арктангенс ( y = арктан х) е обратната функция на тангенса ( x = tg y), имащ домейн на дефиниция и набор от стойности.
аркотангенс ( y = arcctg x) е обратната функция на котангенса ( x = ctg y), имащ домейн на дефиниция и набор от стойности.

Графики на обратни тригонометрични функции

Графиките на обратните тригонометрични функции се получават от графики на тригонометрични функции чрез огледално отражение спрямо правата линия y = x. Вижте разделите Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

y = arccos x

y = арктан х

y = arcctg x

Основни формули

Тук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.

arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arcctg x) = x

Формули, свързващи обратни тригонометрични функции

Вижте също: Извеждане на формули за обратни тригонометрични функции

Формули за сбор и разлика

при или

при и

при и

при

при

при

при

при

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Уроци 32-33. Обратни тригонометрични функции

09.07.2015 8936 0

Мишена: разгледайте обратните тригонометрични функции и тяхното използване за писане на решения на тригонометрични уравнения.

I. Съобщаване на темата и целта на уроците

II. Учене на нов материал

1. Обратни тригонометрични функции

Нека започнем нашето обсъждане на тази тема със следния пример.

Пример 1

Нека решим уравнението:а) sin x = 1/2; б) sin x = a.

а) На ординатната ос нанасяме стойността 1/2 и построяваме ъглитех 1 и x2, за коитогрях х = 1/2. В този случай x1 + x2 = π, откъдето x2 = π –х 1 . Използвайки таблицата със стойности на тригонометричните функции, намираме стойността x1 = π/6, след товаНека вземем предвид периодичността на функцията синус и запишем решенията на това уравнение:където k ∈ Z.

б) Очевидно алгоритъмът за решаване на уравнениетогрях x = a е същото като в предходния параграф. Разбира се, сега стойността a се нанася по ординатната ос. Необходимо е по някакъв начин да се обозначи ъгълът x1. Разбрахме се да обозначим този ъгъл със символа arcsin А. Тогава решенията на това уравнение могат да бъдат записани във форматаТези две формули могат да бъдат комбинирани в една:при което

Останалите обратни тригонометрични функции се въвеждат по подобен начин.

Много често е необходимо да се определи големината на даден ъгъл от известна стойност на неговата тригонометрична функция. Такава задача е многозначна - има безброй ъгли, чиито тригонометрични функции са равни на една и съща стойност. Следователно, въз основа на монотонността на тригонометричните функции, се въвеждат следните обратни тригонометрични функции за еднозначно определяне на ъгли.

Арксинус на числото a (arcsin , чийто синус е равен на a, т.е.

Арккосинус на число a(arccos a) е ъгъл a от интервала, чийто косинус е равен на a, т.е.

Арктангенс на число a(arctg а) - такъв ъгъл а от интервалачийто тангенс е равен на а, т.е.tg a = a.

Аркотангенс на число a(arcctg a) е ъгъл a от интервала (0; π), чийто котангенс е равен на a, т.е. ctg a = a.

Пример 2

Да намерим:

Като вземем предвид дефинициите на обратните тригонометрични функции, получаваме:

Пример 3

Нека изчислим

Нека ъгъл a = arcsin 3/5, тогава по дефиниция sin a = 3/5 и . Следователно трябва да намерим cos А. Използвайки основната тригонометрична идентичност, получаваме:Взема се предвид, че cos a ≥ 0. Така че,

Функционални свойства	функция
Функционални свойства	y = arcsin x	y = arccos x	y = арктан х	y = arcctg x
Домейн	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Диапазон от стойности	y ∈ [ -π/2 ; π /2]	y ∈	y ∈ (-π/2; π/2)	y ∈ (0; π)
Паритет	Странно	Нито четно, нито нечетно	Странно	Нито четно, нито нечетно
Функционални нули (y = 0)	При x = 0	При x = 1	При x = 0	y ≠ 0
Интервали на знакопостоянство	y > 0 за x ∈ (0; 1], при< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 за x ∈ [-1; 1)	y > 0 за x ∈ (0; +∞), при< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 за x ∈ (-∞; +∞)
Монотонен	Повишаване на	Спускане	Повишаване на	Спускане
Връзка с тригонометричната функция	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
График

Нека дадем няколко по-типични примера, свързани с дефинициите и основните свойства на обратните тригонометрични функции.

Пример 4

Нека намерим областта на дефиниция на функцията

За да бъде дефинирана функцията y, е необходимо да е изпълнено неравенствотокоето е еквивалентно на системата от неравенстваРешението на първото неравенство е интервалът x∈ (-∞; +∞), секунда -Този интервал и е решение на системата от неравенства и следователно областта на дефиниране на функцията

Пример 5

Нека намерим областта на промяна на функцията

Нека разгледаме поведението на функцията z = 2x - x2 (вижте снимката).

Ясно е, че z ∈ (-∞; 1]. Като се има предвид, че аргументът z функцията на аркотангенса варира в рамките на посочените граници, от данните в таблицата, които получавамеТака че областта на промяната

Пример 6

Нека докажем, че функцията y = arctg х странно. ПозволявамТогава tg a = -x или x = - tg a = tg (- a) и Следователно, - a = arctg x или a = - arctg Х. Така виждаме товат.е. y(x) е нечетна функция.

Пример 7

Нека изразим чрез всички обратни тригонометрични функции

Позволявам Очевидно е, че Тогава оттогава

Нека представим ъгъла защото Че

По същия начин следователно И

Така,

Пример 8

Нека построим графика на функцията y = cos(arcsin x).

Тогава нека означим a = arcsin x Нека вземем предвид, че x = sin a и y = cos a, т.е. x 2 + y2 = 1 и ограничения върху x (x∈ [-1; 1]) и y (y ≥ 0). Тогава графиката на функцията y = cos(arcsin x) е полукръг.

Пример 9

Нека построим графика на функцията y = arccos (cos x).

Тъй като функцията cos x промени на интервала [-1; 1], тогава функцията y е дефинирана на цялата числена ос и варира на отсечката . Нека имаме предвид, че y = arccos(cosx) = x върху сегмента; функцията y е четна и периодична с период 2π. Като се има предвид, че функцията има тези свойства cos x Сега е лесно да създадете графика.

Нека отбележим някои полезни равенства:

Пример 10

Нека намерим най-малката и най-голямата стойност на функциятаНека обозначим Тогава Да вземем функцията Тази функция има минимум в точката z = π/4 и е равно на Най-голямата стойност на функцията се постига в точката z = -π/2 и е равно По този начин и

Пример 11

Да решим уравнението

Нека вземем предвид това Тогава уравнението изглежда така:или където По дефиницията на арктангенса получаваме:

2. Решаване на прости тригонометрични уравнения

Подобно на пример 1 можете да получите решения на най-простите тригонометрични уравнения.

Уравнението	Решение


tgx = а
ctg x = a

Пример 12

Да решим уравнението

Тъй като функцията синус е нечетна, записваме уравнението във форматаРешения на това уравнение:от къде го намираме?

Пример 13

Да решим уравнението

Използвайки дадената формула, записваме решенията на уравнението:и ще намерим

Имайте предвид, че в специални случаи (a = 0; ±1) при решаване на уравненията sin x = a и cos x = и е по-лесно и по-удобно да използвате не общи формули, а да записвате решения въз основа на единичната окръжност:

за уравнението sin x = 1 решение

за уравнението sin x = 0 решения x = π k;

за уравнението sin x = -1 решение