« Физика - 10 клас"

Ъглова скорост.

Всяка точка от тяло, въртящо се около фиксирана ос, минаваща през точка O, се движи в кръг, а различните точки изминават различни пътища за време Δt. И така, AA 1 > BB 1 (фиг. 1.62), следователно модулът на скоростта на точка A е по-голям от модула на скоростта на точка B. Но радиус-векторите, които определят позицията на точки A и B, се въртят по време на време Δt от същия ъгъл Δφ.

Ъгъл φ е ъгълът между оста OX и радиус вектора, който определя позицията на точка A (вижте фиг. 1.62).

Нека тялото се върти равномерно, т.е. за всякакви равни периоди от време радиус-векторите се въртят на еднакви ъгли.

Колкото по-голям е ъгълът на въртене на радиус-вектора, който определя позицията на дадена точка от твърдо тяло, за определен период от време, толкова по-бързо се върти тялото и толкова по-голяма е неговата ъглова скорост.

Ъглова скорост на тялото при равномерно въртенее количество, равно на съотношението на ъгъла на завъртане на тялото υφ към периода от време υt, през който е настъпило това завъртане.

Ъгловата скорост ще означаваме с гръцката буква ω (омега). Тогава по дефиниция

Ъгловата скорост в SI се изразява в радиани за секунда (rad/s). Например ъгловата скорост на въртене на Земята около оста й е 0,0000727 rad/s, а тази на шлифовъчния диск е около 140 rad/s.

Ъгловата скорост може да бъде свързана със скоростта на въртене.

Честота на въртене- броят на пълните обороти за единица време (в SI за 1 s).

Ако едно тяло прави ν (гръцката буква „nu“) оборота за 1 s, тогава времето на едно оборот е равно на 1/v секунди.

Нарича се времето, необходимо на тялото да извърши един пълен оборот период на въртенеи се обозначава с буквата Т.

Ако φ 0 ≠ 0, тогава φ - φ 0 = ωt, или φ = φ 0 ± ωt.

Един радиан е равен на централния ъгъл, сключен от дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността, 1 rad = 57°17"48". В радианова мярка ъгълът е равен на съотношението на дължината на дъгата на окръжност към нейния радиус: φ = l/R.

Ъгловата скорост приема положителни стойности, ако ъгълът между радиус вектора, който определя позицията на една от точките на твърдото тяло, и оста OX се увеличава (фиг. 1.63, а), и отрицателни стойности, когато тя намалява (фиг. 1.63, б).

Така можем да намерим позицията на точките на въртящо се тяло по всяко време.

Връзка между линейни и ъглови скорости.

Често се нарича скоростта на движение на точка в кръг линейна скорост, за да подчертае разликата му от ъгловата скорост.

Вече отбелязахме, че когато абсолютно твърдо тяло се върти, различните му точки имат различни линейни скорости, но ъгловата скорост е една и съща за всички точки.

Нека установим връзка между линейната скорост на всяка точка на въртящо се тяло и нейната ъглова скорост. Точка, разположена върху окръжност с радиус R, ще измине разстояние от 2πR за едно завъртане. Тъй като времето на един оборот на тялото е периодът T, модулът на линейната скорост на точка може да се намери, както следва:

Тъй като ω = 2πν, тогава

Модулът на центростремителното ускорение на точка от тяло, движещо се равномерно около окръжност, може да се изрази чрез ъгловата скорост на тялото и радиуса на окръжността:

следователно

и cs = ω 2 R.

Нека запишем всички възможни формули за изчисление на центростремителното ускорение:

Разгледахме двете най-прости движения на абсолютно твърдо тяло - транслационно и ротационно. Въпреки това, всяко сложно движение на абсолютно твърдо тяло може да бъде представено като сума от две независими движения: транслационно и ротационно.

Въз основа на закона за независимостта на движението е възможно да се опише сложното движение на абсолютно твърдо тяло.

Енциклопедичен YouTube

• 1 / 5

  В триизмерното пространство векторът на ъгловата скорост е равен по големина на ъгъла на въртене на точката около центъра на въртене за единица време:

  ω = d φ d t , (\displaystyle \omega =(\frac (d\varphi )(dt)),)

  a е насочен по протежение на оста на въртене според правилото на гимлет, т.е. в посоката, в която би се завинтил гимлет или винт с дясна резба, ако се върти в тази посока. Друга мнемоника за запомняне на връзката между посоката на въртене и посоката на вектора на ъгловата скорост е, че за конвенционален наблюдател, разположен в края на вектора на ъгловата скорост, излизащ от центъра на въртене, самото въртене изглежда, че се случва срещупо часовниковата стрелка.

  Ъгловата скорост е аксиален вектор (псевдовектор). При отразяване на осите на координатната система компонентите на правилен вектор (например радиус-вектор на точка) променят знака си. В същото време компонентите на псевдовектора (по-специално ъгловата скорост) с такава координатна трансформация остават същите.

  Тензорно представяне

  Единици

  Мерна единицаъглова скорост, приета в Международната система от единици (SI) и в системите GHS и MKGSS, - радиани в секунда (руско обозначение: рад/сек, международен: рад/сек) . В техниката се използват и обороти в секунда, много по-рядко - градуси, минути, дъгови секунди в секунда, градуси в секунда. Оборотите в минута често се използват в технологиите - това идва от времената, когато скоростта на въртене на нискооборотните парни машини се определяше просто на око, като се брои броят на оборотите за единица време.

  Имоти

  Векторът на моментната скорост на всяка точка от абсолютно твърдо тяло, въртящо се с ъглова скорост, се определя по формулата:

  v → = [ ω → , r → ] , (\displaystyle (\vec (v))=[\ (\vec (\omega )),(\vec (r))\ ],)

  където е радиус-векторът към дадена точка от началото, разположено върху оста на въртене на тялото, а квадратните скоби означават векторния продукт. Линейна скорост (съвпадаща с големината на вектора на скоростта) на точка на определено разстояние (радиус) r (\displaystyle r)от оста на въртене може да се изчисли, както следва: v = r ω. (\displaystyle v=r\omega .)Ако вместо радиани се използват други единици за измерване на ъгли, тогава в последните две формули ще се появи множител, който не е равен на единица.

  • В случай на въртене на равнината, т.е. когато всички вектори на скоростта на точките на тялото винаги лежат в една и съща равнина („равнина на въртене“), ъгловата скорост на тялото винаги е перпендикулярна на тази равнина и всъщност - ако равнината на въртене е известна - може да бъде заменена със скалар - проекция върху оста на въртене, тоест върху права линия, ортогонална на равнината на въртене. В този случай кинематиката на въртене е значително опростена. В общия случай обаче ъгловата скорост може да промени посоката си с времето в триизмерното пространство и такава опростена картина не работи.
  • Движението с постоянен вектор на ъгловата скорост се нарича равномерно въртеливо движение (в този случай ъгловото ускорение е нула). Равномерното въртене е частен случай на равнинно въртене.
  • Производната на ъгловата скорост по отношение на времето е ъглово ускорение.
  • Ъгловата скорост (разглеждана като свободен вектор) е една и съща във всички инерционни отправни системи, различаващи се по положението на отправната точка и скоростта на нейното движение, но движещи се равномерно праволинейно и транслационно една спрямо друга. Въпреки това, в тези инерционни референтни системи позицията на оста или центъра на въртене на едно и също конкретно тяло в един и същи момент във времето може да се различава (т.е. „приложната точка“ на ъгловата скорост ще бъде различна).
  • В случай на движение на точка в триизмерното пространство, можем да напишем израз за ъгловата скорост на тази точка спрямо избраното начало на координатите:
  ω → = r → × v → (r → , r →) , (\displaystyle (\vec (\omega ))=(\frac ((\vec (r))\times (\vec (v)))( ((\vec (r)),(\vec (r))))),)Където r → (\displaystyle (\vec (r)))- радиус вектор на точката (от началото), v → (\displaystyle (\vec (v)))- скоростта на тази точка, r → × v → (\displaystyle (\vec (r))\times (\vec (v)))- векторен продукт, (r → , r →) (\displaystyle ((\vec (r)),(\vec (r))))- скаларно произведение на вектори. Тази формула обаче не определя еднозначно ъгловата скорост (в случай на една точка могат да бъдат избрани други вектори ω → , (\displaystyle (\vec (\omega )),)подходящо по дефиниция, по друг начин - произволно - чрез избор на посоката на оста на въртене), а за общия случай (когато тялото включва повече от една материална точка) - тази формула не е вярна за ъгловата скорост на цялата тяло (тъй като дава различни ω → (\displaystyle (\vec (\omega )))за всяка точка и когато абсолютно твърдо тяло се върти, векторите на ъгловата скорост на въртене на всички негови точки съвпадат). Но в двумерния случай (случая на въртене на равнината) тази формула е напълно достатъчна, недвусмислена и правилна, тъй като в конкретния случай посоката на оста на въртене е ясно еднозначно определена.
  • В случай на равномерно въртеливо движение (т.е. движение с постоянен вектор на ъгловата скорост) на абсолютно твърдо тяло, декартовите координати на точките на въртящото се по този начин тяло правят

  Разстоянието и времето, необходимо за изминаването на това разстояние, са свързани с физическо понятие - скорост. И човек, като правило, няма никакви въпроси относно определянето на тази стойност. Всеки разбира, че да караш кола със скорост 100 км/ч означава да изминеш 100 километра за един час.

  Но какво ще стане, ако тялото се върти? Например обикновен домакински вентилатор прави десетки обороти в секунда. И в същото време скоростта на въртене на остриетата е такава, че те могат лесно да бъдат спрени с ръка, без да навредите на себе си. Земята около своята звезда - Слънцето - прави едно завъртане за цяла година, което е повече от 30 милиона секунди, но скоростта на движение в околозвездната орбита е около 30 километра в секунда!

  Как да свържете обичайната скорост със скоростта на въртене, как изглежда формулата за ъглова скорост?

  Концепцията за ъглова скорост

  Концепцията за ъглова скорост се използва при изучаването на законите на въртене. Прилага се за всички въртящи се тела. Било то въртене на определена маса около друга, както в случая със Земята и Слънцето, или въртене на самото тяло около полярната ос (ежедневното въртене на нашата планета).

  Разликата между ъгловата скорост и линейната скорост е, че записва промяната в ъгъла, а не разстоянието, за единица време. Във физиката ъгловата скорост обикновено се обозначава с буквата на гръцката азбука "омега" - ω.

  Класическата формула за ъглова скорост на въртене се разглежда по следния начин.

  

  Нека си представим, че физическо тяло се върти около определен център А с постоянна скорост. Неговото положение в пространството спрямо центъра се определя от ъгъла φ. В някакъв момент от време t1 въпросното тяло се намира в точка B. Ъгълът на отклонение на тялото от началния φ1.

  След това тялото се премества в точка C. То е там в момент t2. Време, необходимо за това движение:

  Променя се и положението на тялото в пространството. Сега ъгълът на отклонение е φ2. Промяната в ъгъла за периода от време ∆t беше:

  ∆φ = φ2 - φ1.

  Сега формулата за ъглова скорост се формулира по следния начин: ъгловата скорост се определя като съотношението на промяната на ъгъла ∆φ във времето ∆t.

  Единици за ъглова скорост

  Линейната скорост на тялото се измерва в различни величини. Движението на превозните средства по пътищата обикновено се посочва в километри в час; морските кораби правят възли - морски мили в час. Ако вземем предвид движението на космическите тела, тогава най-често тук се появяват километри в секунда.

  Ъгловата скорост, в зависимост от големината и обекта, който се върти, също се измерва в различни единици.

  Радиани в секунда (rad/s) е класическата мярка за скорост в Международната система единици (SI). Те показват колко радиана (при едно пълно завъртане 2 ∙ 3,14 радиана) тялото успява да завърти за една секунда.

  Оборотите в минута (rpm) са най-разпространената единица за обозначаване на скоростите на въртене в технологиите. Валовете както на електрическите, така и на автомобилните двигатели произвеждат точно (просто погледнете оборотомера в колата си) обороти в минута.

  Обороти в секунда (rps) - използва се по-рядко, предимно за образователни цели.

  Период на обръщение

  Понякога е по-удобно да се използва друга концепция за определяне на скоростта на въртене. Периодът на въртене обикновено се нарича времето, през което определено тяло прави оборот на 360° (пълен кръг) около центъра на въртене. Формулата за ъглова скорост, изразена като период на въртене, приема формата:

  Изразяването на скоростта на въртене на телата чрез периода на въртене е оправдано в случаите, когато тялото се върти относително бавно. Нека се върнем към разглеждането на движението на нашата планета около звездата.

  

  Формулата за ъглова скорост ви позволява да я изчислите, като знаете периода на революция:

  ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.

  Разглеждайки получения резултат, може да се разбере защо, когато се разглежда въртенето на небесните тела, е по-удобно да се използва периодът на революция. Човек вижда ясни числа пред себе си и ясно си представя техния мащаб.

  Връзка между ъглови и линейни скорости

  В някои задачи трябва да се определят линейната и ъгловата скорост. Формулата за трансформация е проста: линейната скорост на тялото е равна на произведението на ъгловата скорост и радиуса на въртене. Както е показано на снимката.

  

  Изразът също "работи" в обратен ред, с негова помощ се определя ъгловата скорост. Формулата чрез линейна скорост се получава чрез прости аритметични манипулации.

  Обикновено, когато говорим за движение, си представяме обект, който се движи по права линия. Скоростта на такова движение обикновено се нарича линейна и изчисляването на средната му стойност е просто: достатъчно е да се намери съотношението на изминатото разстояние към времето, през което е било изминато от тялото. Ако обектът се движи в кръг, тогава в този случай не се определя линейно, а какво е това количество и как се изчислява? Точно това ще бъде обсъдено в тази статия.

  Ъглова скорост: понятие и формула

  Когато се движите по кръг, скоростта на неговото движение може да се характеризира с големината на ъгъла на въртене на радиуса, който свързва движещия се обект с центъра на този кръг. Ясно е, че тази стойност постоянно се променя в зависимост от времето. Скоростта, с която протича този процес, не е нищо повече от ъглова скорост. С други думи, това е съотношението на отклонението на радиус вектора на даден обект към периода от време, необходимо на обекта да направи такъв завой. Формулата за ъглова скорост (1) може да бъде записана по следния начин:

  w = φ / t, където:

  φ - ъгъл на завъртане на радиуса,

  t - период от време на въртене.

  

  Мерни единици

  В Международната система от общи единици (SI) радианите се използват за характеризиране на завоите. Следователно 1 rad/s е основната единица, използвана при изчисленията на ъгловата скорост. В същото време никой не забранява използването на градуси (припомнете си, че един радиан е равен на 180/pi, или 57˚18’). Също така, ъгловата скорост може да бъде изразена в броя на оборотите в минута или в секунда. Ако движението около кръга се извършва равномерно, тогава тази стойност може да се намери с помощта на формула (2):

  където n е скоростта на въртене.

  В противен случай, по същия начин, както при обикновената скорост, се изчислява средната или моментната ъглова скорост. Трябва да се отбележи, че разглежданата величина е векторна. За да се определи посоката му, обикновено се използва, което често се използва във физиката. Векторът на ъгловата скорост е насочен в същата посока като винта с дясна резба. С други думи, тя е насочена по оста, около която се върти тялото, в посоката, от която се вижда, че въртенето се случва обратно на часовниковата стрелка.

  

  Примери за изчисление

  Да предположим, че трябва да определите каква е линейната и ъгловата скорост на колело, ако е известно, че диаметърът му е равен на един метър, а ъгълът на въртене се променя в съответствие със закона φ = 7t. Нека използваме нашата първа формула:

  w = φ / t = 7t / t = 7 s -1 .

  Това ще бъде желаната ъглова скорост. Сега да преминем към търсенето на познатата ни скорост на движение. Както е известно, v = s/t. Като се има предвид, че s в нашия случай е колелата (l = 2π*r), а 2π е един пълен оборот, получаваме следното:

  v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0,5 = 3,5 m/s

  Ето още един пъзел по тази тема. Известно е, че на екватора е 6370 километра. Необходимо е да се определи линейната и ъгловата скорост на движение на точките, разположени на този паралел, който възниква в резултат на въртенето на нашата планета около оста си. В този случай се нуждаем от втората формула:

  w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10 -5 rad/s.

  Остава да разберем на какво е равна линейната скорост: v = w*r = 7,268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.

  Ъглова скорост- векторно физическо количество, характеризиращо скоростта на въртене на тялото. Векторът на ъгловата скорост е равен по големина на ъгъла на въртене на тялото за единица време:

  ,

  a е насочен по протежение на оста на въртене съгласно правилото на гимлет, т.е. в посоката, в която би се завинтил гимлет с дясна резба, ако се върти в същата посока.

  Мерна единицаъглова скорост, приета в системите SI и GHS - радиани в секунда. (Забележка: радианите, като всяка единица за измерване на ъгъл, са физически безразмерни, така че физическото измерение на ъгловата скорост е просто). В техниката се използват и обороти в секунда, много по-рядко - градуси в секунда, градуси в секунда. Може би оборотите в минута се използват най-често в технологията - това идва от онези времена, когато скоростта на въртене на парните двигатели с ниска скорост се определяше просто „ръчно“, като се брои броят на оборотите за единица време.

  Векторът на (моментната) скорост на всяка точка от (абсолютно) твърдо тяло, въртящо се с ъглова скорост, се определя по формулата:

  където е радиус-векторът към дадена точка от началото, разположено върху оста на въртене на тялото, а квадратните скоби показват векторния продукт. Линейната скорост (съвпадаща с величината на вектора на скоростта) на точка на определено разстояние (радиус) от оста на въртене може да се изчисли по следния начин: Ако се използват други единици за ъгли вместо радиани, тогава в последните две формули ще се появи множител, който не е равен на единица.

  • В случай на въртене на равнината, т.е. когато всички вектори на скоростта на точките на тялото лежат (винаги) в една и съща равнина („равнина на въртене“), ъгловата скорост на тялото винаги е перпендикулярна на тази равнина, и всъщност - ако равнината на въртене е известна - може да се замени със скалар - проекция върху ос, ортогонална на равнината на въртене. В този случай кинематиката на въртене е значително опростена, но в общия случай ъгловата скорост може да промени посоката си в триизмерното пространство с течение на времето и такава опростена картина не работи.
  • Производната на ъгловата скорост по отношение на времето е ъглово ускорение.
  • Движението с постоянен вектор на ъгловата скорост се нарича равномерно въртеливо движение (в този случай ъгловото ускорение е нула).
  • Ъгловата скорост (разглеждана като свободен вектор) е една и съща във всички инерционни референтни системи, но в различни инерциални референтни системи оста или центърът на въртене на едно и също конкретно тяло в един и същи момент от време може да се различава (т.е. „ точка на приложение” на ъгловата скорост).
  • В случай на движение на една единствена точка в триизмерното пространство, можем да напишем израз за ъгловата скорост на тази точка спрямо избраното начало:
  , където е радиус-векторът на точката (от началото), е скоростта на тази точка. - векторно произведение, - скаларно произведение на вектори. Тази формула обаче не определя еднозначно ъгловата скорост (в случай на една точка можете да изберете други вектори, които са подходящи по дефиниция, в противен случай - произволно - избирайки посоката на оста на въртене), а за общия случай (когато тялото включва повече от една материална точка) - тази формула не е вярна за ъгловата скорост на цялото тяло (тъй като дава различни за всяка точка, а когато абсолютно твърдо тяло се върти, по дефиниция ъгловата скорост на неговото въртене е единственият вектор). При всичко това в двумерния случай (случая на въртене на равнина) тази формула е напълно достатъчна, недвусмислена и правилна, тъй като в конкретния случай посоката на оста на въртене е ясно еднозначно определена.
  • В случай на равномерно въртеливо движение (т.е. движение с постоянен вектор на ъгловата скорост) декартовите координати на точките на въртящото се по този начин тяло извършват хармонични трептения с ъглова (циклична) честота, равна на големината на ъгловата вектор на скоростта.

  Връзка с крайно въртене в пространството

  . . .

  Вижте също

  Литература

  • Лури А.И. Аналитична механика\\ А.И. - М.: GIFML, 1961. - С. 100-136
  
  

  Фондация Уикимедия. 2010 г.

  • Дивногорск
  • Киловатчас

  Вижте какво е „ъглова скорост“ в други речници:

  ЪГЛОВА СКОРОСТ- векторно количество, характеризиращо скоростта на въртене на твърдо тяло. Когато едно тяло се върти равномерно около фиксирана ос, неговите V.s. w=Dj/Dt, където Dj е нарастването на ъгъла на завъртане j за периода от време Dt, а в общия случай w=dj/dt. Вектор U....... Физическа енциклопедия

  ЪГЛОВА СКОРОСТ- ЪГЛОВА СКОРОСТ, скоростта на промяна на ъгловото положение на обект спрямо фиксирана точка. Средната стойност на ъгловата скорост w на обект, движещ се от ъгъл q1 до ъгъл q2 за време t, се изразява като (q2 q1)w)/t. Моментна ъглова скорост... ... Научно-технически енциклопедичен речник

  ЪГЛОВА СКОРОСТ- ЪГЛОВА СКОРОСТ, стойност, характеризираща скоростта на въртене на твърдо тяло. Когато едно тяло се върти равномерно около фиксирана ос, абсолютната стойност на неговата ъглова скорост е w=Dj/Dt, където Dj е нарастването на ъгъла на въртене за период от време Dt... Съвременна енциклопедия

  ЪГЛОВА СКОРОСТ- векторно количество, характеризиращо скоростта на въртене на твърдо тяло. При равномерно въртене на тяло около фиксирана ос, абсолютната стойност на неговата ъглова скорост, където е нарастването на ъгъла на въртене за период от време?t... Голям енциклопедичен речник

  ъглова скорост- Кинематична мярка на въртеливото движение на тяло, изразено чрез вектор, равен по големина на съотношението на елементарния ъгъл на въртене на тялото към елементарния период от време, през който се извършва това въртене, и насочен по протежение на моментната ос ..... Ръководство за технически преводач

  ъглова скорост- векторно количество, характеризиращо скоростта на въртене на твърдо тяло. Когато едно тяло се върти равномерно около фиксирана ос, абсолютната стойност на неговата ъглова скорост е ω = Δφ/Δt, където Δφ е нарастването на ъгъла на завъртане за период от време Δt. * * * ЪГЪЛ… енциклопедичен речник

  ъглова скорост- kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. ъглова скорост ъглова скорост vok. Winkelgeschwindigkeit, ф рус. ъглова скорост, f пранц. vitesse angulaire, f … Automatikos terminų žodynas

  ъглова скорост- kampinis greitis statusas T sritis Стандартизация и метрология apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Kai kūnas sukasi tolygiai… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  ъглова скорост- kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. ъглова скорост ъглова скорост vok. Winkelgeschwindigkeit, ф рус. ъглова скорост, f пранц. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas

  Ъглова скорост- количество, характеризиращо скоростта на въртене на твърдо тяло. Когато едно тяло се върти равномерно около фиксирана ос, неговите V.s. ω =Δφ/ Δt, където Δφ е нарастването на ъгъла на завъртане φ за периода от време Δt. В общия случай U. s. числено равен...... Велика съветска енциклопедия