Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ.

1. Нека преброим две различни
начини неговата площ.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека създадем система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Нека умножим второто уравнение на системата по 2 и го добавим към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 градуса. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 (d 1 /2) (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-късия диагонал.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5.

2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Отговор: 145.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към оригиналния източник.

Извеждането на формулата за площта на успоредника се свежда до конструирането на правоъгълник, равен по площ на дадения успоредник. Нека вземем едната страна на успоредника за основа и перпендикулярът, изтеглен от всяка точка на противоположната страна към правата линия, съдържаща основата, ще се нарича височина на успоредника. Тогава площта на успоредника ще бъде равна на произведението на основата и височината му.

Теорема.Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината му.

Доказателство. Помислете за успоредник с площ. Нека вземем страната като основа и начертаем височините (Фигура 2.3.1). Изисква се това да се докаже.

Фигура 2.3.1

Нека първо докажем, че площта на правоъгълника също е равна. Трапецът е съставен от успоредник и триъгълник. От друга страна, той е съставен от правоъгълник NVSC и триъгълник. Но правоъгълните триъгълници са равни по хипотенуза и остър ъгъл (хипотенузите им са равни като противоположните страни на успоредник, а ъглите 1 и 2 са равни като съответните ъгли при пресичането на успоредни прави и напречна), така че техните площи са равни. Следователно площите на успоредника и правоъгълника също са равни, т.е. площта на правоъгълника е равна. Според теоремата за площта на правоъгълник, но тъй като тогава.

Теоремата е доказана.

Пример 2.3.1.

В ромб със страна и остър ъгъл е вписан кръг. Определете площта на четириъгълник, чиито върхове са точките на контакт на кръга със страните на ромба.

Решение:

Радиусът на окръжност, вписана в ромб (Фигура 2.3.2), тъй като четириъгълникът е правоъгълник, тъй като ъглите му почиват върху диаметъра на окръжността. Площта му е където (страна срещу ъгъла),.

Фигура 2.3.2

така че

отговор:

Пример 2.3.2.

Даден е ромб, чиито диагонали са 3 см и 4 см. От върха на тъп ъгъл се начертават височините и се изчислява площта на четириъгълника.

Решение:

Площ на ромб (Фигура 2.3.3).

така че

отговор:

Пример 2.3.3.

Площта на четириъгълника е Намерете лицето на успоредник, чиито страни са равни и успоредни на диагоналите на четириъгълника.

Решение:

Тъй като и (Фигура 2.3.4), тогава е успоредник и, следователно,.

Фигура 2.3.4

По същия начин получаваме, от което следва, че.

отговор:.

2.4 Площ на триъгълник

Има няколко формули за изчисляване на площта на триъгълник. Нека разгледаме тези, които се изучават в училище.

Първата формула следва от формулата за площта на успоредник и се предлага на учениците под формата на теорема.

Теорема.Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата основа и височина.

Доказателство.Нека е площта на триъгълника. Вземете страната в основата на триъгълника и начертайте височината. Нека докажем, че:

Фигура 2.4.1

Нека построим триъгълника до успоредник, както е показано на фигурата. Триъгълниците са равни по три страни (общата им страна и срещуположните страни на успоредник), следователно техните площи са равни. Следователно площта S на триъгълник ABC е равна на половината от площта на успоредника, т.е.

Теоремата е доказана.

Важно е да насочите вниманието на учениците към две следствия, които следват от тази теорема. а именно:

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката му.

Ако височините на два триъгълника са равни, тогава техните площи се отнасят като основи.

Тези две последствия играят важна роля при решаването на различни видове проблеми. Въз основа на това се доказва друга теорема, която има широко приложение при решаване на задачи.

Теорема. Ако ъгълът на един триъгълник е равен на ъгъла на друг триъгълник, тогава техните площи се отнасят като произведение на страните, обхващащи еднакви ъгли.

Доказателство. Позволявам и са областите на триъгълници, чиито ъгли са равни.

Фигура 2.4.2

Нека докажем, че: .

Нека приложим триъгълник. върху триъгълника, така че върхът да е подравнен с върха, а страните да припокриват съответно лъчите.

Фигура 2.4.3

Триъгълниците имат обща височина, следователно... Триъгълниците също имат обща височина - следователно,. Умножавайки получените равенства, получаваме .

Теоремата е доказана.

Втора формула.Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях.Има няколко начина за доказване на тази формула и аз ще използвам един от тях.

Доказателство.От геометрията има добре известна теорема, че площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, понижена от тази основа:

В случай на остроъгълен триъгълник. При тъп ъгъл. Хо, и следователно . И така, и в двата случая. Замествайки вместо площта на триъгълника в геометричната формула, получаваме тригонометричната формула за площта на триъгълника:

Теоремата е доказана.

Трета формулаза площта на триъгълник - формулата на Херон, кръстена на древногръцкия учен Херон от Александрия, живял през първи век сл. Хр. Тази формула ви позволява да намерите площта на триъгълник, като знаете неговите страни. Удобен е с това, че ви позволява да не правите допълнителни конструкции или да измервате ъгли. Заключението му се основава на втората от формулите за площта на триъгълника, които разгледахме, и косинусовата теорема: и .

Преди да продължите с изпълнението на този план, имайте предвид, че

По абсолютно същия начин имаме:

Сега нека изразим косинуса чрез и:

Тъй като всеки ъгъл в триъгълник е по-голям и по-малък, тогава. означава, .

Сега отделно трансформираме всеки от факторите в радикалния израз. Ние имаме:

Замествайки този израз във формулата за площ, получаваме:

Темата „Площ на триъгълник“ е от голямо значение в училищния курс по математика. Триъгълникът е най-простата геометрична фигура. Това е „структурен елемент“ на училищната геометрия. По-голямата част от геометричните задачи се свеждат до решаване на триъгълници. Проблемът с намирането на площта на правилен и произволен n-ъгълник не е изключение.

Пример 2.4.1.

Каква е площта на равнобедрен триъгълник, ако основата му е , а страната му е ?

Решение:

- равнобедрен,

Фигура 2.4.4

Нека използваме свойствата на равнобедрен триъгълник - медиана и височина. Тогава

Според теоремата на Питагор:

Намиране на площта на триъгълника:

отговор:

Пример 2.4.2.

В правоъгълен триъгълник ъглополовящата на остър ъгъл разделя противоположния катет на сегменти с дължина 4 и 5 см. Определете площта на триъгълника.

Решение:

Нека (Фигура 2.4.5). Тогава (тъй като BD е ъглополовяща). От тук имаме , т.е. означава,

Фигура 2.4.5

отговор:

Пример 2.4.3.

Намерете площта на равнобедрен триъгълник, ако основата му е равна на , а дължината на надморската височина, начертана към основата, е равна на дължината на сегмента, свързващ средите на основата и страната.

Решение:

Според условието, – средната линия (Фигура 2.4.6). Тъй като имаме:

или , оттам,

Преди да научим как да намерим площта на успоредник, трябва да си спомним какво е успоредник и какво се нарича неговата височина. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни (лежат на успоредни прави). Перпендикуляр, прекаран от произволна точка на противоположната страна към права, съдържаща тази страна, се нарича височина на успоредник.

Квадрат, правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник.

Площта на успоредник се обозначава като (S).

Формули за намиране на площта на успоредник

S=a*h, където a е основата, h е височината, която е начертана към основата.

S=a*b*sinα, където a и b са основите, а α е ъгълът между основите a и b.

S =p*r, където p е полупериметърът, r е радиусът на окръжността, която е вписана в успоредника.

Площта на успоредника, образувана от векторите a и b, е равна на модула на произведението на дадените вектори, а именно:

Нека разгледаме пример № 1: Даден е успоредник, чиято страна е 7 см, а височината е 3 см. Как да намерим площта на успоредник, имаме нужда от формула за решение.

Така S= 7x3. S=21. Отговор: 21 см 2.

Разгледайте пример № 2: Дадени основи са 6 и 7 cm, както и даден ъгъл между основите от 60 градуса. Как да намерите площта на успоредник? Формула, използвана за решаване:

Така първо намираме синуса на ъгъла. Синус 60 = 0,5, съответно S = 6*7*0,5=21 Отговор: 21 cm 2.

Надявам се, че тези примери ще ви помогнат при решаването на проблеми. И не забравяйте, че основното е познаването на формулите и вниманието

Паралелограмът е геометрична фигура, която често се среща в задачи в курса по геометрия (планиметрия на секции). Основните характеристики на този четириъгълник са равенството на противоположните ъгли и наличието на две двойки успоредни противоположни страни. Специални случаи на успоредник са ромб, правоъгълник, квадрат.

Изчисляването на площта на този тип многоъгълник може да се извърши по няколко начина. Нека да разгледаме всеки от тях.

Намерете площта на успоредник, ако страната и височината са известни

За да изчислите площта на паралелограма, можете да използвате стойностите на неговата страна, както и дължината на височината, спусната върху нея. В този случай получените данни ще бъдат надеждни както при известна страна - основата на фигурата, така и ако имате на разположение страничната страна на фигурата. В този случай необходимата стойност ще бъде получена по формулата:

S = a * h (a) = b * h (b),

• S е площта, която трябва да бъде определена,
• a, b – известна (или изчислена) страна,
• h е височината, спусната върху него.

Пример: стойността на основата на успоредник е 7 cm, дължината на перпендикуляра, пуснат върху него от противоположния връх, е 3 cm.

Решение: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Намерете лицето на успоредник, ако са известни 2 страни и ъгълът между тях

Нека разгледаме случая, когато знаете размерите на двете страни на фигура, както и градусната мярка на ъгъла, който те образуват помежду си. Предоставените данни могат да се използват и за намиране на площта на успоредник. В този случай изразът на формулата ще изглежда така:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

• а – страна,
• c – известна (или изчислена) база,
• α, β – ъгли между страни a и c.

Пример: основата на успоредник е 10 см, страната му е с 4 см по-малка. Тъпият ъгъл на фигурата е 135°.

Решение: определете стойността на втората страна: 10 – 4 = 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Намерете площта на успоредник, ако са известни диагоналите и ъгълът между тях

Наличието на известни стойности на диагоналите на даден многоъгълник, както и ъгълът, който те образуват в резултат на тяхното пресичане, ни позволява да определим площта на фигурата.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S е площта, която трябва да се определи,
d1, d2 – известни (или изчислени чрез изчисления) диагонали,
γ, φ – ъгли между диагонали d1 и d2.

Какво е успоредник? Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

1. Площта на паралелограма се изчислява по формулата:

\[ \ГОЛЯМО S = a \cdot h_(a)\]

където:
a е страната на успоредника,
h a – височина, изтеглена от тази страна.

2. Ако са известни дължините на две съседни страни на успоредник и ъгълът между тях, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако са дадени диагоналите на паралелограма и ъгълът между тях е известен, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Свойства на успоредник

В успоредник противоположните страни са равни: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

В успоредник противоположните ъгли са равни: \(\ъгъл A = \ъгъл C\), \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Диагоналите на успоредник в пресечната точка са разделени наполовина \(AO = OC\), \(BO = OD\)

Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.

Сумата от ъглите на успоредник, съседни на едната страна, е 180 o:

\(\ъгъл A + \ъгъл B = 180^(o)\), \(\ъгъл B + \ъгъл C = 180^(o)\)

\(\ъгъл C + \ъгъл D = 180^(o)\), \(\ъгъл D + \ъгъл A = 180^(o)\)

Диагоналите и страните на успоредник са свързани със следната връзка:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

В успоредник ъгълът между височините е равен на неговия остър ъгъл: \(\ъгъл K B H =\ъгъл A \) .

Симетралите на ъглите, съседни на едната страна на успоредник, са взаимно перпендикулярни.

Симетралите на два срещуположни ъгъла на успоредник са успоредни.

Признаци на успоредник

Четириъгълникът ще бъде успоредник, ако:

\(AB = CD\) и \(AB || CD\)

\(AB = CD\) и \(BC = AD\)

\(AO = OC\) и \(BO = OD\)

\(\ъгъл A = \ъгъл C\) и \(\ъгъл B = \ъгъл D\)