Метод на събиране при решаване на системи от уравнения. Как да решим система от линейни уравнения

Инструкции

Метод на добавяне.
Трябва да напишете две строго една под друга:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
В произволно избрано (от системата) уравнение вмъкнете числото 11 вместо вече намерената „игра“ и изчислете второто неизвестно:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Отговорът на тази система от уравнения е x=116, y=11.

Графичен метод.
Състои се от практическо намиране на координатите на точката, в която линиите са математически записани в система от уравнения. Графиките на двете линии трябва да се начертаят поотделно в една и съща координатна система. Общ изглед: – y=khx+b. За да се построи права линия, достатъчно е да се намерят координатите на две точки, а x се избира произволно.
Нека е дадена системата: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Правата линия се конструира с помощта на първата, за удобство трябва да се запише: y=2x-4. Измислете (по-лесни) стойности за x, замествайки го в уравнението, решавайки го и намирайки y. Получаваме две точки, по които е построена права линия. (виж снимката)
х 0 1

y -4 -2
Правата линия се конструира с помощта на второто уравнение: y=-3x+1.
Постройте и права линия. (виж снимката)

y 1 -5
Намерете координатите на пресечната точка на две построени прави на графиката (ако линиите не се пресичат, тогава системата от уравнения няма - така).

Видео по темата

Полезен съвет

Ако една и съща система от уравнения се реши с три различни начини, отговорът ще бъде същият (ако решението е правилно).

източници:

Алгебра 8 клас
решаване на уравнение с две неизвестни онлайн
Примери за системни решения линейни уравненияс две

Система уравненияе колекция от математически записи, всеки от които съдържа определен брой променливи. Има няколко начина за решаването им.

Ще имаш нужда

-Линийка и молив;
- калкулатор.

Инструкции

Нека разгледаме последователността на решаване на системата, която се състои от линейни уравнения, имащи формата: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Където x и y са неизвестни променливи, а b,c са свободни членове. При прилагането на този метод всяка система представя координатите на точки, съответстващи на всяко уравнение. Като начало, във всеки случай изразете една променлива по отношение на друга. След това задайте произволен брой стойности на променливата x. Две са достатъчни. Заместете в уравнението и намерете y. Изградете координатна система, маркирайте върху нея получените точки и начертайте линия през тях. Подобни изчисления трябва да се извършат и за други части на системата.

Системата има уникално решение, ако построените прави се пресичат и имат една обща точка. Несъвместимо е, ако са успоредни един на друг. И има безкрайно много решения, когато линиите се сливат една с друга.

Този методсмятан за много визуален. Основният недостатък е, че изчислените неизвестни имат приблизителни стойности. По-точни резултати дават т. нар. алгебрични методи.

Всяко решение на система от уравнения си струва да бъде проверено. За да направите това, заменете получените стойности вместо променливите. Можете също да намерите неговото решение, като използвате няколко метода. Ако решението на системата е правилно, тогава всички трябва да се окажат еднакви.

Често има уравнения, в които един от членовете е неизвестен. За да решите уравнение, трябва да запомните и извършите определен набор от действия с тези числа.

Ще имаш нужда

- хартия;
- химикал или молив.

Инструкции

Представете си, че пред вас има 8 заека, а вие имате само 5 моркова. Помислете за това, все пак трябва да купите повече моркови, така че всеки заек да получи по един.

Нека представим тази задача под формата на уравнение: 5 + x = 8. Нека заместим числото 3 на мястото на x. Наистина, 5 + 3 = 8.

Когато заместихте число с x, направихте същото нещо, както когато извадихте 5 от 8. Така че, за да намерите неизвестенчлен, извадете известния член от сумата.

Да кажем, че имате 20 заека и само 5 моркова. Нека се измислим. Уравнението е равенство, което е валидно само за определени стойности на буквите, включени в него. Буквите, чието значение трябва да се открие, се наричат. Напишете уравнение с едно неизвестно, наречете го x. Когато решаваме проблема със заека, получаваме следното уравнение: 5 + x = 20.

Да намерим разликата между 20 и 5. При изваждане числото, от което се изважда, е това, което се намалява. Числото, което се изважда, се нарича , а крайният резултат се нарича разлика. И така, x = 20 – 5; x = 15. Трябва да купите 15 моркова за зайците.

Проверка: 5 + 15 = 20. Уравнението е решено правилно. Разбира се, когато става въпрос за такива прости, проверката не е необходима. Когато обаче имате уравнения с трицифрени, четирицифрени и т.н. числа, определено трябва да проверите, за да сте напълно сигурни в резултата от работата си.

Видео по темата

Полезен съвет

За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата.

За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното.

Съвет 4: Как да решим система от три уравнения с три неизвестни

Система от три уравнения с три неизвестни може да няма решения, въпреки достатъчен брой уравнения. Можете да опитате да го решите, като използвате метода на заместване или метода на Крамер. Методът на Cramer, в допълнение към решаването на системата, ви позволява да оцените дали системата е разрешима, преди да намерите стойностите на неизвестните.

Инструкции

Методът на заместване се състои от последователно последователно едно неизвестно чрез две други и заместване на получения резултат в уравненията на системата. Нека система от три уравнения е дадена в общ вид:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Изразете x от първото уравнение: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и заместете във второто и третото уравнения, след това изразете y от второто уравнение и заместете в третото. Ще получите линеен израз за z чрез коефициентите на уравненията на системата. Сега отидете „назад“: заместете z във второто уравнение и намерете y, а след това заместете z и y в първото и решете за x. Процесът обикновено е показан на фигурата преди намирането на z. По-нататъшното писане в обща форма ще бъде твърде тромаво; на практика можете лесно да намерите и трите неизвестни чрез заместване.

Методът на Cramer се състои от конструиране на системна матрица и изчисляване на детерминантата на тази матрица, както и още три помощни матрици. Матрицата на системата е съставена от коефициенти за неизвестните членове на уравненията. Колона, съдържаща числата от дясната страна на уравненията, колона от дясната страна. Не се използва в системата, но се използва при решаване на системата.

Видео по темата

Забележка

Всички уравнения в системата трябва да предоставят допълнителна информация, независима от други уравнения. В противен случай системата ще бъде недоопределена и няма да може да се намери еднозначно решение.

Полезен съвет

След като решите системата от уравнения, заменете намерените стойности в оригиналната система и проверете дали те отговарят на всички уравнения.

От само себе си уравнениетос три неизвестенима много решения, така че най-често се допълва от още две уравнения или условия. От това какви са първоначалните данни до голяма степен ще зависи и ходът на решението.

Ще имаш нужда

- система от три уравнения с три неизвестни.

Инструкции

Ако две от трите системи имат само две от трите неизвестни, опитайте се да изразите някои променливи по отношение на другите и да ги замените в уравнениетос три неизвестен. Вашата цел в този случай е да го превърнете в нормално уравнениетос непознат човек. Ако това е, по-нататъшното решение е съвсем просто - заместете намерената стойност в други уравнения и намерете всички останали неизвестни.

Някои системи от уравнения могат да бъдат извадени от едно уравнение с друго. Вижте дали е възможно да умножите едно от или променлива, така че две неизвестни да бъдат анулирани наведнъж. Ако има такава възможност, най-вероятно се възползвайте от нея, последващото решение няма да бъде трудно; Не забравяйте, че когато умножавате по число, трябва да умножите както лявата, така и дясната страна. По същия начин, когато изваждате уравнения, трябва да запомните, че дясната страна също трябва да се извади.

Ако предишните методи не помогнаха, използвайте по общ начинрешения на всякакви уравнения с три неизвестен. За да направите това, пренапишете уравненията във формата a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Сега създайте матрица от коефициенти за x (A), матрица от неизвестни (X) и матрица от свободни (B). Моля, имайте предвид, че като умножите матрицата на коефициентите по матрицата на неизвестните, ще получите матрица на свободните членове, тоест A*X=B.

Намерете матрицата A на степен (-1), като първо намерите , имайте предвид, че тя не трябва да е равна на нула. След това умножете получената матрица по матрица B, в резултат на което ще получите желаната матрица X, посочваща всички стойности.

Можете също така да намерите решение на система от три уравнения, като използвате метода на Крамър. За да направите това, намерете детерминантата от трети ред ∆, съответстваща на системната матрица. След това последователно намерете още три детерминанти ∆1, ∆2 и ∆3, замествайки стойностите на свободните членове вместо стойностите на съответните колони. Сега намерете x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

източници:

решения на уравнения с три неизвестни

Когато започнете да решавате система от уравнения, разберете какъв вид уравнения са те. Методите за решаване на линейни уравнения са проучени доста добре. Нелинейните уравнения най-често не се решават. Има само един частен случай, всеки от които е практически индивидуален. Следователно изучаването на техниките за решаване трябва да започне с линейни уравнения. Такива уравнения могат дори да бъдат решени чисто алгоритмично.

знаменателите на намерените неизвестни са абсолютно еднакви. Да, и числителите показват някои модели в тяхната конструкция. Ако измерението на системата от уравнения беше по-голямо от две, тогава методът на елиминиране би довел до много тромави изчисления. За избягването им са разработени чисто алгоритмични решения. Най-простият от тях е алгоритъмът на Крамър (формули на Крамър). Защото трябва да разберете обща системауравнения от n уравнения.

Система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни има формата (виж Фиг. 1а). В него аij са коефициентите на системата,
xj – неизвестни, bi – свободни членове (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Такава система може да бъде записана компактно в матрична форма AX=B. Тук A е матрицата на коефициентите на системата, X е матрицата на колоната на неизвестните, B е матрицата на колоната на свободните членове (виж Фигура 1b). Съгласно метода на Cramer всяко неизвестно xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Детерминантата ∆ на матрицата на коефициента се нарича основна, а ∆i спомагателна. За всяко неизвестно, спомагателният детерминант се намира чрез замяна на i-тата колона на основния детерминант с колона от свободни членове. Методът на Крамер за случая на системи от втори и трети ред е представен подробно на фиг. 2.

Системата е комбинация от две или повече равенства, всяко от които съдържа две или повече неизвестни. Има два основни начина за решаване на системи от линейни уравнения, които се използват в рамките училищна програма. Единият от тях се нарича метод, другият - метод на добавяне.

Стандартна форма на система от две уравнения

При стандартна формапървото уравнение има формата a1*x+b1*y=c1, второто уравнение има формата a2*x+b2*y=c2 и т.н. Например, в случай на две части на системата, и двете дадени a1, a2, b1, b2, c1, c2 са някои числени коефициенти, представени в конкретни уравнения. На свой ред x и y представляват неизвестни, чиито стойности трябва да бъдат определени. Необходимите стойности превръщат двете уравнения едновременно в истински равенства.

Решаване на системата чрез метода на събиране

За да разрешите системата, тоест да намерите тези стойности на x и y, които ще ги превърнат в истински равенства, трябва да предприемете няколко прости стъпки. Първият от тях е да се преобразува едно от уравненията, така че числовите коефициенти за променливата x или y в двете уравнения да са еднакви по величина, но различни по знак.

Да предположим например, че е дадена система, състояща се от две уравнения. Първият от тях има формата 2x+4y=8, вторият има формата 6x+2y=6. Един от вариантите за изпълнение на задачата е второто уравнение да се умножи с коефициент -2, което ще го доведе до вида -12x-4y=-12. Правилният избор на коефициент е една от ключовите задачи в процеса на решаване на система с помощта на метода на добавяне, тъй като определя целия по-нататъшен ход на процедурата за намиране на неизвестни.

Сега е необходимо да съберем двете уравнения на системата. Очевидно взаимното унищожаване на променливи с равни по стойност коефициенти, но противоположни по знак ще доведе до формата -10x=-4. След това е необходимо да се реши това просто уравнение, от което ясно следва, че x = 0,4.

Последната стъпкав процеса на решаване е заместването на намерената стойност на една от променливите във всяко от първоначалните равенства, налични в системата. Например, замествайки x=0,4 в първото уравнение, можете да получите израза 2*0,4+4y=8, от който y=1,8. Така x=0,4 и y=1,8 са корените на примерната система.

За да сте сигурни, че корените са намерени правилно, е полезно да проверите чрез заместване на намерените стойности във второто уравнение на системата. Например в в такъв случайполучаваме равенство от формата 0,4*6+1,8*2=6, което е вярно.

Видео по темата

Материалът в тази статия е предназначен за първо запознаване със системи от уравнения. Тук ще въведем определението за система от уравнения и нейните решения, а също така ще разгледаме най-често срещаните видове системи от уравнения. Както обикновено, ще дадем обяснителни примери.

Навигация в страницата.

Какво е система от уравнения?

Ще подходим към дефинирането на системата от уравнения постепенно. Първо, нека просто кажем, че е удобно да го дадете, като посочите две точки: първо, вида на записа и, второ, значението, вложено в този запис. Нека ги разгледаме последователно и след това обобщим разсъжденията в дефиницията на системи от уравнения.

Нека да има няколко от тях пред нас. Например, нека вземем две уравнения 2 x+y=−3 и x=5. Нека ги напишем един под друг и ги комбинираме отляво с къдрава скоба:

Записи от този тип, които представляват няколко уравнения, подредени в колона и обединени отляво с къдрава скоба, са записи на системи от уравнения.

Какво означават подобни записи? Те определят множеството от всички такива решения на уравненията на системата, които са решение на всяко уравнение.

Няма да е зле да го опишем с други думи. Да кажем, че някои решения на първото уравнение са решения на всички останали уравнения на системата. Така че системният запис означава само тях.

Сега сме готови да приемем адекватно дефиницията на система от уравнения.

Определение.

Системи уравнениязаписи на повиквания, които са уравнения, разположени едно под друго, обединени отляво с къдрава скоба, които обозначават множеството от всички решения на уравнения, които са и решения на всяко уравнение на системата.

Подобна дефиниция е дадена и в учебника, но там е дадена не за общия случай, а за две рационални уравнения с две променливи.

Основни видове

Ясно е, че има безкраен брой различни уравнения. Естествено, има и безкраен брой системи от уравнения, съставени с тях. Следователно, за удобство при изучаване и работа със системи от уравнения, има смисъл да ги разделим на групи според подобни характеристики и след това да преминем към разглеждане на системи от уравнения от отделни типове.

Първото разделение се предполага от броя на уравненията, включени в системата. Ако има две уравнения, тогава можем да кажем, че имаме система от две уравнения, ако има три, тогава система от три уравнения и т.н. Ясно е, че няма смисъл да говорим за система от едно уравнение, тъй като в този случай по същество имаме работа със самото уравнение, а не със системата.

Следващото разделение се основава на броя на променливите, участващи в записването на уравненията на системата. Ако има една променлива, тогава имаме работа със система от уравнения с една променлива (казват и с едно неизвестно), ако има две, тогава със система от уравнения с две променливи (с две неизвестни) и т.н. Например, е система от уравнения с две променливи x и y.

Това се отнася до броя на всички различни променливи, включени в записа. Не е необходимо всички да бъдат включени в записа на всяко уравнение наведнъж; присъствието им в поне едно уравнение е достатъчно. напр. е система от уравнения с три променливи x, y и z. В първото уравнение променливата x присъства изрично, а y и z са неявни (можем да приемем, че тези променливи имат нула), а във второто уравнение има x и z, но променливата y не е изрично представена. С други думи, първото уравнение може да се разглежда като , а вторият – като x+0·y−3·z=0.

Третата точка, по която системите от уравнения се различават, е типът на самите уравнения.

В училище изучаването на системи от уравнения започва с системи от две линейни уравнения с две променливи. Тоест такива системи представляват две линейни уравнения. Ето няколко примера: И . Научават основите на работа със системи от уравнения.

Когато решавате повече сложни задачиМожете също така да срещнете системи от три линейни уравнения с три неизвестни.

По-нататък в 9-ти клас към системи от две уравнения с две променливи се добавят нелинейни уравнения, предимно цели уравнения от втора степен, по-рядко - повече високи градуси. Тези системи се наричат системи от нелинейни уравнения; ако е необходимо, се посочва броят на уравненията и неизвестните. Нека покажем примери за такива системи от нелинейни уравнения: И .

И тогава в системите също има, например, . Обикновено те се наричат просто системи от уравнения, без да се уточнява кои уравнения. Тук си струва да се отбележи, че най-често системата от уравнения се нарича просто „система от уравнения“ и се добавят пояснения само ако е необходимо.

В гимназията, докато се изучава материалът, ирационалните, тригонометричните, логаритмичните и експоненциалните уравнения проникват в системите: , , .

Ако погледнем още по-навътре в учебната програма за първа година на университета, основният акцент е върху изучаването и решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), тоест уравнения, в които лявата страна съдържа полиноми от първа степен, а дясната страна съдържа определени числа. Но там, за разлика от училище, вече не се вземат две линейни уравнения с две променливи, а произволен брой уравнения с произволен брой променливи, който често не съвпада с броя на уравненията.

Какво е решението на система от уравнения?

Терминът „решение на система от уравнения“ директно се отнася до системи от уравнения. В училище се дава определението за решаване на система от уравнения с две променливи :

Определение.

Решаване на система от уравнения с две променливисе нарича двойка стойности на тези променливи, която превръща всяко уравнение на системата в правилно, с други думи, е решение на всяко уравнение на системата.

Например, двойка променливи стойности x=5, y=2 (може да се запише като (5, 2)) е решение на система от уравнения по дефиниция, тъй като уравненията на системата, когато x= 5, y=2 се заместват в тях, се превръщат в правилни числени равенства съответно 5+2=7 и 5−2=3. Но двойката стойности x=3, y=0 не е решение на тази система, тъй като при заместването на тези стойности в уравненията, първата от тях ще се превърне в неправилното равенство 3+0=7.

Подобни определения могат да бъдат формулирани както за системи с една променлива, така и за системи с три, четири и т.н. променливи.

Определение.

Решаване на система от уравнения с една променливаще има стойност на променливата, която е коренът на всички уравнения на системата, тоест превръща всички уравнения в правилни числени равенства.

Да дадем пример. Да разгледаме система от уравнения с една променлива t от формата . Числото −2 е неговото решение, тъй като и двете (−2) 2 =4 и 5·(−2+2)=0 са истински числени равенства. И t=1 не е решение на системата, тъй като заместването на тази стойност ще даде две неправилни равенства 1 2 =4 и 5·(1+2)=0.

Определение.

Решаване на система с три, четири и т.н. променливинаречен три, четири и т.н. стойности на променливите, съответно, превръщайки всички уравнения на системата в истински равенства.

Така че, по дефиниция, тройка от стойности на променливите x=1, y=2, z=0 е решение на системата , тъй като 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3 са верни числени равенства. И (1, 0, 5) не е решение на тази система, тъй като при заместване на тези стойности на променливи в уравненията на системата, второто от тях се превръща в неправилно равенство 5·0=10, а третото също 1+0+5=3.

Имайте предвид, че системите от уравнения може да нямат решения, може да имат краен брой решения, например едно, две, ..., или може да имат безкрайно много решения. Ще видите това, като се задълбочите в темата.

Като вземем предвид дефинициите на система от уравнения и техните решения, можем да заключим, че решението на система от уравнения е пресечната точка на множествата от решения на всички нейни уравнения.

В заключение, ето няколко свързани определения:

Определение.

неставни, ако няма решения, в противен случай системата се извиква става.

Определение.

Системата от уравнения се нарича несигурен, ако има безкрайно много решения, и определени, ако има краен брой решения или изобщо ги няма.

Тези термини се въвеждат например в учебник, но се използват доста рядко в училище, по-често се чуват във висшите учебни заведения.

Библиография.

Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А. Г.Алгебра и начала математически анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователните институции ( ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
А. Г. Курош. Курс по висша алгебра.
Илин В. А., Позняк Е. Г. Аналитична геометрия:Учебник: За ВУЗ. – 5-то изд. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 с. – (Курс по висша математика и математическа физика). – ISBN 5-02-015234 – X (Брой 3)

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
изучаване на теорията на избрания метод,
решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробни решения на типични примери и проблеми.

Кратко описание на материала на статията.

Първо нека дадем всичко необходими определения, понятия и въвеждане на обозначения.

След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, ще се съсредоточим върху метода на Крамър, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът за последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това ще преминем към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения общ изглед, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е единична. Нека формулираме теоремата на Кронекер-Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (ако са съвместими), използвайки концепцията за базисен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как да пишем общо решение SLAE, използвайки вектори на системата от фундаментални решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение ще разгледаме системи от уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни, както и различни проблеми, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - безплатни термини (също реални или комплексни числа).

Тази форма на запис SLAE се нарича координирам.

IN матрична формаписането на тази система от уравнения има формата,
Където - основната матрица на системата, - колонна матрица от неизвестни променливи, - колонна матрица от свободни членове.

Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадени стойности на неизвестните променливи също става идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.

Ако система от уравнения няма решения, тогава тя се нарича неставни.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава – несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на уравненията на една система е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равна на нула, тогава такива SLAE ще се наричат елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназия. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват с помощта на формулите на метода на Cramer като . Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения с помощта на метода на Крамер.

Пример.

Методът на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим неговата детерминанта (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър.

Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти (получаваме детерминантата, като заменим първата колона в матрица A с колона със свободни членове, детерминантата, като заменим втората колона с колона със свободни членове и като заменим третата колона на матрица A с колона със свободни членове) :

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминанти, когато броят на уравненията в системата е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратна матрица).

Нека система от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , матрица A е обратима, т.е. има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по лявата, получаваме формула за намиране на матрица-колона от неизвестни променливи. Ето как получихме решение на система от линейни алгебрични уравнения, използвайки матричния метод.

Пример.

Решете система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши с помощта на матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични добавки на елементи от матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица-колона от безплатни членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от трети.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои от последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато остане само неизвестната променлива x n в последното уравнение. Този процес на трансформиране на системни уравнения за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на предния ход на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност от предпоследното уравнение, x n-1 се изчислява и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и .

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .

Пример.

Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете страни на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега елиминираме x 2 от третото уравнение, като добавим към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени по:

Това завършва предния ход на метода на Гаус;

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме оставащата неизвестна променлива и по този начин завършваме обратния метод на Гаус.

Отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Като цяло броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и сингулярна.

Теорема на Кронекер–Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога неконсистентен е даден от Теорема на Кронекер–Капели:
За да бъде последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица, т.е. , ранг(A)=ранг(T).

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред, граничещи с него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е равен на две.

На свой ред, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът е от трети ред

различен от нула.

По този начин, Rang(A), следователно, използвайки теоремата на Kronecker–Capelli, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Системата няма решения.

И така, научихме се да установяваме несъответствието на система, използвайки теоремата на Кронекер–Капели.

Но как да се намери решение за SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базис минор на матрица и теорема за ранга на матрица.

Нарича се минорът от най-високия порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От определението за базис минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора;

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е равен на r, тогава всички елементи от ред (и колона) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез елементи от съответния ред (и колона), образуващи основата минор.

Какво ни казва теоремата за ранга на матрицата?

Ако съгласно теоремата на Кронекер–Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не формират избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след изхвърляне на ненужните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът е от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети порядък е нула

и минорът от втори ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер–Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основа минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:

Третото уравнение на системата не участва във формирането на базисния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:

Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим с помощта на метода на Cramer:

Отговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако броят на уравненията r в получения SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава от лявата страна на уравненията оставяме членовете, които формират основата, второстепенни, и прехвърляме останалите членове в десните страни на уравнения на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (r от тях), останали от лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r части), които са от дясната страна Безплатно.

Сега вярваме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE с помощта на метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Нека го разгледаме с пример.

Пример.

Решете система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Нека намерим ранга на основната матрица на системата по метода на граничещи непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, граничещ с този минор:

Ето как намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:

По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Вземаме намерения ненулев минор от трети ред като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:

Оставяме членовете, включени в базисния минор от лявата страна на системните уравнения, и прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна:

Нека дадем произволни стойности на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5, тоест приемаме , където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата

Нека решим получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Крамер:

Следователно, .

В отговора си не забравяйте да посочите свободни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде са произволните числа.

Обобщете.

За да решим система от общи линейни алгебрични уравнения, първо определяме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер–Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме базов минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания базов минор.

Ако редът на осн равно на числотонеизвестни променливи, тогава SLAE има уникално решение, което намираме по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на системните уравнения оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в десните страни и даваме произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи, като използваме метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да бъдат тествани за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От изчислителна гледна точка методът на Гаус е за предпочитане.

Внимавай Подробно описаниеи анализирани примери в статията методът на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Писане на общо решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на фундаменталната система от решения.

В този раздел ще говорим за едновременни хомогенни и нееднородни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система от решенияхомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е колекция от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако означим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колонни матрици с размерност n чрез 1), тогава общото решение на тази хомогенна система е представено като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата задава всичко възможни решенияоригиналния SLAE, с други думи, като вземем произволен набор от стойности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), съгласно формулата ще получим едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да дефинираме всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения на хомогенна SLAE.

Избираме базисния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, в дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем безплатни неизвестни променливи стойности 1,0,0,…,0 и изчислете основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по произволен начин, например, като използвате метода на Крамер. Това ще доведе до X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, получаваме X (2) . И така нататък. Ако присвоим стойностите 0.0,...,0.1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r) . По този начин ще бъде конструирана фундаментална система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение е представено във формата , където е общото решение на съответната хомогенна система, а е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, която получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите 0,0,...,0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на основната матрица, като използваме метода на граничещите второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемент a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Нека намерим граничния ненулев минор от втори ред:

Намерен е минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички граничещи непълнолетни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е равен на две. Да вземем. За яснота нека отбележим елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни отдясно:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи и редът на неговия основен минор е равен на две. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Решете систематас две неизвестни - това означава намиране на всички двойки променливи стойности, които удовлетворяват всяко от дадените уравнения. Всяка такава двойка се нарича системно решение.

Пример:
Двойката стойности $x=3$;$y=-1$ е решение на първата система, защото при заместване на тези тройки и минус единици в системата вместо $x$ и \ (y\), двете уравнения ще се превърнат в правилните равенства $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( случаи)$

Но $x=1$; $y=-2$ - не е решение на първата система, защото след заместване второто уравнение "не се сближава" $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)$

Имайте предвид, че такива двойки често се пишат по-кратко: вместо "$x=3$; $y=-1$" те пишат така: $(3;-1)$.

Как се решава система от линейни уравнения?

Има три основни начина за решаване на системи от линейни уравнения:

Метод на заместване.

$\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)$$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

Заместете получения израз вместо тази променлива в друго уравнение на системата.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)$

Във второто уравнение всеки член е четен, така че опростяваме уравнението, като го разделим на $2$.

$\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)$

Тази система може да бъде решена по всеки от следните начини, но ми се струва, че методът на заместване е най-удобен тук. Нека изразим y от второто уравнение.

$\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)$

Нека заместим $6x-13$ вместо $y$ в първото уравнение.

$\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)$

Първото уравнение се превърна в обикновено. Нека го решим.

Първо, нека отворим скобите.

$\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)$

Нека преместим $117$ надясно и представим подобни термини.

$\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)$

Нека разделим двете страни на първото уравнение на $67$.

$\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)$

Ура, намерихме $x$! Нека заместим стойността му във второто уравнение и да намерим $y$.

$\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)$$\Leftrightarrow$$\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )$

Нека запишем отговора.

С това видео започвам поредица от уроци, посветени на системите от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавяне- това е един от най прости начини, но в същото време един от най-ефективните.

Методът на добавяне се състои от три простистъпки:

Погледнете системата и изберете променлива, която има еднакви (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
Извършете алгебрично изваждане (за противоположни числа - събиране) на уравнения едно от друго и след това приведете подобни членове;
Решете новото уравнение, получено след втората стъпка.

Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- няма да е трудно да го разрешите. След това всичко, което остава, е да замените намерения корен в оригиналната система и да получите крайния отговор.

На практика обаче всичко не е толкова просто. Има няколко причини за това:

Решаването на уравнения чрез метода на събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви/противоположни коефициенти. Какво да направите, ако това изискване не е изпълнено?
Не винаги след добавяне/изваждане на уравнения по посочения начин получаваме красив дизайн, което лесно се решава. Възможно ли е по някакъв начин да се опростят изчисленията и да се ускорят изчисленията?

За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да разберете няколко допълнителни тънкости, които много ученици не успяват, гледайте моя видео урок:

С този урок започваме поредица от лекции, посветени на системите от уравнения. И ще започнем от най-простите от тях, а именно тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.

Системите са материал за 7 клас, но този урок ще бъде полезен и за гимназисти, които искат да освежат знанията си по тази тема.

Като цяло има два метода за решаване на такива системи:

Метод на добавяне;
Метод за изразяване на една променлива чрез друга.

Днес ще се занимаваме с първия метод - ще използваме метода на изваждане и събиране. Но за да направите това, трябва да разберете следния факт: след като имате две или повече уравнения, можете да вземете произволни две от тях и да ги добавите едно към друго. Те се добавят член по член, т.е. „X“ се добавят към „X“ и се дават подобни, „Y“ с „Y“ отново са подобни и това, което е отдясно на знака за равенство, също се добавя едно към друго и там също се дават подобни .

Резултатите от подобни машинации ще бъдат ново уравнение, което, ако има корени, те със сигурност ще бъдат сред корените на първоначалното уравнение. Следователно, нашата задача е да направим изваждането или събирането по такъв начин, че $x$ или $y$ да изчезнат.

Как да постигнете това и какъв инструмент да използвате за това - ще говорим за това сега.

Решаване на лесни задачи чрез събиране

И така, ние се научаваме да използваме метода на добавяне, използвайки примера на два прости израза.

Задача No1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Обърнете внимание, че $y$ има коефициент $-4$ в първото уравнение и $+4$ във второто. Те са взаимно противоположни, така че е логично да се предположи, че ако ги съберем, тогава в получения сбор „игрите“ ще бъдат взаимно унищожени. Добавете го и получете:

Нека решим най-простата конструкция:

Страхотно, намерихме "x". Какво да правим с него сега? Имаме право да го заместим във всяко от уравненията. Нека заместим в първия:

\[-4y=12\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

Отговор: $\left(2;-3 \right)$.

Проблем No2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Ситуацията тук е напълно подобна, само с „Х“. Нека ги съберем:

Имаме най-простото линейно уравнение, нека го решим:

Сега нека намерим $x$:

Отговор: $\left(-3;3 \right)$.

Важни точки

И така, току-що решихме две прости системи от линейни уравнения, използвайки метода на събиране. Отново ключови точки:

Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
Заместваме намерената променлива във всяко от уравненията на системата, за да намерим второто.
Крайният запис на отговор може да бъде представен по различни начини. Например така - $x=...,y=...$, или под формата на координати на точки - $\left(...;... \right)$. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните е, че първата координата е $x$, а втората е $y$.
Правилото за записване на отговора под формата на координати на точка не винаги е приложимо. Например, не може да се използва, когато променливите не са $x$ и $y$, а например $a$ и $b$.

В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.

Решаване на лесни задачи чрез метода на изваждане

Задача No1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто от първото уравнение:

Сега заместваме стойността $x$ в което и да е от уравненията на системата. Хайде първо:

Отговор: $\left(2;5\right)$.

Проблем No2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Отново виждаме същия коефициент от $5$ за $x$ в първото и второто уравнение. Следователно е логично да приемем, че трябва да извадите второто от първото уравнение:

Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втората, например, като заместим стойността $y$ във втората конструкция:

Отговор: $\left(-3;-2 \right)$.

Нюанси на решението

И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишните системи. Единствената разлика е, че не събираме уравнения, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.

С други думи, веднага щом видите система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако някъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се използва методът на събиране. Това винаги се прави така, че една от тях да изчезне и в крайното уравнение, което остава след изваждане, остава само една променлива.

Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са противоречиви. Тези. В тях няма променливи, които да са еднакви или противоположни. В този случай за решаване на такива системи се използва допълнителна техника, а именно умножаване на всяко от уравненията със специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, ще говорим за това сега.

Решаване на задачи чрез умножение с коефициент

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Виждаме, че нито за $x$, нито за $y$ коефициентите са не само взаимно противоположни, но и по никакъв начин не корелират с другото уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавяме или изваждаме уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $y$. За да направим това, умножаваме първото уравнение по коефициента на $y$ от второто уравнение и второто уравнение по коефициента на $y$ от първото уравнение, без да докосваме знака. Умножаваме и получаваме нова система:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Нека го разгледаме: при $y$ коефициентите са противоположни. В такава ситуация е необходимо да се използва методът на добавяне. Нека добавим:

Сега трябва да намерим $y$. За да направите това, заместете $x$ в първия израз:

\[-9y=18\наляво| :\left(-9 \right) \right.\]

Отговор: $\left(4;-2 \right)$.

Пример №2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Отново, коефициентите за нито една от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите на $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Нашата нова система е еквивалентна на предишната, но коефициентите на $y$ са взаимно противоположни и затова е лесно да се приложи методът на добавяне тук:

Сега нека намерим $y$, като заместим $x$ в първото уравнение:

Отговор: $\left(-2;1 \right)$.

Нюанси на решението

Основното правило тук е следното: винаги умножаваме само по положителни числа- това ще ви спести от глупави и обидни грешки, свързани със смяна на знаци. Като цяло схемата на решение е доста проста:

Ние разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
Ако видим, че нито $y$, нито $x$ коефициентите са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която трябва да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите на тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто, а второто, съответно, умножим по коефициента от първото, тогава в крайна сметка ще получим система, която е напълно еквивалентна на предишната, и коефициентите на $ y$ ще бъде последователен. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
Намираме една променлива.
Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
Записваме отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $x$ и $y$.

Но дори такъв прост алгоритъм има своите тънкости, например коефициентите на $x$ или $y$ могат да бъдат дроби и други „грозни“ числа. Сега ще разгледаме тези случаи отделно, защото в тях можете да действате малко по-различно от стандартния алгоритъм.

Решаване на задачи с дроби

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Първо, забележете, че второто уравнение съдържа дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4$ на $0,8$. Ще получим $5$. Нека умножим второто уравнение по $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме уравненията едно от друго:

Намерихме $n$, сега нека преброим $m$:

Отговор: $n=-4;m=5$

Пример №2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ точно.\]

Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, но за нито една от променливите коефициентите не се вписват един в друг цял брой пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Използваме метода на изваждане:

Нека намерим $p$, като заместим $k$ във втората конструкция:

Отговор: $p=-4;k=-2$.

Нюанси на решението

Това е цялата оптимизация. В първото уравнение не умножихме по нищо, но умножихме второто уравнение по $5$. В резултат на това получихме последователно и дори идентично уравнение за първата променлива. Във втората система следвахме стандартен алгоритъм.

Но как да намерите числата, по които да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножим по дроби, получаваме нови дроби. Следователно дробите трябва да бъдат умножени по число, което би дало ново цяло число, а след това променливите трябва да бъдат умножени по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.

В заключение бих искал да обърна внимание на формата за записване на отговора. Както вече казах, тъй като тук нямаме $x$ и $y$, а други стойности, използваме нестандартна нотация на формата:

Решаване на сложни системи от уравнения

Като последна бележка към днешния видео урок, нека да разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои в това, че те ще имат променливи както отляво, така и отдясно. Следователно, за да ги разрешим, ще трябва да приложим предварителна обработка.

Система №1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Всяко уравнение носи определена сложност. Следователно, нека третираме всеки израз като с правилна линейна конструкция.

Като цяло получаваме крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Нека да разгледаме коефициентите на $y$: $3$ се вписва в $6$ два пъти, така че нека умножим първото уравнение по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Коефициентите на $y$ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$

Сега нека намерим $y$:

Отговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система №2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Нека трансформираме първия израз:

Нека се заемем с второто:

\[-3\вляво(b-2a \вдясно)-12=2\вляво(a-5 \вдясно)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Като цяло нашата първоначална система ще приеме следната форма:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Разглеждайки коефициентите на $a$, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Извадете втората от първата конструкция:

Сега нека намерим $a$:

Отговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Това е всичко. Надявам се този видео урок да ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. Ще има още много уроци по тази тема: ще разгледаме още сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения вече ще бъдат нелинейни. Ще се видим отново!