Където
са реални числа и - специален символ, наречен имагинерна единица . За въображаема единица по дефиниция се приема, че
.

(4.1) – алгебрична форма комплексно число и
Наречен реална част комплексно число и
-въображаема част .

Номер
Наречен комплексно спрегнат към номера
.

Нека са дадени две комплексни числа
,
.

1. Количество
комплексни числа И се нарича комплексно число

2. По разлика
комплексни числа И се нарича комплексно число

3. Работата
комплексни числа И се нарича комплексно число

4. Частно от деление на комплексно число към комплексно число
се нарича комплексно число

.

Забележка 4.1. Тоест операциите с комплексни числа се въвеждат според обичайните правила за аритметични операции върху буквени изрази в алгебрата.

Пример 4.1.Дадени са комплексни числа. намирам

.

Решение. 1) .

4) Умножавайки числителя и знаменателя по комплексния конюгат на знаменателя, получаваме

Тригонометрична форма комплексно число:

Където
- модул на комплексно число,
е аргументът на комплексно число. Ъгъл дефинирани нееднозначно, до термин
:

,
.

- основната стойност на аргумента, определена от условието

, (или
).

Демонстративна форма комплексно число:

.

корен
та степен на числото То има различни стойности, които се намират по формулата

,

Където
.

Точки, съответстващи на стойности
, са върховете на правилното
квадрат, вписан в окръжност с радиус
с център в началото.

Пример 4.2.Намерете всички коренни стойности
.

Решение.Нека си представим комплексно число
в тригонометрична форма:

,

, където
.

Тогава
. Следователно, съгласно формула (4.2)
има четири значения:

,
.

Вярвайки
, намираме

,
,

, .

Тук преобразувахме стойностите на аргумента в основната му стойност.

Комплекти на сложна равнина

Комплексно число
изобразен на самолет
точка
с координати
. Модул
и аргумент
съответстват на полярните координати на точката
.

Полезно е да запомните това неравенство
определя окръжност с център в точка радиус . Неравенство
определя полуравнина, разположена вдясно от правата линия
, и неравенството
- полуравнина, разположена над правата линия
. Освен това системата от неравенства
задава ъгъла между лъчите
И
, оставяйки произхода.

Пример 4.3.Начертайте областта, определена от неравенствата:
.

Решение.Първото неравенство съответства на пръстен с център в точката
и два радиуса 1 и 2, кръговете не са включени в областта (фиг. 4.1).

Второто неравенство съответства на ъгъла между лъчите
(ъглополовяща на 4-тия координатен ъгъл) и
(положителна посока на оста
). Самите лъчи не навлизат в областта (фиг. 4.2).

Желаната зона е пресечната точка на двете получени области (фиг. 4.3)

4.2. Функции на комплексна променлива

Нека еднозначната функция
определени и непрекъснати в региона
, А - частично гладка затворена или незатворена ориентирана крива, лежаща в
. Нека, както обикновено,
,, Където
,
- реални функции на променливи И .

Изчисляване на интеграла на функция
комплексна променлива се свежда до изчисляване на обичайните криволинейни интеграли, а именно

.

Ако функцията
аналитично в просто свързан домейн
, съдържащ точки И , тогава формулата на Нютон-Лайбниц е валидна:

,

Където
- някаква антипроизводна за функцията
, това е
в района
.

При интеграли на функции на комплексна променлива може да се направи промяна на променлива и интегрирането по части е подобно на начина, по който се прави при изчисляване на интеграли на функции на реална променлива.

Отбележете също, че ако пътят на интегриране е част от линия, излизаща от точка , или част от кръг с център в точка , тогава е полезно да направите променлива замяна на формата
. В първия случай
, А - реална интеграционна променлива; във втория случай
, А - реална интеграционна променлива.

Пример 4.4.Изчисли
чрез парабола
от точка
към основния въпрос
(Фигура 4.4).

Решение.Нека пренапишем интегранта във формата Тогава , . Нека приложим формула (4.3): защото , Че , . Ето защо

Пример 4.5.Изчислете интеграл
, Където - дъга от окръжност
,
(Фиг. 4.5) .

Решение.Да речем , Тогава , , . Получаваме:

функция
, еднозначни и аналитични в пръстена
, се разлага в този пръстен на Серия Лоран

Във формула (4.5) серията
Наречен Главна част Поредицата на Лоран и поредицата
Наречен дясната част Серия Лоран.

Определение 4.1. Точка Нареченизолирана сингулярна точка функции
, ако има околност на тази точка, в която функцията
аналитичен навсякъде, с изключение на самата точка .

функция
в близост до точка може да се разшири в серия Laurent. В този случай са възможни три различни случая, когато серията на Лоран:

1) не съдържа членове с отрицателна степен на разлика
, това е

(Поредицата на Лоран не съдържа основната част). В такъв случай Наречен подвижна особена точка функции
;

2) съдържа краен брой членове с отрицателни степени на разлика
, това е

,

и
. В този случай точката Наречен полюс на реда функции
;

3) съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени:

.

В този случай точката Наречен по същество специална точка функции
.

Когато се определя характерът на изолирана особена точка, не е необходимо да се търси разширение в ред на Лоран. Можете да използвате различни свойства на изолирани особени точки.

1) е подвижна особена точка на функцията
, ако има краен лимит на функцията
в точката :

.

2) е полюсът на функцията
, Ако

.

3) е по същество особена точка на функцията
, ако при
функцията няма ограничение, нито ограничено, нито безкрайно.

Определение 4.2. Точка Нареченнула
първа поръчка (или множественост ) функции
, ако са изпълнени следните условия:

…,

.

Забележка 4.2. Точка ако и само ако е нула
първа поръчка функции
, когато в някаква околност на тази точка е изпълнено равенството

,

къде е функцията
аналитичен в даден момент И

4) точка е полюсът на реда (
) функции
, ако тази точка е от нулев ред за функция
.

5) нека - изолирана особена точка на функция
, Където
- аналитични функции в точка . И нека точката е нулев порядък функции
и нулев ред функции
.

При
точка е полюсът на реда
функции
.

При
точка е подвижна особена точка на функцията
.

Пример 4.6.Намерете изолирани точки и определете техния тип за функция
.

Решение.Функции
И
- аналитичен в цялата комплексна равнина. Това означава, че сингулярните точки на функцията
са нулите на знаменателя, т.е. точките, където
. Има безкрайно много такива точки. На първо място, това е смисълът
, както и точки, удовлетворяващи уравнението
. Оттук
И
.

Помислете за точката
. В този момент получаваме:

,
,

,
.

Нулевият ред е
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

И така, точка
е полюс от втори ред (
).

. Тогава

,
.

Редът на нулевия числител е
.

,
,
.

Нулевият ред на знаменателя е
. Следователно, точките
при
са полюси от първи ред ( прости стълбове ).

Теорема 4.1. (Теорема на Коши за остатъците ). Ако функцията
е аналитичен на границата регион
и навсякъде в областта, с изключение на краен брой сингулярни точки
, Че

.

Когато изчислявате интеграли, си струва внимателно да намерите всички сингулярни точки на функцията
, след това начертайте контура и особените точки и след това изберете само онези точки, които попадат в интеграционния контур. Правенето на правилния избор без снимка често е трудно.

Метод за изчисляване на приспадането
зависи от вида на сингулярната точка. Следователно, преди да изчислите остатъка, трябва да определите вида на особената точка.

1) остатък на функция в точка равен на коефициента за минус първа степен в разширението на Лоран
в близост до точка :

.

Това твърдение е вярно за всички видове изолирани точки и следователно в този случай не е необходимо да се определя вида на особена точка.

2) остатъкът в подвижна особена точка е равен на нула.

3) ако е прост полюс (полюс от първи ред), а функцията
могат да бъдат представени във формата
, Където
,
(имайте предвид, че в този случай
), след това остатъкът в точката равно на

.

По-специално, ако
, Че
.

4) ако - тогава прост стълб

5) ако - стълб
функция на реда
, Че

Пример 4.7.Изчислете интеграл
.

Решение.Намиране на особени точки на подинтегралната функция . функция има две особени точки И Вътре в контура попада само точка (фиг. 4.6). Точка - полюс от втори ред, тъй като е нула на кратно 2 за функцията .

След това, използвайки формула (4.7), намираме остатъка в тази точка:

По теорема 4.1 намираме

Федерална агенция за образование

___________________________________

Държава Санкт Петербург

Електротехнически университет "ЛЕТИ"

_______________________________________

Теория на функциите на комплексна променлива

Насоки

на практически занятия

във висшата математика

Санкт Петербург

Издателство SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: Методически указания за решаване на задачи / съставители: V.G.Dyumin, N.N.Sosnovsky, St.

Одобрено

Редакционно-издателски съвет на университета

като методически указания

© SPbSETU "LETI", 2010

Функциите на комплексна променлива, в общия случай, се различават от картографирането на реалната равнина
само по себе си само чрез формата на запис. Важен и изключително полезен обект е класът от функции на комплексна променлива,

имаща една и съща производна като функции на една променлива. Известно е, че функциите на няколко променливи могат да имат частични производни и производни по посока, но като правило производни по отношение на различни посокине съвпадат и не може да се говори за производна в точка. Въпреки това, за функции на комплексна променлива е възможно да се опишат условията, при които те позволяват диференциране. Изследването на свойствата на диференцируемите функции на сложна променлива е съдържанието на методическите указания. Инструкциите имат за цел да демонстрират как свойствата на такива функции могат да се използват за решаване на различни проблеми. Успешното усвояване на изложения материал е невъзможно без основни умения за изчисления с комплексни числа и познаване на най-простите геометрични обекти, дефинирани чрез неравенства, свързващи реалните и имагинерните части на комплексно число, както и неговия модул и аргумент. Обобщение на цялата информация, необходима за това, можете да намерите в насоките.

Стандартният апарат на математическия анализ: граници, производни, интеграли, редове е широко използван в текста на насоките. Там, където тези понятия имат своя специфика, в сравнение с функциите на една променлива, се дават подходящи обяснения, но в повечето случаи е достатъчно да се разделят реалните и въображаемите части и да се приложи към тях стандартния апарат на реалния анализ.

1. Елементарни функции на комплексна променлива

Естествено е да започнем обсъждане на условията за диференцируемост на функциите на комплексна променлива, като открием кои елементарни функции притежават това свойство. От очевидната връзка

От това следва, че всеки многочлен е диференцируем. И тъй като един степенен ред може да бъде диференциран термин по член в рамките на неговия кръг на конвергенция,

тогава всяка функция е диференцируема в точки, в близост до които може да бъде разширена в серия на Тейлър. Това е достатъчно условие, но, както скоро ще стане ясно, е и необходимо. Удобно е да се подпомага изучаването на функции на една променлива по отношение на тяхната производна чрез наблюдение на поведението на функционалната графика. Това не е възможно за функции на комплексна променлива. Точките на графиката лежат в пространство с размерност 4, .

Въпреки това, известно графично представяне на функцията може да се получи чрез разглеждане на изображенията на сравнително прости множества в комплексната равнина
, възникващи под влияние на дадена функция. Например, нека разгледаме няколко прости функции от тази гледна точка.

Линейна функция

Тази проста функция е много важна, тъй като всяка диференцируема функция е локално подобна на линейна. Нека разгледаме действието на функцията максимално подробно

Тук
-- модул на комплексно число И - неговият аргумент. По този начин линейната функция извършва разтягане, завъртане и транслация. Следователно линейното картографиране отвежда всяко множество към подобно множество. По-специално, под влияние на линейно картографиране, правите линии се превръщат в прави линии, а кръговете - в кръгове.

функция

Тази функция е следващата по сложност след линейната. Трудно е да се очаква, че тя ще трансформира която и да е линия в права линия, а кръг в кръг показва, че това не се случва, но може да се покаже, че тази функция трансформира множеството от всички линии и кръгове в; себе си. За да проверите това, е удобно да преминете към реалното (координатно) описание на картографирането

Доказателството изисква описание на обратното преобразуване

Разгледайте уравнението, ако
, тогава получаваме общото уравнение на правата. Ако
, Че

Следователно, когато
се получава уравнението на произволна окръжност.

Имайте предвид, че ако
И
, тогава окръжността минава през началото. Ако
И
, тогава получавате права линия, минаваща през началото.

Под действието на инверсия, разглежданото уравнение ще бъде пренаписано във формата

, (
)

или . Може да се види, че това също е уравнение, което описва или окръжности, или прави линии. Фактът, че коефициентите в уравнението И
разменени места означава, че по време на инверсия правите линии, минаващи през 0, ще се превърнат в кръгове, а кръговете, минаващи през 0, ще се превърнат в прави линии.

Силови функции

Основната разлика между тези функции и тези, обсъдени по-рано, е, че те не са едно към едно (
). Можем да кажем, че функцията
трансформира сложна равнина в две копия на една и съща равнина. Точното третиране на тази тема изисква използването на тромавия апарат на римановите повърхности и излиза извън обхвата на разглежданите тук въпроси. Важно е да се разбере, че комплексната равнина може да бъде разделена на сектори, всеки от които е картографиран едно към едно върху комплексната равнина. Това е разбивката на функцията
изглежда така. Например, горната полуравнина е нанесена едно към едно върху комплексната равнина от функцията
. Геометричните изкривявания за такива изображения са по-трудни за описание, отколкото в случай на инверсия. Като упражнение можете да проследите в какво се трансформира мрежата от правоъгълни координати на горната полуравнина при показване

Вижда се, че мрежата от правоъгълни координати се трансформира в семейство от параболи, които образуват система от криволинейни координати в равнината
. Разделянето на равнината, описано по-горе, е такова, че функцията
показва всяка от сектори по цялата равнина. Описанието на картографирането напред и назад изглежда така

Така че функцията
То има различни обратни функции,

определени в различни сектори на самолета

В такива случаи се казва, че картографирането е многолистово.

функция Жуковски

Функцията има свое име, тъй като е в основата на теорията за крилото на самолета, създадена от Жуковски (описание на този дизайн може да се намери в книгата). Функцията има редица интересни свойства, нека се съсредоточим върху едно от тях - разберете върху кои набори тази функция действа едно към едно. Помислете за равенството

, където
.

Следователно функцията на Жуковски е едно към едно във всяка област, в която за всяка И тяхното произведение не е равно на единица. Това са например отвореният единичен кръг
и допълнението на затворената единична окръжност
.

Тогава разгледайте действието на функцията на Жуковски върху окръжност

Разделяйки реалната и въображаемата част, получаваме параметричното уравнение на елипсата

,
.

Ако
, тогава тези елипси запълват цялата равнина. По подобен начин може да се провери, че изображенията на сегменти са хиперболи

.

Експоненциална функция

Функцията може да бъде разширена в степенна редица, която е абсолютно сходна в цялата комплексна равнина, следователно е диференцируема навсякъде; Нека опишем множествата, на които функцията е едно към едно. Очевидно равенство
показва, че равнината може да бъде разделена на семейство от ленти, всяка от които е нанесена едно към едно чрез функция върху цялата комплексна равнина. Този дял е от съществено значение за разбирането как работи обратната функция, по-точно обратни функции. На всяка от ивиците има естествено дефинирано обратно преобразуване

Обратната функция в този случай също е многовалентна, а броят на обратните функции е безкраен.

Геометричното описание на картографирането е доста просто: прави линии
превръщат се в лъчи
, сегменти

превръщат се в кръгове
.

Функции на комплексна променлива.
Диференциране на функции на комплексна променлива.

Тази статия започва поредица от уроци, в които ще разгледам типични задачи, свързани с теорията на функциите на комплексна променлива. За да усвоите успешно примерите, трябва да имате основни познанияотносно комплексните числа. За да консолидирате и повторите материала, просто посетете страницата. Ще ви трябват и умения за намиране частични производни от втори ред. Ето ги тези частични производни... даже сега бях малко изненадан колко често се срещат...

Темата, която започваме да разглеждаме, не представлява особени трудности и във функциите на сложна променлива по принцип всичко е ясно и достъпно. Основното нещо е да се придържаме към основното правило, което извадих експериментално. Прочетете!

Понятие за функция на комплексна променлива

Първо, нека опресним знанията си за училищната функция на една променлива:

Функция с единична променливае правило, според което на всяка стойност на независимата променлива (от областта на дефиниране) съответства една и само една стойност на функцията. Естествено, "x" и "y" са реални числа.

В сложния случай функционалната зависимост се определя по подобен начин:

Еднозначна функция на комплексна променлива- това е правилото, според което всеки изчерпателенстойността на независимата променлива (от областта на дефиницията) съответства на една и само една изчерпателенстойност на функцията. Теорията също така разглежда многозначни и някои други видове функции, но за простота ще се съсредоточа върху една дефиниция.

Каква е разликата между функция на сложна променлива?

Основната разлика: комплексни числа. Не съм ироничен. Такива въпроси често оставят хората в ступор; в края на статията ще ви разкажа една забавна история. На урока Комплексни числа за манекениразгледахме комплексно число във формата . От сега буквата "z" стана променлива, тогава ще го обозначим по следния начин: , докато „x“ и „y“ могат да приемат различни валидензначения. Грубо казано, функцията на комплексна променлива зависи от променливите и , които приемат „обикновени“ стойности. От този факт логично следва следното:

Функцията на комплексна променлива може да бъде записана като:
, където и са две функции на две валиденпроменливи.

Функцията се извиква реална частфункции
Функцията се извиква въображаема частфункции

Тоест функцията на комплексна променлива зависи от две реални функции и . За да изясним най-накрая всичко, нека да разгледаме практически примери:

Пример 1

Решение:Независимата променлива „zet“, както си спомняте, е написана във формата , следователно:

(1) Заменихме .

(2) За първия член е използвана формулата за съкратено умножение. В термина скобите са отворени.

(3) Внимателно квадрат, без да забравяме това

(4) Пренареждане на термини: първо пренаписваме термините , в който няма имагинерна единица(първа група), след това термините, където има (втора група). Трябва да се отбележи, че разбъркването на термините не е необходимо и тази стъпка може да се пропусне (като всъщност се направи устно).

(5) За втората група я изваждаме от скоби.

В резултат на това нашата функция се оказа представена във формата

Отговор:
– реална част от функцията.
– имагинерна част от функцията.

Какви функции се оказаха? Най-обикновените функции на две променливи, от които можете да намерите такива популярни частични производни. Без милост ще го намерим. Но малко по-късно.

Накратко, алгоритъмът за решаваната задача може да се напише по следния начин: заместваме , в оригиналната функция, извършваме опростявания и разделяме всички термини на две групи - без въображаема единица (реална част) и с имагинерна единица (въображаема част) .

Пример 2

Намерете реалната и имагинерната част на функцията

Това е пример за независимо решение. Преди да се втурнете в битка на сложната равнина с изтеглени пулове, позволете ми да ви дам най-доброто важен съветпо тази тема:

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!Трябва да внимавате, разбира се, навсякъде, но в сложните числа трябва да сте по-внимателни от всякога! Не забравяйте, че внимателно отворете скобите, не губете нищо. По мои наблюдения най-честата грешка е загубата на знак. Не бързай!

Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Сега кубът. Използвайки формулата за съкратено умножение, извличаме:
.

Формулите са много удобни за използване на практика, тъй като значително ускоряват процеса на решаване.

Диференциране на функции на комплексна променлива.

Имам две новини: добра и лоша. Ще започна с добрия. За функция на комплексна променлива са валидни правилата за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции. По този начин производната се взема точно по същия начин, както в случай на функция на реална променлива.

Лошата новина е, че за много сложни функции на променлива изобщо няма производна и вие трябва да разберете диференцируема ли еедна или друга функция. А „разбирането“ как се чувства сърцето ви е свързано с допълнителни проблеми.

Нека разгледаме функцията на комплексна променлива. За да бъде тази функция диференцируема е необходимо и достатъчно:

1) Така че съществуват частни производни от първи ред. Забравете за тези нотации веднага, тъй като в теорията на функциите на комплексна променлива традиционно се използва различна нотация: .

2) Да се ​​извърши т.нар Условия на Коши-Риман:

Само в този случай производното ще съществува!

Пример 3

Решениесе разделя на три последователни етапа:

1) Нека намерим реалната и имагинерната част на функцията. Тази задача беше обсъдена в предишни примери, така че ще я запиша без коментар:

От тогава:

По този начин:

– имагинерна част от функцията.

Нека засегна още една техническа точка: в какъв реднапишете условията в реалната и имагинерната част? Да, по принцип няма значение. Например реалната част може да бъде написана така: , а въображаемата – така: .

2) Да проверим изпълнението на условията на Коши-Риман. Двама са.

Нека започнем с проверка на състоянието. Намираме частични производни:

Така условието е изпълнено.

Разбира се, добрата новина е, че частичните производни почти винаги са много прости.

Проверяваме изпълнението на второто условие:

Резултатът е същият, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.

Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема.

3) Да намерим производната на функцията. Производната също е много проста и се намира по обичайните правила:

Въображаемата единица се счита за константа по време на диференцирането.

Отговор: – реална част, – въображаема част.
Условията на Коши-Риман са изпълнени, .

Има още два начина за намиране на производната, те, разбира се, се използват по-рядко, но информацията ще бъде полезна за разбирането на втория урок - Как да намерим функция на комплексна променлива?

Производната може да се намери по формулата:

IN в такъв случай:

По този начин

Трябва да решим обратната задача - в получения израз трябва да изолираме . За да направите това, е необходимо в условията и извън скобите:

Обратното действие, както мнозина са забелязали, е малко по-трудно за проверка, винаги е по-добре да вземете израза на чернова или устно да отворите скобите обратно, като се уверите, че резултатът е точен;

Огледална формула за намиране на производната:

В такъв случай: , Ето защо:

Пример 4

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Ако условията на Коши-Риман са изпълнени, намерете производната на функцията.

Кратко решение и приблизителен образец на окончателния дизайн в края на урока.

Винаги ли са изпълнени условията на Коши-Риман? Теоретично те не се изпълняват по-често, отколкото се изпълняват. Но в практически примериНе помня случай, в който те не са били изпълнени =) Така, ако вашите частични производни „не се сближават“, тогава с много голяма вероятност можете да кажете, че сте направили грешка някъде.

Нека усложним нашите функции:

Пример 5

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли

Решение:Алгоритъмът за решение е напълно запазен, но в края ще бъде добавена нова точка: намиране на производната в точка. За куба необходимата формула вече е изведена:

Нека дефинираме реалните и въображаемите части на тази функция:

Внимание и пак внимание!

От тогава:


По този начин:
– реална част от функцията;
– имагинерна част от функцията.

Проверка на второто условие:

Резултатът е същият, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.

Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема:

Нека изчислим стойността на производната в исканата точка:

Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени,

Функциите с кубчета са често срещани, така че ето пример за засилване:

Пример 6

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли.

Решение и пример за завършване в края на урока.

На теория цялостен анализДефинират се и други функции на сложен аргумент: експонента, синус, косинус и др. Тези функции имат необичайни и дори странни свойства - и това е наистина интересно! Наистина искам да ви кажа, но тук, както се случва, не е справочник или учебник, а книга с решения, така че ще разгледам същия проблем с някои общи функции.

Първо за т.нар Формули на Ойлер:

За всеки валиденчисла, валидни са следните формули:

Можете също да го копирате в бележника си като справочен материал.

Строго погледнато, има само една формула, но обикновено за удобство пишат и специален случай с минус в степента. Параметърът не трябва да бъде една буква; той може да бъде сложен израз или функция, важно е само те да приемат само валидензначения. Всъщност ще видим това точно сега:

Пример 7

Намерете производната.

Решение:Генералната линия на партията остава непоклатима - необходимо е да се разграничат реалната и мнимата част на функцията. Ще дам подробно решение и ще коментирам всяка стъпка по-долу:

От тогава:

(1) Вместо това заменете „z“.

(2) След заместването трябва да изберете реалните и въображаемите части първи в индикатораизложители. За да направите това, отворете скобите.

(3) Групираме имагинерната част на индикатора, като поставяме имагинерната единица извън скоби.

(4) Използваме училищното действие със степени.

(5) За множителя използваме формулата на Ойлер и .

(6) Отворете скобите, което води до:

– реална част от функцията;
– имагинерна част от функцията.

По-нататъшните действия са стандартни, нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман:

Пример 9

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Така да бъде, няма да намерим производното.

Решение:Алгоритъмът за решение е много подобен на предишните два примера, но има много важни точки, Ето защо Първи етапЩе коментирам отново стъпка по стъпка:

От тогава:

1) Заменете „z“ вместо това.

(2) Първо избираме реалните и въображаемите части вътре в синуса. За тези цели отваряме скобите.

(3) Използваме формулата и .

(4) Използвайте четност на хиперболичен косинус: И странност на хиперболичен синус: . Хиперболите, макар и извън този свят, в много отношения напомнят подобни тригонометрични функции.

В крайна сметка:
– реална част от функцията;
– имагинерна част от функцията.

внимание!Знакът минус се отнася за имагинерната част и в никакъв случай не трябва да я губим! За визуална илюстрацияГорният резултат може да бъде пренаписан, както следва:

Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман:

Условията на Коши-Риман са изпълнени.

Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени.

Дами и господа, нека да го разберем сами:

Пример 10

Определете реалните и имагинерните части на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.

Нарочно избрах по-трудни примери, защото всеки изглежда може да се справи с нещо, като белени фъстъци. В същото време ще тренирате вниманието си! Крекер за ядки в края на урока.

Е, в заключение ще разгледам още един интересен пример, когато сложният аргумент е в знаменателя. Случвало се е няколко пъти на практика, нека да разгледаме нещо просто. Ех, остарях...

Пример 11

Определете реалните и имагинерните части на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.

Решение:Отново е необходимо да се разграничат реалните и имагинерните части на функцията.
Ако , тогава

Възниква въпросът какво да правим, когато в знаменателя е Z?

Всичко е просто - стандартният ще помогне метод за умножаване на числителя и знаменателя по спрегнатия израз, вече е използвано в примерите от урока Комплексни числа за манекени. Да си припомним училищна формула. Вече имаме в знаменателя, което означава, че спрегнатият израз ще бъде . Следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по:

Лекция №4.

Геометрично, функция на комплексна променлива w=f(z) определя показването на определен набор z– самолети до определен набор w-самолет. Точка wÎ ЖНаречен начин точки zкогато се покаже w=f(z), точка zÎ д – прототип точки w.

Ако всички zсамо една стойност съвпада w=f(z), тогава функцията се извиква недвусмислен (w=|z|,w=,w= Re zи т.н.) Ако някои zсъответства на повече от една стойност w, функцията се извиква полисемантичен (w=Арг z).

Ако (т.е. в различни точки в района дфункция отнема различни значения), след това функцията w=f(z) е наречен еднолистни в района д.

С други думи, еднолистната функция w=f(z) картографира района едно към едно дНа Ж. С дисплей на един лист w=f(z) обратен образ на всяка точка wÎ Жсе състои от един елемент: : . Ето защо zможе да се разглежда като функция на променлива w, определени на Ж. Обозначава се и се нарича обратна функция .

Ако в областта дсъществува, според поне, една двойка точки, след това функцията f(z) са наречени многолистов в района д.

Ако дисплей w=f(z) е многолистов включен д(Например, w=z n), тогава в този случай някои стойности wÎ Жсъвпада с повече от една точка zÎ д:f(z)=w. Следователно обратното преобразуване не е еднозначно, то е многозначна функция.

Една цифра върху площта дфункция w=f(z) е наречен клон на многозначна функцияЕ, ако стойност fвъв всяка точка zÎ дсъответства на една от стойностите Ев този момент.

За да изолирате еднозначни клонове на многозначна функция, процедирайте както следва: област дразделят функциите на области на еднозначност w=f(z), така че нито една от областите няма общи вътрешни точки и така че всяка точка zÎ дпринадлежала към една от тези области или границата на някои от тях. Във всяка от тези области на еднозначност се дефинира функция, обратна на w=f(z). Това е еднозначният клон на многозначната функция.

Концепцията за конформно картографиране

Пример.Намерете коефициента на разтягане и ъгъла на завъртане в точка z=2азпри показване.

■ Намиране на производната и неговата стойност в дадена точка .

Коефициент на разтягане кравен на модула на производната: .

Ъгъл на завъртане йе равно на аргумента на производната. Точката е в четвъртото тримесечие, следователно, . ■

Пример 3.5.Определете коя част от равнината, когато се показва w=z 2 е опъната, а коя е компресирана.

■ Намиране на производната w¢=2 z. Коефициент на напрежение във всяка точка zравно на к=|w¢( z)|=2|z|. Наборът от точки в комплексната равнина, за които к>1, тоест 2| z|>1 или , образува част от равнината, която се разтяга при показване. Следователно при показване w=z 2, външната страна на кръга е опъната, а вътрешната е компресирана. ■

Дисплей w=f(z) е наречен конформен (т.е. запазва формата си) в точка, ако запазва ъглите между кривите и има свойството на постоянно разширяване на околността на точката.

Всяко картографиране, установено с помощта на аналитична функция f(z) е конформен във всички точки, където .

Картографирането се нарича конформен в региона , ако е конформен във всяка точка от тази област.

Нарича се конформно картографиране, при което референтната посока на ъглите се запазва конформно преобразуване от първи род . Нарича се конформно преобразуване, при което посоката на ъглите е обърната конформно картографиране на ΙΙ род (Например, ).

В теорията и практиката на конформните преобразувания се поставят и решават два проблема.

Първата задача е да намерите изображението на дадена линия или област под дадено картографиране - пряка задача .

Второто е да се намери функция, която картографира дадена линия или област към друга дадена линия или област - обратна задача .

При решаване на пряка задача се взема предвид, че изображението на точка z 0, когато се показва w=f(z) е точка w 0, така че w 0 =f(z 0), тоест резултатът от заместването z 0 инча f(z). Следователно, за да намерите образа на множество, трябва да решите система, състояща се от две отношения. Един от тях уточнява функцията за картографиране w=f(z), другото е уравнението на правата, ако се решава задачата за намиране на образа на правата, или неравенството, което определя набора от точки на прообраза, ако се решава задачата за картографиране на области. И в двата случая процедурата за решаване се свежда до елиминиране на променливата zот две дадени съотношения.

Правило 3.3.Да се ​​намери образът на правата, дадена от уравнението Е(х,г)=0 (или изрично г=й(х)), при показване w=f(z) необходимо:

1. Изберете реалната и имагинерната част на функцията f(z): u= Re f(z), v=Им f(z).

2. Изключване от системата хИ u.Получената връзка е уравнението на образа на тази права.

Правило 3.4.За да намерите изображението на даден ред при показване w=f(z) необходимо:

1. Напишете уравнението на правата в параметрична форма z=z(T) или в сложна форма .

2. В зависимост от вида на уравнението на линията, разгледайте съответния случай:

Ако линията е дадена в параметрична форма, заместете израза z(T) В w=f(z);

Ако линията е дадена в сложна форма, тогава изразете zот w=f(z), тоест и . Тогава трябва да замените zи в уравнението на правата. Получената връзка е уравнението на образа на тази права.

Правило 3.5.За да намерите изображение на дадена област, трябва да използвате един от двата метода.

Първи начин.

1. Запишете уравнението на границата на тази област. Намерете изображението на границата на дадена област, като използвате правила 3.3 или 3.4.

2. Изберете произволна вътрешна точка на дадена област и намерете нейното изображение под даденото картографиране. Регионът, към който принадлежи получената точка, е желаното изображение на дадения регион.

Втори начин.

1. Експресирайте zот съотношението w=f(z).

2. Заменете това, което сте получили в стъпка 1. израз в неравенство, което дефинира даден регион. Полученото съотношение е желаното изображение.

Пример.Намерете изображението на кръг | z|=1, когато се показва с помощта на функция w=z 2 .

■ 1 начин(съгласно правило 3.3).

1. Нека z=x+iy, w=u+iv. Тогава u+iv =х 2 -г 2 +аз 2xy. Получаваме:

2. Да изключим хИ приот тези уравнения. За да направите това, нека повдигнем на квадрат първото и второто уравнение и добавим:

u 2 +v 2 =х 4 -2х 2 г 2 +г 4 +2х 2 г 2 =х 4 +2х 2 г 2 +г 4 =(х 2 +г 2) 2 .

Като вземем предвид третото уравнение на системата, получаваме: u 2 +v 2 =1 или | w| 2 =1, което е | w|=1. И така, изображението на кръга | z|=1 е кръг | w|=1, преминава се два пъти. Това следва от факта, че тъй като w=z 2 след това Arg w=2 Арг z+2pk. Така че, когато точката zописва пълен кръг | z|=1, тогава изображението му описва кръга | w|=1 два пъти.

Метод 2(съгласно правило 3.4).

1. Нека напишем уравнението на единичната окръжност в параметрична форма: z=д го (0£ T£2 стр).

2. Да заместим z=д гов съотношение w=z 2: w=e i 2 T=cos2 T+азгрях2 T. Следователно | w| 2 = cos 2 2 T+ грях 2 2 T=1, тоест | w|=1 – уравнение на изображението. ■

Пример.Намерете уравнението на образа на права y=xкогато се покаже w=z 3 .

■ Тъй като кривата е дадена изрично, прилагаме правило 3.3.

1. w=z 3 =(х+iy) 3 =х 3 +3х 2 iy+3х(iy) 2 +(iy) 3 =х 3 - 3xy 2 +аз(3х 2 у-у 3).

означава,

2. В получената система заместваме y=x: С изключение на хот тези уравнения получаваме v=-u.

И така, изображението на ъглополовящата на I и III координатни ъгли на системата xOyе ъглополовящата на II и IV координатни ъгли на системата uOv. ■

1. Линейна функция

Линейна функциянаречена функция на формата

w=az+b, (4.1)

Където А, b- комплексни константи.

Тази функция е дефинирана . Следователно, ако , тогава линейна функциясъздава конформно картографиране на цялата равнина на комплексна променлива. В този случай допирателните към всички криви се завъртат на един и същи ъгъл Arg а, а напрежението във всички точки е еднакво. Ако а= 1, тогава , което означава, че няма разтягане или въртене. В този случай получаваме w=z+b. Това картографиране измества цялата равнина с вектор.

В общия случай, преминавайки към експоненциалната форма на запис на комплексно число, получаваме. Следователно линейното картографиране е композиция от три геометрични трансформации:

w 1 =rz- сходство с коеф r=|а|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- завъртане под ъгъл й=арг аоколо точката ОТНОСНО;

w=w 2 +b=re i j z+b- паралелен трансфер към вектор.

Следователно, картографирането w=az+bпроменя линейните размери на всяка плоска фигура в | а| веднъж, завърта тази фигура под ъгъл й=арг аоколо началото и го измества в посоката на вектора с неговата стойност.

Линейното картографиране има кръгово свойство, тоест картографира кръгове z-равнини в кръг w-самолет (и обратно); преобразува правите линии в прави.

Пример.Намерете изображението на оста OUкогато се покаже w=2из-3и.

■ 1 начин(съгласно правило 3.4). Избираме уравнението на оста в параметрична форма.

1. Тъй като в реална форма уравнението на ос Ой: х=0, -¥<г<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<г<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран при.

2. Да заместим z=iyв израз w=2из-3и: w=-2г-3аз, -¥<г<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (при- параметър). След като изолираме реалните и въображаемите части, получаваме уравнението на изображението в реална форма: u=-2г, v=-3 или v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, успоредна на реалната ос.

Метод 2. Използваме кръговото свойство на линейната трансформация – образът на права линия е права линия. Тъй като права линия се определя чрез определяне на две точки, тя е достатъчна на оста OUизберете произволни две точки и намерете техните изображения. Правата, минаваща през намерените точки, ще бъде търсената. Да изберем точки z 1 =0, z 2 =аз, техните изображения w 1 =-3аз, w 2 =-2-3азкогато са картографирани, лежат на линията Im w= -3 Следователно изображението на ос OUе права линия v=-3.

3 начина(геометричен). От връзката w=2из-3иследва това а=2аз, b=-3аз, |а|=2, . Това означава, че дадената права линия (ос OU) трябва да се завърти на ъгъл спрямо началото и след това да се премести надолу с 3 единици. Разтягането 2 пъти не променя геометричния вид на оригиналната линия, тъй като тя минава през началото. ■

Пример.Намерете някаква линейна функция, представяща окръжност | з-и|=1 на обиколка | т- 3|=2.

■ Поставената задача е обратната задача на теорията на преобразуванията - по даден образ и предобраз да се намери съответното преобразуване. Без допълнителни условия задачата няма еднозначно решение. Нека представим геометрично решение.

1. Преместете центъра на кръга в началото. За да направим това, ние прилагаме картографирането w 1 =з-и.

2. В самолет w 1 нека приложим картографиране, което дава 2-кратно разтягане, т.е w 2 =2w 1 .

3. Преместете кръга с 3 единици надясно: w=w 2 +3. Накрая получаваме: w=2(з-и)+3, w= 2z+3-2аз– необходимата функция.

Можете да изберете различен ред за извършване на геометрични операции - не измествайте първо, а завъртете или разтегнете. ■

2. Дробна линейна функция

Дробна линейнанаречена функция на формата

, (4.2)

Където а, b,° С,д-комплексни числа, такива че , .

Свойства на дробната линейна трансформация

1°Съответствие

Дисплей w=Л(z) е конформен във всички крайни точки на комплексната равнина с изключение на .

2° Кръгова собственост

Изображението на права линия или кръг в дробно линейно картографиране w=Л(z) е права линия или кръг (и изображението на права линия може да бъде както кръг, така и права линия, а изображението на кръг може да бъде както права линия, така и кръг). Лесно е да се установи това при показване w=Л(z) всички прави линии и окръжности, минаващи през точката, преминават в прави равнини ( w), и всички прави линии или окръжности, които не минават през точката д, - в обиколката на равнината ( w).

3°Двойна релационна инвариантност

Поведение се запазва при дробно линейно картографиране, т.е. това е негов инвариант. Тази връзка се нарича двойно съотношение от четири точки. По този начин дробната линейна трансформация се определя еднозначно чрез задаване на три точки и техните изображения: . Използвайки тези двойки, можете да намерите дробна линейна функция, използвайки формулата:

. (4.3)

Тази формула може да се приложи и в случай, че някои от числата з кИ седмицапревърнете в ¥, ако използвате правилото: разликата, в която се среща символът ¥, трябва да бъде заменена с 1.

4°Поддържане на симетрия

Ако точки z 1 и z 2 са симетрични спрямо някаква линия или кръг ж, тогава за всяко дробно линейно картографиране w=Л(z) техните изображения w 1 и w 2 ще бъде симетричен спрямо изображението ж: .

Симетрията спрямо права линия се разбира в обичайния смисъл.

Точки zИ z*са наречени симетричен спрямо окръжността |z-z 0 |=Р, ако лежат на един и същи лъч, излизащ от центъра на окръжността, и произведението на техните разстояния от центъра на окръжността е равно на квадрата на нейния радиус, т.е.

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=Р 2 . (4.4)

Точка, симетрична на точка z 0 – центърът на кръга очевидно е безкрайната точка.

5°Принцип на съпоставяне на преминаване на границата (показване на области, ограничени от линии или кръгове)

Ако при дробно линейно картографиране права линия или кръг жсе превръща в права линия или кръг g¢, след това областта д, което е ограничено ж, се трансформира в една от двете области, които са ограничени от g¢. В този случай се прилага принципът на съответствие на обхода на границата: ако по време на обхода на някаква линия жрегион дсе оказва вляво (вдясно), след това със съответното обхождане на линията g¢регион D¢също трябва да е отляво (вдясно).

Пример.Намерете дробната линейна функция w=Л(z), така че w(аз)=2аз, w(¥)=1, w(-1)=¥.

■ Нека обозначим z 1 =аз, z 2 =¥, z 3 =-1 и w 1 =2аз, w 2 =1, w 3 =¥. Нека приложим формула (4.3), замествайки разликите, съдържащи z 2 и w 3 до ¥:

или .

Нека преобразуваме: - w-wi+ 2аз- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+азÛ е търсената функция. ■