Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ни позволяват да преминем от сумата на тези ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2. Нека незабавно да отбележим, че не трябва да бъркате формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сбора и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме техните изводи и показваме примери за приложение при конкретни проблеми.

Формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

Нека запишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси

Формули за сбор и разлика за синуси

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули за сбор и разлика за косинуси

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат ​​съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Нека дадем формулировката за всяка формула.

Дефиниции на формули за суми и разлики на синуси и косинуси

Сума от синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.

Разлика на синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.

Сума от косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.

Разлика на косинусите на два ъгъларавен на удвоения продукт на синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.

Извеждане на формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

За извеждане на формули за сбора и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Нека ги изброим по-долу

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Нека си представим и самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сбор и разлика за sin и cos.

Извеждане на формулата за сбор от синуси

В сумата sin α + sin β заместваме α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. получаваме

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз, а към втория - формулата за синуса на ъгловите разлики (вижте формулите по-горе)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете скобите, добавете подобни членове и получете необходимата формула

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Стъпките за извличане на останалите формули са подобни.

Извеждане на формулата за разликата на синусите

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Извеждане на формулата за сбор от косинуси

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Извеждане на формулата за разликата на косинусите

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примери за решаване на практически задачи

Първо, нека проверим една от формулите, като заменим конкретни ъглови стойности в нея. Нека α = π 2, β = π 6. Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо ще използваме таблицата с основните стойности на тригонометричните функции и след това ще приложим формулата за сбора на синусите.

Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим разликата между синусите на тези ъгли.

Пример 2. Приложение на формулата за разликата на синусите

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сумата или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат ​​формули за преминаване от сбор към продукт. Формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения и при преобразуване на тригонометрични изрази.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

). Тези формули ви позволяват да преминете от сумата или разликата на синусите и косинусите на ъглите към произведението на синусите и/или косинусите на ъглите и. В тази статия първо ще изброим тези формули, след това ще покажем тяхното извеждане и накрая ще разгледаме няколко примера за тяхното приложение.

Навигация в страницата.

Списък с формули

Нека запишем формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите. Както разбирате, има четири от тях: два за синуси и два за косинуси.

Сега нека дадем техните формулировки. Когато формулирате формули за сбора и разликата на синусите и косинусите, ъгълът се нарича полусума от ъгли и, а ъгълът се нарича полуразлика. така че

Струва си да се отбележи, че формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите са валидни за всякакви ъгли и.

Извеждане на формули

За да извлечете формули за сбора и разликата на синусите, можете да използвате формули за добавяне, по-специално формулите
синус от сумата,
синусова разлика,
косинус от сбора и
косинус от разликата.

Нуждаем се също от представяне на ъгли във формата И . Това представяне е валидно, тъй като за всякакви ъгли и .

Сега нека го разгледаме в детайли извеждане на формулата за сумата от синусите на два ъгълавид

Първо заместваме общата сума с , и на , и получаваме . Сега към приложете синуса на формулата за сумата и към - формула за синус на разликата:

След намаляване на подобни условия получаваме . В резултат на това имаме формула за сумата от синусите на формата .

За да извлечете останалите формули, просто трябва да направите подобни стъпки. Ето извеждането на формулите за разликата на синусите, както и сумата и разликата на косинусите:

За разликата на косинусите сме дали два вида формули или . Те са еквивалентни, защото , което следва от свойствата на синусите на противоположните ъгли.

И така, разгледахме доказателството на всички формули за сбора и разликата на синусите и косинусите.

Примери за използване

Нека да разгледаме няколко примера за използване на формулите за сумата от синуси и косинуси, както и разликата от синуси и косинуси.

Например, нека проверим валидността на формулата за сумата от синусите на формата , като и . За да направите това, нека изчислим стойностите на лявата и дясната страна на формулата за дадените ъгли. Тъй като и (ако е необходимо, вижте таблицата с основните стойности на синусите и косинусите), тогава . Когато и имаме И , тогава . По този начин стойностите на лявата и дясната страна на формулата за сумата от синусите за и съвпадат, което потвърждава валидността на тази формула.

В някои случаи използването на формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите ви позволява да изчислите стойностите на тригонометричните изрази, когато ъглите са различни от основните ъгли ( ). Нека дадем примерно решение, което потвърждава тази идея.

Пример.

Изчислете точната стойност на разликата между синусите от 165 и 75 градуса.

Решение.

Ние не знаем точните стойности на синусите от 165 и 75 градуса, така че не можем директно да изчислим стойността на дадена разлика. Но формулата за разликата на синусите ни позволява да отговорим на въпроса за задачата. Наистина, полусумата от ъгли от 165 и 75 градуса е равна на 120, а полуразликата е равна на 45, а точните стойности на синуса от 45 градуса и косинуса от 120 градуса са известни.

Така имаме

отговор:

.

Несъмнено основната стойност на формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите е, че те ви позволяват да преминете от сумата и разликата към произведението на тригонометричните функции (по тази причина тези формули често се наричат ​​формули за преместване от сума на произведението на тригонометрични функции). А това от своя страна може да бъде полезно, например, когато преобразуване на тригонометрични изразиили кога решаване на тригонометрични уравнения. Но тези теми изискват отделна дискусия.

Референции.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.

Формули за намаляване

Формулите за редукция позволяват да се намерят стойностите на тригонометричните функции за всякакви ъгли (не само остри). С тяхна помощ можете да правите трансформации, които опростяват външния вид на тригонометричните изрази.

Фигура 1.

В допълнение към формулите за редукция, при решаване на задачи се използват следните основни формули.

1) Формули за един ъгъл:

2) Изразяване на някои тригонометрични функции чрез други:

Коментирайте

В тези формули радикалният знак трябва да бъде предшестван от знака $"+"$ или $"-"$, в зависимост от това в кой квадрант е ъгълът.

Сбор и разлика от синуси, сбор и разлика от косинуси

Формули за сумата и разликата на функциите:

В допълнение към формулите за сумата и разликата на функциите, формулите за произведението на функциите могат да бъдат полезни при решаване на задачи:

Основни връзки между елементите на косите триъгълници

Обозначения:

$a$, $b$, $c$ - страни на триъгълника;

$A$, $B$, $C$ - ъгли, противоположни на изброените страни;

$p=\frac(a+b+c)(2) $ - полупериметър;

$S$ - площ;

$R$ - радиус на описаната окръжност;

$r$ е радиусът на вписаната окръжност.

Основни съотношения:

1) $\frac(a)(\sin A) =\frac(b)(\sin B) =\frac(c)(\sin C) =2\cdot R$ - синусова теорема;

2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - косинусова теорема;

3) $\frac(a+b)(a-b) =\frac(tg\frac(A+B)(2) )(tg\frac(A-B)(2) ) $ - теорема за допирателната;

4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \ left(p-c\right)) =r\cdot p=\frac(a\cdot b\cdot c)(4\cdot R) $ - формули за площ.

Решаване на коси триъгълници

Решаването на наклонени триъгълници включва определяне на всички негови елементи: страни и ъгли.

Пример 1

Дадени са три страни $a$, $b$, $c$:

1) в триъгълник само косинусовата теорема може да се използва за изчисляване на ъглите, тъй като само главната стойност на аркосинуса е в рамките на $0\le \arccos x\le +\pi $, съответстващ на триъгълника;

3) намерете ъгъла $B$, като приложите косинусовата теорема $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a\cdot c) $, и след това обратна тригонометрична функция $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

Пример 2

Дадени са две страни $a$, $b$ и ъгъл $C$ между тях:

1) намерете страна $c$, като използвате косинусовата теорема $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;

2) намерете ъгъла $A$, като приложите косинусовата теорема $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, и след това обратна тригонометрична функция $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) намерете ъгъла $B$ по формулата $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$.

Пример 3

Дадени са два ъгъла $A$, $B$ и страна $c$:

1) намерете ъгъла $C$ по формулата $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$;

2) намерете страната $a$, като използвате теоремата за синуси $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $;

3) намерете страната $b$, като използвате теоремата за синуси $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $.

Пример 4

Дадени са страни $a$, $b$ и ъгъл $B$ срещу страната $b$:

1) напишете косинусовата теорема $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$, като използвате дадените стойности; от тук получаваме квадратното уравнение $c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)= 0$ по отношение на страни $c$;

2) след като решим полученото квадратно уравнение, можем теоретично да получим един от трите случая - две положителни стойности за страна $c$, една положителна стойност за страна $c$, никакви положителни стойности за страна $c$; съответно проблемът ще има две, едно или нула решения;

3) използвайки конкретна положителна стойност на страната $c$, намираме ъгъла $A$ чрез прилагане на косинусовата теорема $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2 ) )(2\cdot b\cdot c) $ и след това обратната тригонометрична функция $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

4) намерете ъгъла $C$ по формулата $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$.

Преобразуване на сбора (разликата) от косинусите на два ъгъла в произведение

За сумата и разликата на косинусите на два ъгъла са правилни следните формули:

Сборът от косинусите на два ъгъла е равен на удвоения продукт на косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.

Разликата между косинусите на два ъгъла е равна на минус удвоения продукт от синуса на полусумата и синуса на полуразликата на тези ъгли.

Примери

Формули (1) и (2) могат да бъдат получени по много начини. Нека докажем например формула (1).

cos α cos β = 1 / 2 .

Вярвайки в нея (α + β) = X , (α - β) = при, стигаме до формула (1). Този метод е подобен на този, с който в предходния параграф беше получена формулата за сумата от синусите на два ъгъла.

2-ри метод.В предишния параграф формулата беше доказана

Вярвайки в нея α = X +π/2, β = при + π/2, получаваме:

Но според формулите за намаляване грях ( X+ π / 2) == cos х, sin (y + π / 2) = cos y;

следователно

Q.E.D.

Каним учениците сами да докажат формула (2). Опитайте се да намерите поне два различни начина за доказване!

Упражнения

1. Изчислете без таблици, като използвате формули за сбора и разликата на косинусите на два ъгъла:

А). cos 105° + cos 75°. Ж). cos 11π / 12-cos 5π/12..

б). cos 105° - cos 75°. г). cos 15° -sin 15°.

V). cos 11π / 12+cos 5π/12.. е). грях π/12+cos 11π / 12.

2 . Опростете тези изрази:

А). cos( π/3 + α ) + cos ( π/3 - α ).

б). cos( π/3 + α ) - cos ( π/3 - α ).

3. Всяка една от самоличностите

грях α +cos α = \/ 2 грях ( α + π/4)

грях α -cos α = \/ 2 грях ( α - π/4)

докажете поне по два различни начина.

4. Представете тези изрази под формата на продукти:

А). \/ 2 + 2cos α . V). грях х +cos г.

б). \/ 3 - 2 cos α . Ж). грях х -cos г.

5 . Опростете израза sin 2 ( α - π/8) - cos 2 ( α + π/8) .

6 .Разложете на множители тези изрази (№ 1156-1159):

А). 1 + грях α -cos α

б). грях α + грях (α + β) + грях β .

V). cos α +cos 2α+cos 3α

Ж). 1 + грях α +cos α

7. Докажете тези идентичности

8. Докажете, че косинусите на ъглите α И β равно тогава и само ако

α = ± β + 2nπ,

където n е някакво цяло число.

Тема на урока. Сбор и разлика на синусите. Сбор и разлика на косинусите.

(Урок за усвояване на нови знания.)

Цели на урока.

Дидактически:

извеждат формули за сбор от синуси и сбор от косинуси и улесняват тяхното усвояване при решаване на задачи;

продължете да развивате умения и способности за използване на тригонометрични формули;

проверете степента на усвояване на материала по темата.

Образователни:

насърчаване на развитието на умения за самостоятелно прилагане на знания;

развиват умения за самоконтрол и взаимен контрол;

продължете работата по развитието на логическото мислене и устната математическа реч при търсене на решение на поставения проблем.

Образователни:

научете способността да общувате и да слушате другите;

култивирайте внимание и наблюдателност;

стимулират мотивацията и интереса към изучаването на тригонометрията.

Оборудване:презентация, интерактивна дъска, формули.

Напредък на урока:

Организационен момент. - 2 мин.

Актуализиране на основни знания. Повторение. – 12 мин.

Поставяне на цели. – 1 мин.

Възприемане и осмисляне на нови знания. – 3 мин.

Приложение на придобитите знания. – 20 мин.

Анализ на постиженията и корекция на дейностите. – 5 мин.

Отражение. - 1 мин.

домашна работа. – 1 мин.

1. Организационен момент.(слайд 1)

- Здравей! Тригонометрията е един от най-интересните раздели на математиката, но по някаква причина повечето ученици го намират за най-труден. Това най-вероятно може да се обясни с факта, че в този раздел има повече формули, отколкото във всеки друг. Успешното решаване на тригонометрични задачи изисква уверено познаване на множество формули. Много формули вече са проучени, но се оказва, че не всички. Затова мотото на този урок ще бъде поговорката на Питагор „Който върви, владее пътя, но който мисли, владее математиката“. Да помислим!

2. Актуализиране на основни знания. Повторение.

1) математическа диктовка с взаимна проверка(слайдове 2-5)

Първа задача. Използване на изучените формули изчисли:

1 вариант

Вариант 2

грях 390 0

cos 420 0

1 – cos 2 30 0

1 – грях 2 60 0

сos 120 0 ∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0

sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0

Отговори: ; 1 ; -; ; - ; - 1; 1 ; ; ; 0 ; ; 3. – взаимна проверка.

Критерии за оценяване: (работите се предават на преподавателя)

"4" - 10 - 11

2) проблемна задача(слайд 6) – доклад на ученика.

Опростете израза с помощта на тригонометрични формули:

Възможно ли е да се реши този проблем по различен начин? (Да, използвайки нови формули.)

3. Поставяне на цели(слайд 7)

Тема на урока:
Сбор и разлика на синусите. Сбор и разлика на косинусите. - писане в тетрадка

Цели на урока:

извеждат формули за сбор и разлика от синуси, сбор и разлика от косинуси;

да могат да ги прилагат на практика.

4. Възприемане и осмисляне на нови знания. (слайд 8-9)

Нека изведем формулата за сумата от синуси: - учител

Останалите формули се доказват по подобен начин: (формули за превръщане на сбор в произведение)

Правила за запомняне!

Какви други тригонометрични формули са използвани за доказване на формули за добавяне?

5. Прилагане на придобитите знания.(слайдове 10-11)

Използване на нови формули:

1) Пресметнете: (на дъската) - Какъв ще бъде отговорът? (номер)

Диктовка с учител

6. Анализ на постиженията и корекция на дейностите.(слайд 13)

Диференцирана самостоятелна работа със самопроверка

Изчислете:

7. Рефлексия.(слайд 14)

Доволни ли сте от работата си в клас?

Каква оценка бихте си поставили за целия урок?

Кой беше най-интересният момент в урока?

Къде трябваше да се концентрираш най-много?

8. Домашна работа:учат формули, индивидуални задачи на карти.