Квадратни уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Видове квадратни уравнения

Какво стана квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнениеключовата дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението Задължителнотрябва да има x на квадрат. В допълнение към него уравнението може (или не!) да съдържа само X (на първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има X на степен по-голяма от две.

От математически термини квадратното уравнение е уравнение от формата:

Тук a, b и c- някои числа. b и c- абсолютно всякакви, но А– нещо различно от нула. Например:

Тук А =1; b = 3; ° С = -4

Тук А =2; b = -0,5; ° С = 2,2

Тук А =-3; b = 6; ° С = -18

Е, разбирате...

В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. Х на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент bИ безплатен член s.

Такива квадратни уравнения се наричат пълен.

И ако b= 0, какво получаваме? Ние имаме X ще се загуби на първа степен.Това се случва, когато се умножи по нула.) Оказва се, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

И така нататък. И ако и двата коефициента bИ ° Сса равни на нула, тогава е още по-просто:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Такива уравнения, при които нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, обърнете внимание, че x на квадрат присъства във всички уравнения.

Между другото защо Ане може да е равно на нула? И вие замествате вместо това Анула.) Нашият X на квадрат ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И решението е съвсем друго...

Това са всички основни типове квадратни уравнения. Пълна и непълна.

Решаване на квадратни уравнения.

Решаване на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясни, прости правила. На първия етап е необходимо да се намали даденото уравнение до стандартен изглед, т.е. към формата:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното е да определите правилно всички коефициенти, А, bИ ° С.

Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака за корен се нарича дискриминанта. Но повече за него по-долу. Както можете да видите, за да намерим X, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cИзчисляваме по тази формула. Да заместим със собствените си знаци! Например в уравнението:

А =1; b = 3; ° С= -4. Тук го записваме:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Всичко е много просто. И какво, мислите, че е невъзможно да направите грешка? Ами да, как...

Най-честите грешки са объркване със стойностите на знаците a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Това, което помага тук, е подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, направи го!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; b = -5; ° С = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Ще отнеме около 30 секунди, за да напишете допълнителен ред и броя на грешките рязко ще намалее. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се пише толкова внимателно. Но само изглежда. Пробвам. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да записвате всичко толкова внимателно. Ще се окаже правилно от само себе си. Особено ако използвате практически техники, описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси се решава лесно и без грешки!

Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например така:

Разпознахте ли го?) Да! Това непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения.

Те могат да бъдат решени и с обща формула. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни тук. a, b и c.

Разбрахте ли го? В първия пример а = 1; b = -4;А ° С? Изобщо го няма! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Вместо това заменете нула във формулата ° С,и ще успеем. Същото и с втория пример. Само ние нямаме нула тук с, А b !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Нека разгледаме първото непълно уравнение. Какво можете да направите от лявата страна? Можете да извадите X от скоби! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула тогава и само ако някой от факторите е равен на нула! не ми вярваш Добре, тогава измислете две ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? Това е...
Следователно можем уверено да напишем: x 1 = 0, х 2 = 4.

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от използването на общата формула. Между другото да отбележа кое Х ще е първото и кое второто - абсолютно безразлично. Удобно е да пишете в ред, х 1- какво е по-малък и х 2- това, което е по-голямо.

Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 надясно. Получаваме:

Всичко, което остава, е да извлечем корена от 9 и това е. Ще се окаже:

Също така два корена . х 1 = -3, х 2 = 3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите X извън скоби, или просто като преместите числото надясно и след това извлечете корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена на X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби...

Дискриминанта. Дискриминантна формула.

Вълшебна дума дискриминанта ! Рядко гимназист не е чувал тази дума! Фразата „ние решаваме чрез дискриминант“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да очаквате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно.) Напомням ви най-много обща формулаза решения всякаквиквадратни уравнения:

Изразът под знака за корен се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата д. Дискриминантна формула:

D = b 2 - 4ac

И какво е толкова забележително в този израз? Защо заслужаваше специално име? Какво значението на дискриминанта?След всичко -б,или 2ав тази формула не го наричат ​​конкретно... Букви и букви.

Ето това е нещото. При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула е възможно само три случая.

1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че коренът може да бъде извлечен от него. Друг е въпросът дали коренът се извлича добре или зле. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула.Тогава ще имате едно решение. Тъй като добавянето или изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.

3. Дискриминантът е отрицателен.Не може да се извади корен квадратен от отрицателно число. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, кога просто решениеквадратни уравнения, концепцията за дискриминант не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата и броим. Там всичко става от само себе си, два корена, един и нито един. При решаване на по-сложни задачи обаче, без знания значение и формула на дискриминантане достатъчно. Особено в уравненията с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж за държавния изпит и единния държавен изпит!)

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихте. Или сте научили, което също не е лошо.) Знаете как да определите правилно a, b и c. Знаете ли как? внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Сега вземете под внимание практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Същите, които са от невнимание... За които после става болезнено и обидно...

Първа среща . Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение и да го приведете в стандартна форма. Какво означава това?
Да кажем, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Конструирайте примера правилно. Първо X на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:

И отново, не бързайте! Минус пред Х на квадрат може наистина да ви разстрои. Лесно се забравя... Отърви се от минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите решаването на примера. Решете сами. Сега трябва да имате корени 2 и -1.

Рецепция втори. Проверете корените! Според теоремата на Виета. Не се страхувайте, ще ви обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, която използвахме, за да запишем формулата на корена. Ако (както в този пример) коеф а = 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Резултатът трябва да е безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Моля, обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, значи вече са се прецакали някъде. Потърсете грешката.

Ако работи, трябва да добавите корените. Последна и последна проверка. Коефициентът трябва да бъде bс противоположност познат. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди X, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко е, че това е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! Ще има все по-малко грешки.

Прием трети . Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общ знаменател, както е описано в урока "Как се решават уравнения? Трансформации на идентичност." Когато работите с дроби, грешките продължават да се прокрадват по някаква причина...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме от минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е удоволствие!

И така, нека обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартна форма и го изграждаме вярно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред X на квадрат, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако х на квадрат е чисто, неговият коефициент е равен на едно, решението може лесно да се провери с помощта на теоремата на Виета. Направи го!

Сега можем да решим.)

Решете уравнения:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Отговори (в безпорядък):

x 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

x - произволно число

х 1 = -3
х 2 = 3

няма решения

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всичко ли пасва? Страхотен! Квадратните уравнения не са вашето нещо главоболие. Първите три проработиха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратните уравнения. Проблемът е в тъждествените трансформации на уравнения. Разгледайте линка, полезен е.

Не се получава съвсем? Или изобщо не се получава? Тогава раздел 555 ще ви помогне. Всички тези примери са разбити там. Показано основенгрешки в решението. Разбира се, говорим и за използването на идентични трансформации при решаване на различни уравнения. Помага много!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

В тази статия ще разгледаме решаването на непълни квадратни уравнения.

Но първо, нека повторим кои уравнения се наричат ​​квадратни. Уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където x е променлива, а коефициентите a, b и c са някои числа и a ≠ 0, се нарича квадрат. Както виждаме, коефициентът за x 2 не е равен на нула и следователно коефициентите за x или свободният член могат да бъдат равни на нула, в който случай получаваме непълно квадратно уравнение.

Има три вида непълни квадратни уравнения:

1) Ако b = 0, c ≠ 0, тогава ax 2 + c = 0;

2) Ако b ≠ 0, c = 0, тогава ax 2 + bx = 0;

3) Ако b = 0, c = 0, тогава ax 2 = 0.

• Нека да разберем как да решим уравнения от вида ax 2 + c = 0.

За да решим уравнението, преместваме свободния член c в дясната страна на уравнението, получаваме

брадва 2 = ‒s. Тъй като a ≠ 0, разделяме двете страни на уравнението на a, тогава x 2 = ‒c/a.

Ако ‒с/а > 0, то уравнението има два корена

x = ±√(–c/a) .

Ако ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Нека се опитаме да разберем с примери как да решаваме такива уравнения.

Пример 1. Решете уравнението 2x 2 ‒ 32 = 0.

Отговор: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Пример 2. Решете уравнението 2x 2 + 8 = 0.

Отговор: уравнението няма решения.

• Нека да разберем как да го решим уравнения от вида ax 2 + bx = 0.

За да решим уравнението ax 2 + bx = 0, нека го разложим на множители, тоест изваждаме x извън скоби, получаваме x(ax + b) = 0. Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен до нула. Тогава или x = 0, или ax + b = 0. Решавайки уравнението ax + b = 0, получаваме ax = - b, откъдето x = - b/a. Уравнение от вида ax 2 + bx = 0 винаги има два корена x 1 = 0 и x 2 = ‒ b/a. Вижте как изглежда решението на уравнения от този тип на диаграмата.

Нека консолидираме знанията си с конкретен пример.

Пример 3. Решете уравнението 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 или 3x – 12 = 0

Отговор: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Уравнения от трети тип ax 2 = 0се решават много просто.

Ако ax 2 = 0, тогава x 2 = 0. Уравнението има два равни корена x 1 = 0, x 2 = 0.

За по-голяма яснота, нека да разгледаме диаграмата.

Нека се уверим, че при решаването на пример 4 уравнения от този тип могат да бъдат решени много просто.

Пример 4.Решете уравнението 7x 2 = 0.

Отговор: x 1, 2 = 0.

Не винаги е веднага ясно какъв тип непълно квадратно уравнение трябва да решим. Помислете за следния пример.

Пример 5.Решете уравнението

Нека умножим двете страни на уравнението по общ знаменател, тоест по 30

Нека го намалим

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Нека отворим скобите

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Да дадем подобни

Нека преместим 99 от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака на противоположния

Отговор: няма корени.

Разгледахме как се решават непълни квадратни уравнения. Надявам се, че сега няма да имате затруднения с подобни задачи. Бъдете внимателни, когато определяте вида на непълното квадратно уравнение, тогава ще успеете.

Ако имате въпроси по тази тема, запишете се за моите уроци, ще решим проблемите, които възникват заедно.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Квадратно уравнениее уравнение на формата брадва 2+bx +c = 0, където х– променлива, а,bИ ° С– някои числа и а ≠ 0.

Пример за квадратно уравнение:

3х 2 + 2х – 5 = 0.

Тук А = 3, b = 2, ° С = –5.

Числа а,bИ ° С– коефициентиквадратно уравнение.

Номер аНаречен първи коефициент, номер b – втори коефициент, и числото ° С – безплатен член.

Редуцирано квадратно уравнение.

Нарича се квадратно уравнение, в което първият коефициент е 1 дадено квадратно уравнение.

Примери за дадено квадратно уравнение:

х 2 + 10х – 11 = 0

х 2 – х – 12 = 0

х 2 – 6х + 5 = 0

тук е коефициентът при х 2 е равно на 1 (просто 1 е пропуснато и в трите уравнения).

Непълно квадратно уравнение.

Ако в квадратно уравнение брадва 2+bx +c = 0 поне един от коефициентите bили ° Се равно на нула, тогава такова уравнение се нарича непълно квадратно уравнение.

Примери за непълни квадратни уравнения:

2х 2 + 18 = 0

тук има коефициент А, което е равно на -2, е коефициентът ° С, равно на 18, и коеф bне – равно е на нула.

х 2 – 5х = 0

Тук А = 1, b = -5, ° С= 0 (така че коефициентът ° Слипсва в уравнението).

Как се решават квадратни уравнения.

За да решите квадратно уравнение, трябва да извършите само две стъпки:

1) Намерете дискриминанта D по формулата:

D=b 2 – 4 ак.

Ако дискриминантът е отрицателно число, тогава квадратното уравнение няма решение и изчисленията спират. Ако D ≥ 0, тогава

2) Намерете корените на квадратното уравнение по формулата:

– b ± √ д
х 1,2 = -----.
2А

Пример: Решете квадратно уравнение 3 х 2 – 5х – 2 = 0.

Решение :

Първо, нека определим коефициентите на нашето уравнение:

А = 3, b = –5, ° С = –2.

Изчисляваме дискриминанта:

D= b 2 – 4ак= (–5) 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, което означава, че уравнението има смисъл, което означава, че можем да продължим.

Намиране на корените на квадратното уравнение:

–b+ √D 5 + 7 12
х 1 = ----- = ---- = -- = 2
2А 6 6

–b– √D 5 – 7 2 1
х 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2А 6 6 3

1
Отговор : х 1 = 2, х 2 = – --.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е абсолютно необходима.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучавате конкретни методи за решаване, имайте предвид, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Имате точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните уравнения и линейните, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора вярват. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Нека напишем коефициентите за първото уравнение и да намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Така че дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Последното останало уравнение е:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е нула - коренът ще бъде единица.

Моля, имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е, но няма да объркате шансовете и да направите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако разберете, след известно време няма да е необходимо да записвате всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - общо взето не толкова много.

Корени на квадратно уравнение

Сега да преминем към самото решение. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - ще получите същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, запишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Лесно е да се забележи, че в тези уравнения липсва един от членовете. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не изискват изчисляване на дискриминанта. И така, нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно е, че такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c = 0. Нека го трансформираме малко:

От аритметиката Корен квадратенсъществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a) ≥ 0. Заключение:

1. Ако в непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 неравенството (−c /a) ≥ 0 е изпълнено, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c /a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминант не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c /a) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число- ще има два корена. Ако е отрицателна, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да разложим полинома на множители:

Изваждане на общия множител извън скоби

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. От тук идват корените. В заключение, нека разгледаме някои от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т. к квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

“, тоест уравнения от първа степен. В този урок ще разгледаме това, което се нарича квадратно уравнениеи как да го решим.

Какво е квадратно уравнение?

важно!

Степента на уравнението се определя от най-високата степен, на която стои неизвестното.

Ако максималната степен, в която неизвестното е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• х 2 + 0,25 х = 0
• x 2 − 8 = 0

важно!

Общата форма на квадратно уравнение изглежда така:

A x 2 + b x + c = 0

• „a“, „b“ и „c“ са дадени числа.
• „а“ е първият или най-високият коефициент;
• “b” е вторият коефициент;

“c” е безплатен член.

Нека се упражним да определяме коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Уравнението	Коефициенти
а = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

х 2 + 0,25 х = 0

• а = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• а = 1
• b = 0
• c = −8

Как се решават квадратни уравнения

За разлика от линейни уравненияза решаване на квадратни уравнения, спец формула за намиране на корени.

Помня!

За да решите квадратно уравнение, трябва:

• редуцирайте квадратното уравнение до общ вид"ax 2 + bx + c = 0". Тоест от дясната страна трябва да остане само „0“;
• използвайте формула за корени:

Нека да разгледаме пример как да използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратно уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнението „x 2 − 3x − 4 = 0“ вече е сведено до общата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, просто трябва да кандидатстваме формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека определим коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Във формулата “x 1;2 = ” радикалният израз често се заменя
“b 2 − 4ac” за буквата “D” и се нарича дискриминант. Концепцията за дискриминант е разгледана по-подробно в урока „Какво е дискриминант“.

Нека да разгледаме друг пример за квадратно уравнение.

x 2 + 9 + x = 7x

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо редуцираме уравнението до общата форма “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да използвате формулата за корените.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

х = 3
Отговор: x = 3

Има моменти, когато квадратните уравнения нямат корени. Тази ситуация възниква, когато формулата съдържа отрицателно число под корена.