بدلاً من التعليق التوضيحي:

"... برهان كانتور القطري هو تمرين للأغبياء، ولا علاقة له بما يسمى عادةً بالاستدلال في المنطق الكلاسيكي."

ل. فيتجنشتاين

"... تمثل نظرية كانتور يمثل حادثة مرضية في التاريخ الرياضيات، والتي من المستقبل ببساطة سوف تصاب الأجيال بالرعب"

ك. باور، مؤسس الطوبولوجيا

1. أزمة المعرفة الرياضية الحديثة.

إن الدور الرائد في عملية تحويل العلوم القديمة والعصور الوسطى إلى العلوم الأوروبية الحديثة ينتمي إلى الرياضيات، لأن العلوم الطبيعية النظرية مستحيلة بدون الرياضيات. في العلوم الطبيعية الأوروبية الحديثة، ليس من قبيل الصدفة أن تسمى الرياضيات "ملكة العلوم". إذا تم فصلها في العصر القديم عن العلوم الطبيعية وكان موضوعها مجال الكيانات الرياضية المثالية، فإن الوضع يتغير بشكل كبير في العصر الحديث. تقترب الرياضيات من العلوم الطبيعية وبدأت تملي عليها قواعدها الخاصة للتعايش. في هذا الصدد، يتلقى العلوم الطبيعية المفاهيمية الحديثة تعريفا رياضيا. تدين العلوم الطبيعية الحديثة بالكثير من نجاحها للرياضيات الأوروبية الحديثة. لكن الأزمة الثالثة الأخيرة، المستمرة منذ أكثر من مائة عام، تشير إلى وجود مشاكل جدية في أسسها.

هناك وجهة نظر تقليدية مفادها أنه في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين. كانت هناك أزمة ثالثة لأساسيات الرياضيات، وترتبط أسبابها بتقارب الرياضيات مع المنطق، وكذلك بالحاجة إلى توضيح المفاهيم الرياضية مثل العدد، والمجموعة، والحد، والوظائف، وما إلى ذلك.

تعود أصول هذه الأزمة إلى القرنين السابع عشر والثامن عشر، عندما طورت الرياضيات طرقًا لحل المشكلات في العلوم الطبيعية. لم يهتم علماء الرياضيات في هذا الوقت بشكل خاص بالتبرير المنطقي لأساليبهم [إل إس. فرونمان. المبدعين من الرياضيات العليا. م، 1968. س 83-84]

في القرن التاسع عشر هناك مراجعة للمفاهيم الأساسية وتشكيل الرياضيات النظرية. وهذا يؤدي إلى تشكيل نظرية المجموعات والحساب في الرياضيات.

سعى أعظم علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر إلى اختزال جميع حقائق الرياضيات إلى رقمويتم تطويرها بشكل مكثف، بدءًا من "الدراسات الحسابية" لغاوس (1801)، ونظرية العدد [إف. تطور نظرية المجموعات في القرن التاسع عشر. م، 1965. س 35-36.]. بادئ ذي بدء، يتعلق هذا بالتحليل الرياضي. الأكثر إشكالية كانت أسسها المنطقية. في هذا الصدد، في القرن التاسع عشر. يبدأ تطوير أسس الرياضيات وأساليب أكثر صرامة لتعريفاتها وبرهاناتها.

في عملية إعادة هيكلة التحليل الرياضي، تنشأ الإدانة بأن نظريات الجبر والتحليل الرياضي يمكن صياغتها كنظرية حول الأعداد الطبيعية [Dedekind R. ما هي الأرقام وماذا تخدم. قازان: دار النشر. الجامعة الإمبراطورية، 1905. ص 5].

وكانت نتيجة هذه العملية الاعتراف بالرقم كمفهوم أساسي لجميع الرياضيات وبناء نظرية الأعداد الحقيقية من قبل علماء الرياضيات مثل بولزانو، فايرستراس، ديديكيند وكانتور.

في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، نشأت مشكلة إثبات الرياضيات. وقد لعب بناء نظرية المجموعات بواسطة ج. كانتور دورًا بارزًا في حلها. ونتيجة لذلك، تمت صياغة مفاهيم التحليل ونظرية الوظيفة في فئات نظرية المجموعات. كان المفهوم الأساسي للأخير هو مفهوم المجموعة اللانهائية بالفعل.

إن تطور نظرية المجموعات من خلال إدراج مفهوم اللانهاية الفعلية كان يعني في الواقع ثورة في تاريخ الرياضيات، يمكن مقارنتها بالثورة الكوبرنيكية والنظرية النسبية وميكانيكا الكم. قدمت نظرية المجموعات طريقة عالمية أصبحت الأساس مزيد من التطويرالرياضيات.

ارتبطت المرحلة التالية في تطور الرياضيات بتقارب الجبر والمنطق ونظرية المجموعات. تأخذ الرياضيات مظهرًا تجريديًا لم يسبق له مثيل. وهذا يعني الانتقال إلى الأساس المنطقي للرياضيات. تم تقديم مساهمة بارزة في أسس الرياضيات بواسطة G. Frege ("أسس الحساب" و"القوانين الأساسية للحساب التي تم الحصول عليها باستخدام حساب التفاضل والتكامل المفاهيمي"). وهو ينفذ البناء الاستنتاجي البديهي للمنطق الرياضي (حساب التفاضل والتكامل المقترح، وحساب التفاضل والتكامل المسند). تم حل مشكلة التبرير المنطقي لعدد واستقلال واتساق واكتمال الأنظمة البديهية. تظهر كلمة "اللوجستيات" كعرض تقديمي للرياضيات بلغة المنطق. إن عملية تطوير التحليل المنطقي القوي وإضفاء الطابع الرسمي على المنطق جارية.

إن فكرة استنتاج الرياضيات من المنطق تكتسب شعبية. فريجه، بعد أن حدد مفهومي "العدد" و"الكمية" في المصطلحات المنطقية لـ "الطبقة" و"العلاقة"، تمكن من إضفاء الطابع الرسمي على نظرية المجموعات وتقديم الرياضيات باعتبارها استمرارًا للمنطق.

تنتهي هذه العملية بإنشاء العمل الأساسي المكون من ثلاثة مجلدات مبادئ الرياضيات (1910-1913) لراسل ووايتهيد.

في نهاية القرن التاسع عشر، نشأ وضع في الرياضيات يشبه إلى حد كبير ما حدث في الفيزياء في بداية التسعينيات، عندما تأسست فكرة اكتمال الفيزياء الكلاسيكية. ومن ثم توالت الأحداث الدرامية التي ناقشناها سابقاً.

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين. تدخل الرياضيات فترة أزمة حادة ناجمة عن ظهور سلسلة من المفارقات الرياضية والمنطقية والدلالية غير القابلة للحل والتي تلقي بظلال من الشك على نظرية مجموعات كانتور وأسس الرياضيات الكلاسيكية. وقد أدى ذلك إلى إغراق علماء الرياضيات البارزين مثل كانتور وفريجي وآخرين في حالة من اليأس. كتب ج. فايل ، حتى بعد سنوات عديدة ، السطور التالية عن هذه الفترة في تاريخ المعرفة الرياضية: " نحن الآن أقل ثقة من أي وقت مضى في الأسس الأولية للرياضيات والمنطق. نحن نعيش "أزمتنا" تمامًا كما يعيشها الجميع في العالم الحديث. هذه الأزمة مستمرة منذ خمسين عامًا (كتبت هذه السطور عام 1946). للوهلة الأولى، يبدو أنه لا يتداخل بشكل خاص مع عملنا اليومي. ومع ذلك، يجب أن أعترف على الفور بأن هذه الأزمة كان لها تأثير عملي ملحوظ على عملي في الرياضيات: فقد وجهت اهتماماتي إلى مجالات اعتبرتها "آمنة" نسبيًا، وقوضت باستمرار الحماس والتصميم اللذين تابعت بهما بحثي. ربما تمت مشاركة تجربتي من قبل علماء رياضيات آخرين لم يكونوا غير مبالين بالمكانة التي يحتلها نشاطهم العلمي في هذا العالم في السياق العام لوجود شخص يهتم ويعاني ويخلق"[م. كلاين. الرياضيات. فقدان اليقين. م: مير، 1984. ص 387]. "...الحالة التي نحن فيها الآن فيما يتعلق بالمفارقات،" يكتب د. جيلبرت، "لا يطاق لفترة طويلة. فكر: في الرياضيات - هذا المثال على الموثوقية والحقيقة - يؤدي تكوين المفاهيم ومسار الاستدلالات، حيث يدرسها الجميع ويعلمها ويطبقها، إلى العبثية. أين يجب البحث عن الموثوقية والحقيقة، حتى لو كان التفكير الرياضي نفسه خاطئًا؟ [د. جيلبرت. أسس الهندسة. م.-ل.، 1948. ص 349].

أدت المحاولات الفاشلة لحل المفارقات إلى اعتقاد علماء الرياضيات بأن أسباب الأزمة تكمن في مجال المفاهيم الأساسية وطرق التفكير. هناك حاجة إلى إعادة التفكير في مبادئ الرياضيات والتخلي عن بعض المفاهيم القديمة. وهذا يتعلق في المقام الأول بإعادة هيكلة نظرية المجموعات وتوضيح مفهوم المجموعة ذاته على أساس جديد تمامًا [S. كلين. مقدمة في ما وراء الرياضيات. م، 1957. ص 42]. لقد تم تدمير المثل الأعلى للمنطق كمعيار لدقة البرهان الرياضي.لذلك، واجهت الرياضيات مهمة استعادة الموثوقية السابقة وموثوقية المعرفة الرياضية. الطبيعة البديهية للتفكير المنطقي واللغة المقابلة لم تعد تناسب العلماء [خ. كاري. أسس المنطق الرياضي. م، 1969. ص26]. تظهر ثلاثة برامج بحثية: المنطقية، والشكلية، والحدسية.

تظهر رحلة قصيرة في تاريخ الرياضيات الحديثة أن أساسها، وبالتالي جميع العلوم الطبيعية الرياضية، يكمن في نظرية كانتور الأساسية للمجموعات ذات الأساس. المفهوم العلمياللانهاية الفعلية وترتبط الرياضيات نفسها ارتباطًا وثيقًا بمفهوم اللانهاية، حيث يتم تعريفها غالبًا على أنها علم اللانهائي.

الرياضيات، مثل العلوم الأخرى (والفلسفة)، تتحدد بعمق من خلال النماذج الروحية والتاريخية الأساسية. تم تأكيد هذا الاعتقاد من خلال أعمال P. P Gaidenko المكرسة لتطور مفهوم العلم في سياق تاريخ الفلسفة [P.P Gaidenko. تطور مفهوم العلم (تكوين وتطوير البرامج العلمية الأولى). م. "العلم"، 1980. – (بدون حواشي) – [مصدر إلكتروني]. عنوان URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]. وعلى الرغم من أن المؤلف يركز في دراساته على تفاعل المعرفة العلمية والفلسفية، إلا أنه لا يمكن تتبع تأثير السياق الديني على البرامج العلمية بشكل أقل وضوحا. يتم أيضًا عرض تأثير المقدمات الدينية واللاهوتية على محتوى الرياضيات الحديثة بشكل مقنع في أعمال ف.ن. كاتاسونوفا [ف.ن. كاتاسونوف. المفاهيم العلمية والفلسفية لللانهاية والمسيحية. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html ] وأ.أ.زينكين [أ.أ. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]، وما إلى ذلك.

وبالتالي، فإن فكرة أن الرياضيات هي علم حر (مستقل) وعالمي يتطور وفقا لقوانينه الخاصة، مبالغ فيها إلى حد كبير.

2. ملخص موجز لنظرية مجموعة كانتور.

يعتقد G. Cantor أن أساس نظرية المجموعات هو البرنامج العلمي الفيثاغوري الأفلاطوني، الذي انتقده أرسطو، ولكن تم إحياؤه مرة أخرى في فلسفة عصر النهضة. لتبرير ذلك، يتم استخدام الحجج اللاهوتية للتعاليم الكاثوليكية. الفكر الفلسفي والرياضي، بدءا من القرن الخامس عشر، أعد تدريجيا إنشاء هذه النظرية.

جورج كانتور هو مبتكر نظرية المجموعات ونظرية الأعداد اللامتناهية. كانت الفكرة الرئيسية لنظريته عن المجموعات اللانهائية هي الرفض الحاسم لأطروحة أرسطو حول المجموعات اللانهائية في الواقع. بنى كانتور دراسته للمجموعات اللانهائية على فكرة المراسلات الفردية بين عناصر المجموعات التي تتم مقارنتها. إذا كان من الممكن إنشاء مثل هذا المراسلات بين عناصر مجموعتين، فيقال أن المجموعتين لهما نفس القوة، أي أنهما متساويتان أو متكافئتان. كتب كانتور: “في حالة المجموعات المحدودة، فإن العدد الأساسي يتزامن مع عدد العناصر”. ولهذا السبب تسمى القوة أيضًا بالرقم الأساسي (الكمي) لمجموعة معينة [P. ستاخوف. تحت علامة "القسم الذهبي": اعتراف ابن أحد الطلاب الفصل الخامس. نظرية القياس الخوارزمية. 5.5. مشكلة اللانهاية في الرياضيات. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

في عام 1874 أثبت وجود مجموعات لا نهائية غير متكافئة، أي لها أصول مختلفة، وفي عام 1878 قدم المفهوم العام لأصل المجموعات (تسمية أصل المجموعات بأحرف الأبجدية العبرية، وهو ما اقترحه ومقبول في الرياضيات، وربما انعكس أصله اليهودي -على أصول أبيه). في عمله الرئيسي "حول التكوينات النقطية الخطية اللانهائية" (1879–84)، قدم كانتور بشكل منهجي مبدأ المجموعات وأكمله من خلال بناء مثال لمجموعة مثالية (ما يسمى بمجموعة كانتور) [كانتور جي. حول الخطية اللانهائية تشكيلات نقطية. // أفكار جديدة في الرياضيات، 1994، العدد 6، سانت بطرسبورغ].

أعطى كانتور محتوى رياضيًا لفكرة اللانهاية الفعلية. اعتقد كانتور أن نظريته هي حساب التفاضل والتكامل الجديد تمامًا للرياضيات اللانهائية «العابرة للحدود» (أي «فوق النهائية»). إن اللانهاية الفعلية هي، كما كانت، "حاوية" تتكشف فيها سلسلة اللانهاية المحتملة، ويجب أن تكون هذه الحاوية فعلية بالفعل بالنسبة للبيانات.

وفقًا لفكرته، كان من المفترض أن يؤدي إنشاء مثل هذا الحساب إلى إحداث ثورة ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضًا في الميتافيزيقا واللاهوت، الأمر الذي كان يثير اهتمام كانتور تقريبًا أكثر من البحث العلمي نفسه. لقد كان عالم الرياضيات والفيلسوف الوحيد الذي آمن بأن اللانهاية الفعلية ليست موجودة فحسب، بل هي أيضًا مفهومة تمامًا من قبل الإنسان، وهذا الفهم سيرفع علماء الرياضيات، ومن بعدهم اللاهوتيين، إلى أعلى وأقرب إلى الله.. لقد كرس حياته لهذه المهمة. كان العالم يؤمن إيمانا راسخا بأنه مختار من الله ليقوم بثورة عظيمة في العلوم، وكان هذا الإيمان مدعوما برؤى صوفية.

قاد هذا النهج كانتور إلى العديد من الاكتشافات المتناقضة التي تتعارض بشكل حاد مع حدسنا. وهكذا، وعلى النقيض من المجموعات المحدودة، التي تغطيها البديهية الإقليدية "الكل أكبر من الجزء"، فإن المجموعات اللانهائية لا تخضع لهذه البديهية. فمن السهل، على سبيل المثال، إثبات تكافؤ مجموعة الأعداد الطبيعية وجزئها - مجموعة الأعداد الزوجية من خلال إنشاء المراسلات الفردية التالية: [P. ستاخوف. تحت علامة "القسم الذهبي": اعتراف ابن أحد الطلاب الفصل الخامس. نظرية القياس الخوارزمية. 5.5. مشكلة اللانهاية في الرياضيات. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

تسمى المجموعة، وفقًا كانتور، لا نهائية إذا كانت مساوية في القوة لإحدى مجموعاتها الفرعية. تسمى المجموعة محدودة إذا لم تكن مكافئة لأي من مجموعاتها الفرعية. تسمى المجموعة المكافئة لمجموعة الأعداد الطبيعية قابلة للعد، حيث يمكن ترقيم عناصرها [المرجع نفسه].

يعتقد كانتور أن مجموعات الأعداد الطبيعية والعقلانية والجبرية لها نفس العلاقة الأساسية، أي. قابلة للعد [المرجع نفسه].

حاول كانتور أيضًا إثبات أن المجموعة N من الأعداد الطبيعية يمكن ربطها بجزء من المجموعة R من الأعداد الحقيقية، في حين أن عددية الأعداد الحقيقية أكبر من عددية مجموعة الأعداد الطبيعية [المرجع نفسه].

في عام 1886، سعى كانتور إلى إثبات عدم وجود مربع الوحدة المزيد من النقاطمما كانت عليه في جزء واحد. وبالتالي، فإن قوة الاستمرارية ثنائية الأبعاد تساوي قوة الاستمرارية أحادية البعد [المرجع نفسه].

وتبين أن أفكار كانتور كانت غير متوقعة ومخالفة للحدس لدرجة أن عالم الرياضيات الفرنسي الشهير هنري بوانكاريه وصف نظرية الأعداد العابرة للحدود بأنها "مرض" يجب علاج الرياضيات منه يومًا ما. حتى أن ليوبولد كرونيكر - مدرس كانتور وأحد علماء الرياضيات الأكثر احترامًا في ألمانيا - هاجم كانتور شخصيًا، واصفًا إياه بـ "الدجال" و"المرتد" و"المتحرش بالشباب" [في عالم العلوم. مجلة ساينتفيك أمريكان · الطبعة الروسية رقم 8 · أغسطس 1983 · الصفحات 76-86/ جورج كانتور وولادة نظرية المجموعات العابرة للحدود].

كما فتحت نظرية المجموعات صفحة جديدة في دراسة أسس الرياضيات - فقد أتاح عمل كانتور لأول مرة صياغة أفكار عامة حديثة بوضوح حول موضوع الرياضيات، وبنية النظريات الرياضية، ودور البديهيات والمفهوم. تشابه أنظمة الأشياء مع العلاقات التي تربطها. وتعتبر نظرية المجموعات الخاصة به أحد الركائز الأساسية في الرياضيات.

في فلسفة الرياضيات، قام كانتور بتحليل مشكلة اللانهاية. من خلال التمييز بين نوعين من اللانهاية الرياضية - غير الصحيح (المحتمل) والصحيح (الفعلي، المفهوم ككل كامل)، أصر كانتور، على عكس أسلافه، على شرعية العمل في الرياضيات بمفهوم اللانهائي الفعلي. كان كانتور من مؤيدي الأفلاطونية، ورأى أن اللانهائي الرياضي الفعلي هو أحد أشكال اللانهائي الفعلي بشكل عام، والذي يجد أعلى اكتمال له في الوجود الإلهي المطلق.

3. المواجهة الكبرى بين الكانتوريين ومناهضي الكانتوريين.

انتقادات أ.أ.زينكين لنظرية المجموعات المجردة

G. كانتور و"تعاليم حول اللامتناهي".

من بين الأدبيات النقدية العديدة المخصصة لنظرية المجموعات لج. كانتور، تستحق دراسات عالم الرياضيات الروسي أ.أ.زينكين اهتمامًا خاصًا. وفقا لعالم الرياضيات الشهير A. P. Stakhov، ربما سيكون هو (Zenkin) الذي سيضع المحطة الأخيرة في النزاع مع كانتور وفي حل الأزمة الرياضية في الرياضيات الحديثة[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

في المقال الأصلي “الجنة اللامتناهية لجورج كانتور. قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم” العالم الروسي أ.أ.زينكين يحلل العيوب المعرفية لمنطق إثبات كانتور لعدم إمكانية عد الاستمرارية، بناءً على مفهوم اللانهاية الفعلية[أ.زنكين. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

منذ آلاف السنين، يلاحظ أ.أ.زنكين، أن الموقف السلبي تجاه مفهوم AB كان مدعومًا ومشتركًا من قبل علماء وفلاسفة بارزين مثل أرسطو، إقليدس، لايبنتز، بيركلي، لوك، ديكارت، كانط، سبينوزا، لاغرانج، غاوس، كرونيكر، Lobachevsky، Cauchy، F. Klein، Hermite، Poincaré، Baer، Borel، Brouwer، Quine، Wittgenstein، Weil، Luzin، وحتى اليوم - Erret Bishop، Solomon Feferman، Yaroslav Peregrin، فلاديمير تورشين، بيتر فوبينكا وغيرهم الكثير.

منذ سبعينيات القرن التاسع عشر، نشأ موقف سلبي حاد تجاه نظرية المجموعات لجورج كانتور، المبنية على مفهوم AB. تقدم أ.أ.زينكين أمثلة على التصريحات الأكثر قاطعة الموجهة إليها. وهكذا، توصل هنري بوانكاريه إلى استنتاج مفاده أنه “لا توجد لا نهاية فعلية؛ نسي الكانتوريون هذا الأمر ووقعوا في التناقضات. سوف تنظر الأجيال القادمة إلى نظرية مجموعات كانتور على أنها مرض تم علاجه أخيرًا.[أ. بوانكاريه، عن العلم. - م: ناوكا، 1983]. مؤسس الطوبولوجيا الحديثة L. Brouwer ليس أقل تطرفاً في تصريحاته: " تمثل نظرية كانتور ككل حادثة مرضية في تاريخ الرياضيات، ستصاب الأجيال القادمة بالرعب منها بكل بساطة.[A.A.Frenkel، I.Bar-Hillel. أسس نظرية المجموعات. - م: "السلام"].

"ومع ذلك، اليوم،" كما كتب عالم الرياضيات الروسي، "كما كان الحال في بداية القرن العشرين، هناك "مواجهة كبيرة" بين المنطق الرياضياتي الفوقي للكانتوريين، الذين يعترفون بشرعية "مذهب اللامتناهي" لكانتور". في النسخة "غير الساذجة" (انظر أدناه) من هذا "التدريس"، أي. في شكل نظرية المجموعات البديهية الحديثة (المشار إليها فيما يلي باسم ATM)، بناءً على الاستخدام (الضمني – انظر أدناه) لمفهوم AB، والحدس الرياضي لمناهضي الكانتوريين الذين يرفضون مفهوم AB وG. "عقيدة اللامتناهي" مبنية على هذا المفهوم [ A.A.Zenkin. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

يؤدي استخدام مفهوم AB إلى مفارقات في المنطق والرياضيات، والتي تظل آليات توليدها غير معلنة حتى يومنا هذا. وفي هذا الصدد، فإن الكشف عن الطبيعة المنطقية للمفارقات ومشروعية استخدام مفهوم AB في الرياضيات لا يزال ذا صلة حتى اليوم.لاحظ فرنكل وبحر هيليل أنه لا يوجد على الإطلاق أي شيء في التفسير التقليدي للمنطق والرياضيات يمكن أن يكون بمثابة أساس لإزالة تناقض راسل<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. نعتقد أن أي محاولات للخروج من الموقف باستخدام طرق التفكير التقليدية، والتي فشلت دائمًا حتى الآن، من الواضح أنها غير كافية لهذا الغرض. ومن الواضح أن بعض الابتعاد عن طرق التفكير المعتادة أمر ضروري، على الرغم من أن مكان هذا الابتعاد غير واضح مقدمًا” [أ.فرينكل، آي.بار-هيلل. أسس نظرية المجموعات. - م: "السلام"].

تعد نظرية المجموعات المجردة وموافقتها في العلوم الحديثة، وفقًا لـ A.A. Zenkin، مثالًا صارخًا للعلم الزائف، وهي حالة غير مسبوقة من خلق أسطورة كاذبة في العلوم من خلال استخدام تقنيات العلاقات العامة.

علاوة على ذلك، يكشف A. A. Zenkin عن غير قصد عن الجوهر المحايد الحقيقي العلوم الحديثةكمؤسسة اجتماعية: "أجهزة الصراف الآلي - أدت المبادرة إلى ظهور ظاهرة سلبية واسعة النطاق مثل البورباكية، أي. إضفاء الطابع الرسمي المفرط، وغير الضروري، الذي لا معنى له، والممل، والسفيه، على الرياضيات وتعليم الرياضيات. في وصف العواقب السلبية لمثل هذا البورباكيز، كتب عالم الرياضيات والمعلم الروسي البارز، الأكاديمي في. ، واستبدال جانب المحتوى بالكامل لهذا التخصص بالتدريب على المعالجة الرسمية للمفاهيم المجردة. مثل هذا الوصف المجرد للرياضيات ليس مناسبًا للتدريس ولا لأي تطبيقات عملية. التعليم الرسمي الحديث (البورباكي) في الرياضيات هو العكس تمامًا لتعليم القدرة على التفكير وأساسيات العلوم. إنه خطر على البشرية جمعاء. يبدو مستقبل الرياضيات المصاب بهذا المرض قاتمًا للغاية" [أ. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

يصوغ عالم الرياضيات الروسي أربعة أمثلة على "الأكاذيب البيضاء ATM G. Cantor":

الكذبة الأولى. "الرياضيات ملكة العلوم كلها، وأجهزة الصراف الآلي هي ملكة الرياضيات"! في هذه المناسبة، كتب أ.أ.زينكين أن أجهزة الصراف الآلي الحديثة تخدع مجتمع الرياضيات المحترف وتجعل جيل الشباب من علماء الرياضيات زومبيًا. يجادل الكانتوريون بأنه إذا كان العديد من علماء الرياضيات البارزين في بداية القرن العشرين رفضوا بشكل قاطع أجهزة الصراف الآلي باعتبارها علمًا زائفًا، فإن "علماء الرياضيات المعاصرين أخيرًا" وقد رأيت الضوء في هذا الشأن، أن كل ما لا نهاية - مناسب، جاءوا إلى رشدهم حول موضوع تلك النظرية أخيرالأعداد الطبيعية "مشتقة" من النظرية عابر للحدودالأرقام، أن مفهوم المجموعة الفارغة يستنتج من مفهوم المجموعة اللانهائية الفعلية، ذلك يمكن استخلاص جميع الرياضيات الحديثة من أجهزة الصراف الآليواعترفت رسمياً أن “الرياضيات ملكة العلوم كلها، وأجهزة الصراف الآلي هي ملكة الرياضيات”! جميع معارضي ATM أمس يتفقون اليوم على أن ATM هو إنجاز بارز للرياضيات الحديثة، وهو الإنجاز الذي غير وجه كل الرياضيات في القرن العشرين “[المرجع نفسه].

"هذه حقيقة تجريبية" ، لقد قام مارتن ديفيس وروبن هيرش بالفعل بقتل المجتمع العلمي بشكل ودي ، " أن حوالي 90٪ من علماء الرياضيات العاملينقبلت نظرية المجموعات كانتور، من الناحية النظرية والعملية، إلى حد ما"[المرجع نفسه].

ثم، كما في الواقع، يلاحظ أ. أ. زينكين، أن الكانتوريين مخادعون عمدًا ولا يميزون بشكل كبير بين لغة نظرية المجموعات المجردة وتعاليم كانتور حول الأرقام الترتيبية والكرادلة. في الواقع، أصبحت لغة نظرية المجموعات لغة رياضية عالمية. في حين أن عقيدة الترتيبات والكرادلة اللامتناهية، نظرًا لعدم جدواها المطلقة، لا يتم استخدامها في أي مكان بنسبة 90٪ من علماء الرياضيات العاملين فعليًا. من بين الباقين، 9٪ من علماء الرياضيات لا يقبلون هذا التدريس بشكل قاطع، و 1٪ فقط هم من أتباع أجهزة الصراف الآلي أو بورباكيين.

الكذبة الثانية. أساس أجهزة الصراف الآلي الحديثة هو "طريقة حل" علمية زائفة وشبه إجرامية صارخة للسؤال العلمي الأساسي حول الطبيعة المنطقية لللانهاية الرياضية. يكمن جوهرها في حقيقة أن نظرية مجموعة كانتور، المبنية على مفهوم AB، تم إعلانها "ساذجة"، وتمت إزالة مصطلح AB نفسه من إطار علم ما بعد الرياضيات المحترم. وكانت هذه إحدى حملات العلاقات العامة الأكثر فعالية التي تم تنفيذها على الإطلاق في تاريخ العلوم.

ومع ذلك، فإن النظرية الحديثة لـ ATM قد استعارت من النظرية "الساذجة" نظرية عدم إمكانية عد الاستمرارية، والتي يعتمد إثباتها على استخدام المفهوم المتناقض ظاهريًا لـ AB. في هذا الصدد، يعتبر أ.أ.زينكين نظرية مجموعات كانتور أحد المصادر الرئيسيةالأزمة الكبرى الثالثة لأساسيات الرياضيات، والتي لا تزال مستمرة.

الكذبة الثالثة. لم يتم ذكر شروط إثبات الصراف الآلي بشكل صريح، ولكنها ضمنية على مستوى الافتراضات الفلسفية.من وجهة نظر المنطق الكلاسيكي والرياضيات، يعد "افتراض AB" شرطًا ضروريًا لاستنتاج معظم نظريات ATM.

الكذبة الرابعة. لم تكن نظرية المجموعات قادرة في نهاية المطاف على استبعاد الإمكانات من خلال المنهجية العلمية، أي. إثبات عدم اتساق مفهوم PB. اتخذت أجهزة الصراف الآلي مسارًا مختلفًا. وأعلنت أن مشكلة شرعية استخدام AB هي مشكلة فلسفية. يرى A. A. Zenkin غريزة الحفاظ على الذات لدى أنصار أجهزة الصراف الآلي، لأن محاولة إعطاء تعريف صارم لمفهوم AB سيؤدي إلى فهم واضح لعدم تناسقه. وهذا سوف يعرض للخطر الممولة جيدا والمعتادة رفاهية عملاء أجهزة الصراف الآلي المنتظمين في "الجنة العابرة للحدود" في كانتور. بهذه الطريقة شبه الإجرامية والعلمية الزائفة، تعاملت «عشيرة» الصراف الآلي مع معارضيها.

وأخيرا الكذبة الخامسة. فرض "قصة مرعبة" على المجتمع الرياضي مفادها أن إثبات نظرية الاستمرارية غير المعدودة أمر صعب للغاية بحيث لا يمكن الوصول إليه إلا لمحترفين مختارين . صدق العديد من علماء الرياضيات هذه الأسطورة واعترفوا بعدم كفاءتهم عند مناقشة نظرية كانتور الأساسية بشأن عدم إمكانية عد المتوالية.كدليل على الكذب الصارخ لهذه الأسطورة، يقترح أ. أ. زينكين مقارنة منهجية إثبات نظرية كانتور ونظرية فيثاغورس المعروفة.

في نظرية فيثاغورس، يلاحظ A.A. Zenkin، يستخدم الإثبات ثلاثة (!) مفاهيم أولية للرياضيات (مفهوم المثلث الأيمن، مفهوم تشابه المثلثات، مفهوم التناسب) ويتم تنفيذ ثلاث عمليات رياضية (!): ضربان وجمع واحد للتعبيرات الجبرية. الدليل نفسه (بدون الصورة) يستغرق 5 (خمسة!) أسطرًا. يستخدم برهان كانتور ثلاثة (!) مفاهيم أولية في الرياضيات (مفهوم العدد الطبيعي، مفهوم العدد الحقيقي ومفهوم التسلسل اللانهائي للأعداد الحقيقية المرقمة) و لم يتم تنفيذ عملية حسابية واحدة (!). يستغرق الدليل نفسه 5 أسطر (خمسة!) مكتوبة بلغة المنطق الأولي في النصف الثاني من القرن التاسع عشر[المرجع نفسه].

وتواجه صحة هذا الدليل اعتراضات جدية من علماء الرياضيات البارزين وعلماء المنطق والفلاسفة. " في نتائجها النموذجية للفلسفة والمنطق والرياضيات وعلم النفس المعرفي، فإن نظرية كانتور ليس لها مثيل. مثل هذا "المصير" المعرفي المختلف لهذه النظريات، والتي تتشابه إلى حد كبير في المعايير الشكلية (وفي التفاهة "المبهرجة" للبراهين) يمكن تفسيره بحقيقة أن إثبات نظرية كانتور يستخدم (ضمنيًا) المفهوم المتناقض للواقع الفعلي. إنفينيتي"[المرجع نفسه].

لا يتوقف أ.أ.زينكين عند هذه الحجة وينتقل مباشرة إلى تحليل الطريقة القطرية (DM) كدليل على نظرية كانتور حول عدم قابلية عد المتوالية.

بالنظر إلى الشكل المتعارف عليه لـ DM، توصل العالم الروسي إلى استنتاج مفاده أن "دليله القطري (كانتور) على عدم القابلية للقياس الكمي لمجموعتين لا نهائيتين X وN يعتمد على حقيقة أن المجموعة اللانهائية X تحتوي دائمًا على عنصر إضافي واحد (مجموعة كانتور" new AD-d.ch.x*)، بالنسبة لترقيمها، "كما هو الحال دائمًا"، هناك عنصر واحد مفقود من المجموعة اللانهائية N، أو رسميًا، من حقيقة أن المجموعة اللانهائية X تحتوي على عنصر واحد أكثر من المجموعة اللانهائية. المجموعة اللانهائية N. أعتقد أن هذا هو بالضبط مكان إثبات كانتور الذي تسبب دائمًا في الرفض القاطع (الرفض) من الحدس العلمي لمحترفي الرياضيات المتميزين (انظر القائمة 1)" [المرجع نفسه]. يقدم A. A. Zenkin تقييمًا لمثل هذا الدليل من قبل Wittgenstein: "يعمل الشخص يومًا بعد يوم بعرق جبينه - فهو يجمع قائمة بجميع الأرقام الحقيقية، وعندما تكتمل القائمة أخيرًا، يظهر ساحر، يأخذ قطري". هذه القائمة وأمام عينيه الجمهور المذهول، بمساعدة خوارزمية "مقصورة على فئة معينة"، تحولها إلى... قطري مضاد، أي. إلى رقم AD حقيقي جديد غير موجود في القائمة الأصلية . هذا النوعإن برهان كانتور القطري هو تمرين للأغبياء، ولا علاقة له بما يسمى عادة بالاستدلال في المنطق الكلاسيكي.".

علاوة على ذلك، يكتشف عالم الرياضيات الروسي لأول مرة حقيقة فريدةفي برهان كانتور. النقطة الأساسية في برهان كانتور هي الاستخدام الصريح لطريقة المثال المضاد. و"المثال المضاد نفسه غير موجود في مجموعة جميع التطبيقات الممكنة لمعطى معين عامالبيانات، ولكن خوارزميا استنتجمن البيان العام أن هذا المثال المضاد يهدف إلى دحضه (في النموذج استنتاجيالإخراج، هنا B = "القائمة (1) تحتوي على جميع d.ch. من X)" [A.A.Zenkin. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

نتيجة للتعرف على متخصصي أجهزة الصراف الآلي مع اكتشاف أ. أ. زينكين، نشأ جدل ساخن، حيث "تم الكشف عن الاحتراف الزائف لعدد من سلطات أجهزة الصراف الآلي المعترف بها في مجال المنطق الأولي" [المرجع نفسه].

بتلخيص نتائج الجدل، توصل أ.أ.زينكين إلى الاستنتاج غير المتوقع التالي: "ينشأ موقف فاضح! - لأكثر من مائة عام، يقوم المحترفون المتميزون (وغير المتميزين) في مجال الرياضيات الفوقية والمنطق الرياضي ونظرية المجموعات البديهية وغيرهم من البورباكيين كل عام بتعليم (أو بالأحرى الزومبي) أجيال جديدة من الطلاب "كيفية إثبات ذلك بشكل صحيح" " عدم قابلية عد السلسلة المتصلة باستخدام الطريقة القطرية الشهيرة كانتور، لا يفهم مطلقًا الطبيعة المنطقية لهذه الطريقة!

حقا، "حادثة مرضية ستصاب الأجيال القادمة بالرعب منها، بحسب بروير"! - أو بالأحرى سوف يضحكون "من أعماق أرواحهم" ولكن ... "حتى أسقط تمامًا". - على من؟ - أعتقد أن أكثر من 90٪ من علماء الرياضيات "العاملين" الذين تخلوا "بشكل غير مبالي تمامًا" على مدى قرن كامل عن "ملكة جميع العلوم" بسبب "سوء الاستخدام" الواضح من قبل "مرضى النصف الأيسر من الكرة الأرضية". لأن الضحك على المرضى، حتى أصحاب النصف الأيسر، خطيئة ولا معنى لها.[المرجع نفسه].

ويختتم عالم الرياضيات الروسي تحليله النقدي لإثبات DMC بقصة مفارقة ديفيد هيلبرت الدرامية، التي تم اقتراحها منذ حوالي 80 عامًا. في العشرينات من القرن الماضي، اقترح د. هيلبرت، لتوضيح الاختلافات الأساسية بين المجموعات المحدودة والمجموعات اللانهائية في نظرية مجموعات كانتور، مفارقة شائعة تسمى "الفندق الكبير". إن عرض المفارقة في حد ذاته أمر مرهق للغاية، لذلك دعونا نقوم بصياغة جوهرها. توضح مفارقة "الفندق الكبير" خاصية أساسية للمجموعات اللانهائية: "... إذا أضفت مجموعة لا نهائية محدودة أو قابلة للعد إلى مجموعة لا نهائية، فإن أصل المجموعة الأولى لا يتغير" [المرجع نفسه].

بمقارنة إثبات DMK مع مفارقة د. هيلبرت، توصل أ.أ. زينكين إلى نتيجة رائعة: إثبات DMK لعدم إمكانية عد المتوالية هو نموذج استنتاجي (بمعنى تارسكي) لمفارقة د. هيلبرت "الفندق الكبير".

في مفارقة د. هيلبرت، نحن نتعامل مع عملية لا نهائية محتملة، والتي لها الخاصية الأساسية التالية: حتى تنتهي هذه العملية، "لا يوجد أساس (منطقي أو رياضي) للتأكيد على أن الافتراض بأن "X قابل للعد" هو افتراض خاطئ. وبالتالي، إذا كانت المجموعة Y 1 لا نهائية قابلة للعد، فإن عبارة نظرية كانتور "X غير قابلة للعد" غير قابلة للإثبات.[المرجع نفسه].

تشير الحجج المذكورة أعلاه، كما يخلص أ.أ.زنكين، إلى ذلك "نظرية كانتور حول عدم إمكانية عد المتوالية غير قابلة للإثبات. وهذا يعني أن تمييز اللانهائيات بعدد العناصر هو صنع أسطورة. ولكن إذا كان عدم قابلية عد الاستمرارية غير قابل للإثبات، فإن نظرية كانتور للمجموعات العابرة للحدود ليست مجرد "ساذجة"، بل هي علم زائف تمامًا، وبالتالي يمكن إغلاق "الجنة" اللامتناهية لج. كانتور دون أي ضرر حقًا " العمل "الرياضيات".[المرجع نفسه].

في ختام عرض البحث النقدي الذي أجراه أ. أ. زينكين حول نظرية المجموعات اللانهائية لجورج كانتور، أود التأكيد على أهمية استنتاجه التالي. نظرية كانتور غير صحيحة من وجهة نظر المنطق الأرسطي الكلاسيكي.

4. انتقاد النهج البديهي لـ A.A

النهج البديهي الذي اقترحه A. Zenkin لمفهوم AB و PB هو، من وجهة نظرنا، غير صحيح من الناحية المنهجية.

تمت صياغة بديهية أرسطو وبديهية كانتور من خلال مفهوم اللانهاية، الذي لم يتم تعريفه بشكل صارم ورسمي. بناءً على صياغة البديهيات، يترتب على ذلك أن PB وAB هما نوعان من اللانهائي في حد ذاته، أي. عطوف.

النقطة الثانية. اعتبر أرسطو مفهوم PB وAB على أساس مذهبه الخاص بالوجود والجوهر بناءً على قوانين المنطق الكلاسيكي (التقليدي). بينما انطلق كانتور في نظريته للمجموعات من برنامج البحث الفيثاغوري الأفلاطوني. إن مذهب أفلاطون في الوجود والجوهر هو بديل للفلسفة المتجولة ويتوافق مع المنطق الجدلي ومبدأ توافق الأضداد.

لم يعتبر أرسطو المفهومين AB وPB متناقضين، وذلك في المقام الأول لأن مفهوم اللانهاية محدد للغاية ولا تنطبق عليه مبادئ وقوانين المنطق التقليدي. وقد وصفها أرسطو بأنها مفهوم غير شرعي، وهو لا يعطى على الإطلاق لشعورنا أو تفكيرنا. اللانهائي موجود فقط في الإمكانية، وليس في الواقع. فإنه لو كان موجودا في الواقع لكان مقدارا معينا، أو كمية محدودة. لذلك، اللانهائي موجود كخاصية.

اللانهاية، وفقًا لأرسطو، هي المكان الذي يمكنك فيه دائمًا أخذ شيء ما بعده، بأخذ كمية معينة. وحيث لا يوجد شيء في الخارج، فهو الكل. واللانهائي هو الشيء الغائب عن الشيء، كونه خارجه. "(اللامتناهي) كامل ومحدود لا بذاته، بل بالنسبة إلى آخر، وبما أنه لانهائي، فهو لا يشمل، بل يشمل. لذلك، لا يمكن معرفته باعتباره لانهائيًا، لأن المادة [على هذا النحو] لها ومن ثم، فمن الواضح أن اللانهائي يناسب تعريف الجزء وليس الكل، لأن المادة جزء من الكل، مثل النحاس بالنسبة للتمثال النحاسي، إذا كان يشمل الأشياء الحسية، ففي عالم "يجب على "الكبيرة" و"الصغيرة" الواضحة أن تتضمن [الأفكار] الواضحة، ولكن من السخافة والمستحيل أن يتبنّاها ويحددها غير المدرك" [أرسطو، الأعمال المجمعة، المجلد 3، موسكو، "الفكر"، 1981، ص120. ].

وبالتالي، يعتبر مفهوم اللانهاية في أرسطو مرتبطا ارتباطا وثيقا بالفئات الرئيسية لفلسفته: الشكل - المادة، الإمكانية - الواقع، الجزء - الكل. في هذا السياق، لا يتعارض مفهوم AB مع مفهوم PB، ولكنه لا يمكن تصوره على الإطلاق من وجهة نظر المنطق الأرسطي. إن PB المتناقض هو بالأحرى مفهوم المحدود، كعلاقة بين غير المحدد والمحدد. إذا تم النظر في PB في سياق الجزء - الكل، فإن تعريف الجزء أكثر ملاءمة له. ثم فيما يتعلق به، فإن مفهوم الكل أكثر انسجاما مع اللانهائي في الواقع. في هذه الحالة، PB هو مفهوم تابع لمفهوم AB. هذا هو بالضبط ما فسره ج. كانتور نفسه.

وهكذا، بالنسبة لأرسطو، لا يمكن للمرء أن يتحدث عن اللانهاية إلا بالمعنى الوحيد PB. المفهوم الذي لم يتم الاعتراف به كمفهوم لا يمكن أن يرتبط به، أي. أ.ب. ومفهوم PB في حد ذاته غامض وغير معروف وبدون واقع.

إن هذا الوضع الخاص لمفهوم اللانهاية الذي يتحدث عنه أرسطو هو الذي لا يسمح بتطبيق العمليات التقليدية للمنطق الرسمي عليه. إن مفهوم PB ليس كائنًا رياضيًا بالمعنى الدقيق للكلمة.

حقيقة أن مفهوم اللانهاية لا ينتمي، بالمعنى الدقيق للكلمة، إلى الرياضيات ينبع من تعريفات العدد والحجم. ونقدم مرة أخرى تعريف أرسطو. "الكمية هي ما ينقسم إلى أجزاء مركبة، كل منها، سواء كان اثنان أو أكثر، هو بطبيعته شيء واحد وشيء محدد. وكل كمية تكون كثيرة إذا كانت معدودة، ومقداراً إذا كانت قابلة للقياس. المجموعة هي شيء يمكن تقسيمه إلى أجزاء غير متصلة، ويمكن تقسيمها إلى أجزاء متصلة من حيث الحجم... من بين كل هذه الكميات محدودالمجموعة هي رقم محدودطول الخط، محدودالعرض - الطائرة، محدودالعمق هو الجسد" [أرسطو. مرجع سابق. في 4 مجلدات. المجلد الأول م: ميسل، 1976، ص164]. ويترتب على مقطع أرسطو أعلاه أن الموضوع الرئيسي للرياضيات هو مفهوم الحجم والعدد. العدد مجموعة محدودة، والكمية هي مساحة هندسية محدودة (خط، مستوى، جسم). المجموعة غير المحدودة والمساحة غير المحدودة هما اللانهاية، كشكلين من الكمية التي ليس لها حدود أو نهاية أو حد. ولذلك فهي غير محددة، وبالتالي، غير معروفة.

علاوة على ذلك، اللانهاية عند أرسطو هي خاصية التفكير،أولا وقبل كل شيء، وليس موضوع الفيزياء أو الرياضيات. « ومن السخافة أن نثق في التفكير في مسألة اللانهائي، لأن الزائد والنقص (في في هذه الحالة) لا توجد في الموضوع بل في التفكير.بعد كل شيء، يمكن لكل واحد منا أن يتخيل عقليًا أكبر مما هو عليه عدة مرات، مما يزيده إلى ما لا نهاية، ولكن ليس لأن شخصًا ما خارج المدينة أو لديه بعض الضخامة، يعتقد شخص ما ذلك، ولكن لأنه [في الواقع]؛ والحقيقة [أن شخصًا ما يفكر بهذه الطريقة] ستكون [بالنسبة له] ظرفًا عرضيًا" [المرجع نفسه]. إذا كان اللانهائي غير موجود في شيء ما، فما الذي نحدده بديهيًا – نشاط التفكير؟ما علاقة الرياضيات بهذا؟ ففي نهاية المطاف، موضوعها هو الكمية الخالصة: العدد والحجم؟

يبني كانتور مفهوم اللانهاية الفعلية، متبعًا تقليد الفيثاغوريين، الذين، كما يشهد أرسطو، "قاموا بتأليف الكميات من الأعداد". يعتقد كانتور أنه يمكن قياس الكمية المتصلة برقم كمجموعة حقيقية من الوحدات غير القابلة للتجزئة. من الواضح أن مثل هذا النهج غير مقبول على الإطلاق بالنسبة لأرسطو. بالنسبة له، الكمية تنقسم فقط إلى أجزاء قابلة للقسمة. ولذلك، لا يمكن أن تتكون الكمية من غير قابلة للتجزئة. وإلا فإن معضلة زينون حول تناقض الحركة لن يتم حلها، وسيكون من المستحيل أيضًا تفسير إمكانية الحركة واستمرارية الزمان والمكان.

وفقا لبديهية كانتور، وفقا لزينكين، فإنه يترتب على ذلك أنه ينكر اللانهاية المحتملة. لم ينكر كانتور PB فحسب، بل لم يعتبره على الإطلاق لانهائيًا بالفعل. بالنسبة له، PB هي قيمة محدودة متغيرة. علاوة على ذلك، كان يعتقد أنه إذا كنت تتناول PB، فيجب عليك تناول AB.

الاستنتاج هو على النحو التالي. إن بديهيات أرسطو وكانتور، التي صاغها زينكين، لا تعكس الموقف الفعلي تجاه مفهوم PB وAB لأرسطو وكانتور. في كلتا البديهيتين، في بديهية أرسطو (القرن الرابع قبل الميلاد): “جميع المجموعات اللانهائية هي مجموعات لا نهائية محتملة”، وفي بديهية كانتور القائمة والمتناقضة فعليًا (القرن التاسع عشر الميلادي) لأكثر من مائة عام: “كل المجموعات اللانهائية كذلك في الواقع مجموعات لا حصر لها" [انظر أ.أ.زينكين. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]، يتم تعريف المفهوم العام لـ "المجموعة اللانهائية" من خلال نوعه. في بديهية أرسطو - من خلال مجموعات لا نهائية محتملة، في بديهية كانتور - من خلال مجموعات لا نهائية بالفعل. لا يعتبر مفهوم PB أو AB كائنات رياضية بالمعنى الدقيق للكلمة، لأنها موجودة فقط في الإمكانية، وغير معروفة وغير محددة. إن المفهومين AB وPB ليسا عددًا ولا كمية، بل هما من خصائص تفكيرنا العقلاني المجرد.

كل ما سبق ليس له علاقة بذلك الجزء من عمل زينكين الذي أثبت فيه، على أساس المنطق الكلاسيكي، أن نظرية كانتور بشأن عدم إمكانية عد المتوالية غير قابلة للإثبات. أظهر زينكين أن طريقة كانتور القطرية (DMK)، والتي تشكل الأساس لإثبات النظرية، هي نسخة محددة من مثال مضاد معروف جيدًا لفيثاغورس وإقليدس. ومفارقة "الفندق الكبير" الشهيرة التي كتبها د. هيلبرت هي نموذج استنتاجي (بمعنى أ. تارسكي) لدليل DMC على عدم إمكانية عد المتوالية بواسطة ج. كانتور. بناءً على هذا النموذج، يخلص زينكين إلى أن دليل DMC غير صحيح من وجهة نظر المنطق الكلاسيكي. لذلك، لا توجد مجموعات غير معدودة، وجميع المجموعات اللانهائية لها نفس العدد من العناصر. وهكذا، ينهار "تعاليم الترانزيت" الفخمة التي كتبها ج. كانتور.

وبالتالي، فإن الاستنتاج الرئيسي الذي ينشأ من دراسة متأنية للنظرية حول عدم إمكانية عد المتوالية ونظرية كانتور حول الأعداد العابرة للحدود المبنية عليها هو أن زيفها يمكن دحضه بسهولة تامة (كما أوضح أ. أ. زينكين) على أساس منطق أرسطو الكلاسيكي .

وما لا يقل أهمية هو الاستنتاج الأخير. إن نظرية كانتور ليست ظاهرة عرضية في الرياضيات الأوروبية، بل هي نتيجة طبيعية للتعرف على مفهومي العدد والحجم، مما أدى إلى الحساب التدريجي للرياضيات، وتأملها، وتجريدها المفرط.

5. سر اللانهاية المحتملة

هناك سؤال لا يقل أهمية، والذي أثاره زينكين بشكل لا إرادي عند إثبات عدم اتساق نظرية كانتور بشأن عدم إمكانية عد الاستمرارية، ويرتبط ارتباطًا مباشرًا بجوهر اللانهاية المحتملة المعترف بها في الرياضيات.

في عشرينيات القرن العشرين، اقترح ديفيد هيلبرت مفارقة شائعة تسمى "الفندق الكبير" (يشار إليها فيما يلي باختصار بـ GO)، والتي توضح الفرق الأساسي بين المجموعات المحدودة والمجموعات اللانهائية في نظرية المجموعات كانتور (وكذلك في البديهية الحديثة). لن نعرض المفارقة نفسها، لأنها مرهقة إلى حد ما. محتواه هو أنه يوضح بوضوح شديد الخاصية الرئيسية للمجموعات اللانهائية: إذا تمت إضافة مجموعة لا نهائية محدودة أو قابلة للعد إلى مجموعة لا نهائية، فإن أصل المجموعة الأولى لا يتغير.

يوضح زينكين أن دليل DMC على عدم إمكانية عد المتوالية هو نموذج استنتاجي (بمعنى تارسكي) لمفارقة دي هيلبرت GO [A.A. جورج كانتور الجنة العابرة للحدود: قصص الكتاب المقدس على عتبة نهاية العالم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

بعد إثبات أنه في طريقة الحمض النووي، لا يستخدم كانتور AB، ولكن عملية PB، يشير Zenkin إلى أنه لن يعرف أحد حقيقة بيان هذه النظرية، نظرًا لأن العملية اللانهائية لا تحتوي على العنصر الأخير.

أظهر زينكين وجود اللانهاية الفعلية لكانتور ضرورييمثل شرط DMC دليلاً على عدم إمكانية عد السلسلة، في الواقع يحتمل- "الاستدلال" الذي لا نهاية له. "وهذا يثبت ذلك" حاضِر"و"اللانهائي" في إطار نظريات إثبات كانتور حول عدم إمكانية عد الاستمرارية هي (منطقيًا وخوارزميًا) متناقضالمفاهيم ، وبالتالي المفهوم " حاضِر" و " أخير» يتم خوارزميا تطابق"[المرجع نفسه]. وإذا كان هذا بيانًا لا نهاية له، فلا يمكن إثبات حقيقته، لأن العملية التي لا نهاية لها ليس لها عنصر نهائي. يؤكد هذا الاستنتاج الذي توصل إليه Zenkin افتراضنا بأن مفهوم PB يتناقض مع مفهوم المحدود وليس AB.

"هكذا،" يكتب زينكين، " ثبت لأول مرةالبصيرة البديهية العظيمة (والتحذير!) لأرسطو وإقليدس ولايبنتز والعديد من المنطقيين وعلماء الرياضيات والفلاسفة البارزين الآخرين (انظر القائمة 1) الذين " اللانهاية الفعلية" يكون متناقضة داخليامفهوم (شيء مثل " انتهى(بواسطة كانتور) إنفينيتي") وبالتالي فإن استخدامه في الرياضيات غير مقبول" [المرجع نفسه].

لسوء الحظ، فإن إثبات التناقض الداخلي لمفهوم اللانهاية الفعلية (المكتملة، أي الكاملة، المنتهية) هو، إلى حد ما، جهد عقيم، بسبب تناقضه المباشر الواضح. في إطار المنطق الأرسطي الكلاسيكي، هذا مستحيل بكل بساطة. وفي سياق المنطق التأملي (الجدلي) الذي ينكر قانون التناقض، فهذا أمر مقبول تماما.

اكتشف زينكين أيضًا أن الشكل القانوني لبرهان كانتور القطري لنظرية عدم قابلية العد المستمر مطابق للشكل اللانهائي القانوني (A2) لمفارقة الكذاب:

"يقول أحدهم: أنا كاذب." - هل هو كاذب؟ فإن كان كاذبا، فهو يكذب بادعاء الكذب؛ لذلك فهو ليس كاذبا. أما إذا لم يكن كاذبا، فهو صادق عندما يدعي أنه كاذب؛ لذلك فهو كاذب، أو باختصار (هنا أ = "أنا كاذب") و[ØA ® A] (P1)" [المرجع نفسه]

ويشير زينكين أيضًا إلى أن "هذا يثبت أن نمذجة المفارقة الكاذبة ليس على جهاز كمبيوتر تناظري". أن هذه المفارقة ليس لها شكل منتهٍ، بل الشكل اللانهائي التالي A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) ولا توجد أسباب أو أسباب أو أسباب منطقية ورياضية لاكتمال هذا يحتمل- عملية لا نهاية لها" [المرجع نفسه].

ونتيجة لذلك، توصل عالم الرياضيات الروسي إلى نتيجة مثيرة للاهتمام. "يجب التأكيد على أن الشكل اللانهائي (P2) هو الذي يحقق الضروري و كافٍالظروف (بالمعنى المنطقي والرياضي الدقيق) لظاهرة التناقض ذاتها. في هذه الحالة، فإن "الدلالات" الحقيقية لهذه المفارقة ليست على الإطلاق أن عبارة "أنا كاذب" "لا يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة"، ولكن أن هذه العبارة، على العكس من ذلك، هي في نفس الوقت كلا من الصواب والخطأ"في نفس الوقت وفي نفس المكان وبنفس الاحترام." بمعنى آخر، في مفارقة "الكذاب" بالشكل (P2)، يمتزج الصدق والكذب ويختلطان، مما يعني عدم التمييز بين الصدق والكذب" [المرجع نفسه].

من الصعب أن نختلف مع هذا. وفقا لأفلاطون، فإن اللانهائي هو ما له خاصية كمية غير محددة ولا يسمح بتعريف صارم. يسمي اللانهائي "الثنائي غير المحدد"، فهو دائمًا له معنيان ولا يمكنه أن يأخذ معنى واحدًا، ولا يمكنه أن يقرر"... يمكن أن يوجد اللانهائي مثل وجود اليوم أو كمنافسة - بمعنى أنه موجود يصبح دائما مختلفا ومختلفا"[بي بي جايدنكو. تاريخ الفلسفة اليونانية وعلاقتها بالعلم. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

والسؤال الذي يطرح نفسه، ما هو المعنى المنطقي لمفهوم أفلاطون عن اللانهائي كعملية "أن نصبح دائمًا آخر وآخر"؟ في رأينا، فإن مفهوم اللانهاية المحتملة يتضمن ضمنيًا مبدأ ينكر قانون التناقض. وهذا "الآخر وغيره"، بدلاً من "شيء أو آخر"، هو مبدأ عدم اليقين. فإذا صيغ قانون التناقض في تفسير أرسطو على النحو التالي: "من المستحيل أن يكون الشيء نفسه موجودا ولا يكون متأصلا في نفس الشيء وبنفس المعنى"، ففي حالتنا مع تعريف PB، "واحد ونفس الشيء" مطابق في المعنى لمفهوم "الآخر" عند أفلاطون. وبالتالي، فإننا في تعريف أفلاطون نتعامل مع عبارة تنفي قانون التناقض. على سبيل المثال، فكر في سلسلة الأعداد الطبيعية: 1، 2، 3، 4، 5... كمثال على اللانهاية المحتملة. إذا أخذنا أي زوج من الأرقام المتجاورة، فمن المستحيل أن تكون الأنواع الثلاثة لعلاقاتها من حيث الحجم صحيحة: 3 > 4، أو 4 > 3، أو 3 = 4. إذا أخذنا العدد المحدود 4، على سبيل المثال، من حيث حجمه، لا يمكن أن يكون أكبر من نفسه. بينما في سلسلة الأعداد اللانهائية يتغير معنى العدد دائمًا، ولا يمكننا أن نطبق عليه قانون التناقض كقانون اليقين.لذلك، فإن جميع أرقام السلسلة الطبيعية متأصلة بالتساوي في اللانهاية المحتملة: 1، وآخر (2)، وآخر (3)، وآخر (4). ولذلك يجب استبدال علامة الانفصال بعلامة الاقتران. وإدخال قانون الصدفة المعاكسة بدلا من قانون التناقض يؤدي إلى المفارقات. ما هي المفارقة؟ وهذا اقتراح متناقض.

وأخيرا، مثال على مفارقة الكذاب. يقول أحدهم: "أنا أكذب". إذا كان يكذب بشأن ذلكفإنما قاله كذب، ولذلك فهو لا يكذب. إذا كان لا يكذب،ما قاله هو الحقيقة، وبالتالي فهو يكذب. وعلى أية حال، فقد تبين أنه يكذب ولا يكذب في نفس الوقت [كتاب مرجعي للقاموس المنطقي. إن آي. كونداكوف. علوم. م، 1976. ص433]. في هذه المفارقة نحن نتعامل مع انتهاك واعي لقانون التناقض. من المستحيل أن يكذب أحد ولا يكذب في نفس الصدد. وهذا الانتهاك متأصل في بنية المفارقة.

وهكذا، وكما يوضح زينكين، وهذا ما يترتب على تحليل هذه المفارقة استنادا إلى المنطق الكلاسيكي، فإن مخالفة قانون التناقض تكون ضمنية في محتوى مفهوم اللانهاية المحتملة، مما يؤدي إلى ظاهرة التناقض. إذا كنا نتحدث عن سلسلة من الأعداد الطبيعية، فإن كل عدد من الأعداد الطبيعية التي تشكل السلسلة يكون متضمنًا وغير متضمن في السلسلة اللانهائية من الأعداد الطبيعية. أولا، يدخل رقم مثلا 5 عندما نصل إليه أثناء الحساب، ثم يتم تغييره بالرقم 6 وهكذا. إن اليقين يتغير باستمرار، وبالتالي فإن المستحيل وظهور المفارقات أمر ممكن.

إذا كان التناقض والتناقض في هذا المفهوم واضحًا في مفهوم AB، فهو مخفي في مفهوم PB.

لفهم طبيعة PB، من المستحيل تجاهل مفاهيم اللانهاية الحسابية والهندسية. دعونا ننظر إلى هذه المفاهيم بمزيد من التفصيل.

تسلسل الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، …، (1)

يمثل المثال الأول والأكثر أهمية لمجموعة لا نهائية. منذ زمن هيجل، سُميت اللانهاية الحسابية للمتسلسلة الطبيعية 1+1+1+...، بسبب عدم جدواها، باللانهاية "السيئة" أو "الشريرة".

تتكون اللانهاية الهندسية من التقسيم غير المحدود للقطعة إلى النصف. كتب باسكال عن اللانهاية الهندسية ما يلي: “لا يوجد عالم هندسة لا يعتقد أن الفضاء قابل للقسمة على اللانهاية. لا يستطيع الاستغناء عن هذا، كما لا يمكن للإنسان أن يكون بلا روح. ومع ذلك، لا يوجد شخص يفهم قابلية القسمة اللانهائية..." [ أ.ب. ستاخوف تحت لافتة «القسم الذهبي»: اعتراف نجل جندي في الكتيبة الطلابية. الفصل 5. نظرية الخوارزمية للقياس. 5.5. مشكلة اللانهاية في الرياضيات. اللانهاية المحتملة والفعلية. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

في الواقع، هذه مسألة بالغة الأهمية ولا يمكن حلها في إطار نموذج المركزية البشرية السائد حاليًا.

"الانطباع الساذج الأول الذي تتركه الظواهر الطبيعية والمادة،" يكتب د. جيلبرت، "هو الانطباع بوجود شيء مستمر ومستمر. إذا كان أمامنا قطعة معدنية أو حجم معين من السائل، فإن الفكرة تُفرض علينا أنها قابلة للقسمة بشكل لا نهائي، وأنه مهما كانت القطعة صغيرة منها مرة أخرى لها نفس الخصائص. ولكن حيثما تم تحسين طرق البحث في فيزياء المادة بشكل كافٍ، فإننا نواجه حدود هذه القابلية للتجزئة، والتي لا تكمن في نقص تجربتنا، بل في طبيعة الشيء نفسه، بحيث يمكن للمرء أن يدرك بشكل مباشر ميل العلم الحديث إلى التحرر من الصغر اللانهائي؛ الآن سيكون من الممكن مقارنة الأطروحة القديمة "naturanon facit saltus" (الطبيعة لا تقوم بقفزات) مع النقيض: "الطبيعة تقوم بقفزات" [جيلبرت د. حول اللانهائي. مصدر المسح: جيلبرت د. عن اللانهائي //His. أسس الهندسة. - م.ل.، 1948. 491 ص. (مقالة مختصرة من Mathematischen Annalen، المجلد. 95.) – [مصدر إلكتروني]. عنوان URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm ].

"القسمة اللانهائية موجودة فقط في الرياضيات. ولا توجد في أي مكان في الطبيعة، في تجارب الفيزياء والكيمياء - وبالتالي فهي مجرد فكرة رياضية - نتاج تفكير رياضي! لقد سادت فكرة الكون اللانهائي لفترة طويلة قبل كانط وبعده. لكن هذه الفكرة هي الجانب الآخر من محدودية تجربتنا وعملية الإدراك" [المرجع نفسه].

إن خاصية اللانهاية الهندسية باعتبارها قابلية القسمة غير المحدودة لقطعة ما إلى النصف غير قابلة للذوبان في إطار الهندسة، ولكنها تتطلب مشاركة الفلسفة واللاهوت.

أولا، تعبر عملية تقسيم الجزء عن الخاصية الأساسية للتفكير العقلاني - تدمير (تقسيم) الكائن قيد الدراسة. يعمل الفهم بطريقة فاصلة فيما يتعلق بموضوعاته، والتي بفضلها يتحقق اليقين.

ثانيًا. ترجع قابلية القسمة اللانهائية لقطعة ما إلى حقيقة أن القطعة الهندسية هي شكل من أشكال الكمية المستمرة. والكمية في حد ذاتها هي تجريد للأشياء الحسية التي لا علاقة لها بالكيفية.

في العالم المادي الموضوعي لا توجد كمية نقية؛ كل الأشياء لها قياس، وبفضلها تكون متطابقة مع نفسها ومختلفة عن الآخرين. القياس هو الوحدة المباشرة للجودة والكمية. في الجزء الهندسي نحن نتعامل مع الضخامة، أي. وهو مقياس يتجاوز تعريفه النوعي. أي شيء موضوعي له حدود لوجوده النوعي. فإذا هلكوا فقد هلك الشيء نفسه. ولذلك، فإن الشيء المعقول (المحدود) لا يمكن تقسيمه إلى حالة اللانهاية المحتملة (السيئة). إن اليقين النوعي للشيء يقاوم عملية التقسيم هذه. على سبيل المثال، يمكن تقسيم قطعة من الخشب طالما أن القطع من التقسيم تحتفظ بخصائص هذه الشجرة، أي. إلى الحدود الجزيئية لجزيء السليلوز. مزيد من التقسيم لجزيء السليلوز هو عملية تقسيم شيء آخر، وبالتالي فإن عملية تقسيم الخشب لها حد أدنى - جزيئات السليلوز. سيكون للانشطار الجزيئي حد أدنى على المستوى الذري. إن انقسام ذرات معينة من العناصر سيؤدي إلى انقسامها إلى مستوى الأجزاء دون الذرية، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن أي تقسيم للأشياء الموضوعية هو أمر محدود. فإذا نظرنا إلى عملية القسمة دون مراعاة الجودة والقياس، فإن عملية القسمة تصبح حقاً لا نهاية لها. ولكن ماذا نقيس إذن؟ إن تجريد الأشياء المحدودة هو المادة. المادة كشيء موضوعي وحسي (في الواقع الطبيعي الأصلي غير المتغير) ليست موجودة، فهي نفس نتاج الفكر المجرد مثل الجزء الهندسي نفسه.

وبالتالي، فإن كلا من الجزء الهندسي والمادة قابلان للقسمة إلى ما لا نهاية سيئة (محتملة). ولكننا هنا لا نتعامل مع الأشياء المحسوسة الحقيقية، بل مع الكمية المحضة، التي ليس لها قياس في ذاتها، ولذلك فهي تتجاوز حدودها باستمرار. وليس من قبيل المصادفة أن هيجل كتب في “علم المنطق” أن مفهوم الكمية يتضمن الحاجة إلى تجاوز حدوده.

وبالعودة إلى تعريف أرسطو: «الكمية هي ما ينقسم إلى أجزاء مركبة، كل منها، سواء كان اثنان أو أكثر، هو بطبيعته شيء واحد وشيء محدد...» [أرسطو. مرجع سابق. في 4 مجلدات. المجلد 1. م: Mysl، 1976، P.164]، فمن الواضح أن الرياضيات تتعامل مع الكمية النقية، أي. ليس بالكمية الحسية للأشياء المحدودة التي تدرسها الفيزياء، ولكن بكمية مجردة خالصة لا يمكن قياسها - العدد والحجم. لذلك، في الطبيعة الحسية كموضوع للفيزياء لا توجد لانهاية فعلية ولا محتملة. العالم محدود بالمعنى الشامل والمكثف. وليس من قبيل الصدفة أن أرسطو لاحظ ذلك فاللانهائي لا يُعطى للحواس ولا للعقل، ووصفه بأنه مفهوم غير شرعي. لقد رتب الله كل شيء في العالم المخلوق حسب القياس والعدد والحجم (الكتاب المقدس).

في تسلسله الهرمي لأشكال المعرفة، وضع أرسطو، بعد الميتافيزيقا (التي فهم من خلالها اللاهوت بالمعنى الدقيق للكلمة باعتباره علم الأبدية) باعتبارها الفلسفة الأولى، الفيزياء، ثم الرياضيات فقط. وهذا أمر عادل تمامًا، لأن موضوع الرياضيات - الكمية الخالصة - له جذوره في الطبيعة المادية الحسية. وموضوعه هو العدد والمقدار كأشكال من الكمية المجردة. التطور التاريخيأدى الشكل المجرد في الرياضيات إلى حقيقة أن الموضوع الرئيسي لدراسته أصبح مجال الأشياء الرياضية المثالية: العدد، الكمية، النقطة، الخط، المجموعة، وما إلى ذلك، والتي لا تتطابق في كثير من النواحي مع عالم الأشياء المادية الحقيقية . مفهوم اللانهاية المحتملة هو واحد منهم. ولذلك فإن الاستنتاج الذي ينشأ هنا هو أنه أولا، من الضروري أن نفهم بوضوح ميزات وحدود الرياضيات والعلوم الطبيعية. وثانيًا، في دراسة الطبيعة (الفيزياء والبيولوجيا وما إلى ذلك) من الضروري الاعتماد على محتوى الموضوع المباشر والانطلاق منه، وليس من النماذج الرياضية المسبقة. وعلى الرغم من أن تاريخ الرياضيات لديه العديد من الأمثلة على التفاعل العكسي، إلا أن هذه الممارسة لديها العديد من الاستثناءات الأساسية.

6. نظرية الأعداد ونظرية المجموعات بقلم ج. كانتور

"إن موضوع نظرية الأعداد يتزامن مع

موضوع (الدراسة) لجميع الرياضيات."

إيه إم فينوغرادوف

تاريخيًا، حدث تشكيل مفهوم الرقم على أساس التشغيل الرسمي لتعميم (توسيع) الحجم بسبب إدراج أنواع جديدة من الأرقام (المجموعات) في تكوينه.

نشأت الأفكار الأولى حول العدد من عد الأشخاص والحيوانات والفواكه والمنتجات المختلفة وما إلى ذلك. والنتيجة هي الأعداد الطبيعية: 1، 2، 3، 4، ...

عند حساب الأشياء الفردية، يكون الواحد هو أصغر رقم، وليس من الضروري تقسيمه إلى حصص، وفي بعض الأحيان يكون ذلك مستحيلاً، ولكن حتى مع القياسات التقريبية للكميات من الضروري تقسيم 1 إلى حصص. تاريخيًا، كان الامتداد الأول لمفهوم العدد هو إضافة الأعداد الكسرية إلى الأعداد الطبيعية. يرتبط إدخال الأرقام الكسرية بالحاجة إلى إجراء قياسات. وقياس أي كمية هو مقارنتها بأخرى متجانسة معها نوعيا، وتعتبر وحدة قياس. وتتم هذه المقارنة من خلال عملية "تنحية" وحدة قياس على القيمة المقاسة خاصة بطريقة القياس واحتساب عدد هذه التأخيرات. هذه هي الطريقة التي يتم بها قياس الطول عن طريق تخصيص قطعة مأخوذة كوحدة قياس، وكمية السائل - باستخدام وعاء قياس، وما إلى ذلك.

الكسر هو جزء (حصة) من وحدة أو عدة أجزاء متساوية.

يُشار إليه بـ: حيث m وn أعداد صحيحة؛ - تخفيض الكسر. - امتداد. الكسور التي مقامها 10n، حيث n عدد صحيح، تسمى الكسور العشرية.

ضمن الكسور العشرية مكان خاصتحتل الكسور الدورية: - الكسر الدوري النقي، - الكسر الدوري المختلط

مزيد من التوسع في مفهوم العدد يرجع إلى تطور الرياضيات نفسها (الجبر). ديكارت في القرن السابع عشر. يقدم مفهوم العدد السالب، والذي أعطى تفسيره الهندسي باعتباره اتجاه القطع. إن إنشاء ديكارت للهندسة التحليلية، والذي جعل من الممكن النظر في جذور المعادلة كإحداثيات نقاط تقاطع منحنى معين مع محور الإحداثي، تمحى أخيرا الفرق الأساسي بين الجذور الإيجابية والسلبية للمعادلة؛ تبين أن تفسيرهم هو نفسه في الأساس.

تسمى الأعداد الصحيحة (الموجبة والسالبة)، والكسور (الموجبة والسالبة) والصفر أرقامًا منطقية. يمكن كتابة أي عدد نسبي على شكل كسر محدود ودوري.

تبين أن مجموعة الأرقام العقلانية غير كافية لدراسة المتغيرات المتغيرة باستمرار. هنا اتضح أن التوسع الجديد لمفهوم الرقم كان ضروريا، والذي يتمثل في الانتقال من مجموعة الأعداد العقلانية إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (الحقيقية). تم إدخال الأعداد الحقيقية عن طريق إضافة أرقام غير منطقية إلى أرقام منطقية: الأعداد غير المنطقية هي كسور عشرية لا نهائية غير دورية.

ظهرت أرقام غير منطقية عند قياس الأجزاء غير القابلة للقياس (جانب المربع وقطره)، في الجبر - عند استخراج الجذور، مثال على الرقم غير التجاوزي هو π، e.

تعريف واضح لمفهوم العدد الحقيقي قدمه أحد مؤسسي التحليل الرياضي، نيوتن، في "الحساب العام": "من خلال العدد، لا نفهم مجموعة من الوحدات بقدر ما نفهم علاقة مجردة ببعض الكمية إلى كمية أخرى من نفس النوع، نعتبرها وحدة». توفر هذه الصيغة تعريفا موحدا للعدد الحقيقي، العقلاني أو غير العقلاني. في وقت لاحق، في السبعينيات. في القرن التاسع عشر، تم توضيح مفهوم العدد الحقيقي على أساس التحليل العميق لمفهوم الاستمرارية في أعمال R. Dedekind، G. Cantor و K. Weierstrass.

وفقا لديديكيند، فإن خاصية استمرارية الخط المستقيم هي أنه إذا تم تقسيم جميع النقاط التي يتكون منها الخط المستقيم إلى فئتين بحيث تقع كل نقطة من الدرجة الأولى على يسار كل نقطة من الدرجة الثانية (“ "فكسر" السطر إلى قسمين)، فإما في الفئة الأولى في الصنف الثاني أقصى اليمين، أو في الصنف الثاني أقصى اليسار، أي النقطة التي حصل عندها "انقطاع" السطر.

مجموعة جميع الأعداد النسبية لا تمتلك خاصية الاستمرارية. إذا تم تقسيم مجموعة جميع الأعداد النسبية إلى فئتين بحيث يكون كل رقم من الفئة الأولى أقل من كل رقم من الفئة الثانية، فمع مثل هذا القسم ("قسم" ديديكيند) قد يتبين أنه في الفئة الأولى لن يكون هناك عدد أكبر، وفي الثانية - الأقل. سيكون هذا هو الحال، على سبيل المثال، إذا كانت الفئة الأولى تتضمن جميع الأعداد النسبية السالبة، الصفر والكل أرقام إيجابية، ومربعها أقل من اثنين، والثاني - جميع الأرقام الموجبة، ومربعها أكبر من اثنين. يسمى هذا القسم غير عقلاني. ثم يتم تقديم التعريف التالي للرقم غير النسبي: لكل قسم غير نسبي في مجموعة الأرقام النسبية هناك رقم غير نسبي مرتبط، والذي يعتبر أكبر من أي رقم من الدرجة الأولى وأقل من أي رقم من الدرجة العليا . إن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، العقلانية وغير العقلانية، تمتلك بالفعل خاصية الاستمرارية.

يختلف تبرير كانتور لمفهوم العدد الحقيقي عن تبرير ديديكيند، ولكنه يعتمد أيضًا على تحليل مفهوم الاستمرارية. يستخدم تعريفا ديديكيند وكانتور فكرة اللانهاية الفعلية. وهكذا، في نظرية ديديكيند، يتم تحديد العدد غير النسبي عن طريق قسم في مجمل جميع الأعداد النسبية، والتي يُعتقد أنها معطاة ككل.

يمكن رسم جميع الأعداد الحقيقية على خط الأعداد. محور الأعداد (خط الأعداد):

أ) خط أفقي مع الاتجاه المختار عليه؛

ب) الأصل - النقطة 0؛

ج) وحدة الحجم

[الموسوعة السوفيتية الكبرى. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number].

حتى الآن، هناك سبعة مستويات مقبولة عمومًا لتعميم الأرقام: الأعداد الطبيعية، والعقلانية، والحقيقية، والمعقدة، والمتجهة، والمصفوفة، والأعداد العابرة للحدود. يقترح بعض العلماء اعتبار الوظائف أرقامًا وظيفية وتوسيع درجة تعميم الأرقام إلى اثني عشر مستوى

[أنيششينكو إيفجيني ألكساندروفيتش. "الرقم كمفهوم أساسي للرياضيات." – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401 ].

العالم الروسي أوزولين إي. عبر عن فكرة مهمة تنقل بدقة شديدة الجو الفكري الحديث في المجتمع الرياضي. يعلم الجميع أن نظرية الأعداد هي أكثر فروع الرياضيات تعقيدًا وأهمية. ومع ذلك، يبدو أنه تم التغاضي عن نظرية الأعداد. في حين أن التغييرات الطفيفة في هذه النظرية يمكن أن تسبب "عاصفة" في جميع مجالات الرياضيات [Ozolin E.E. (أوز) أكتوبر 2004. مفهوم العدد. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

علاوة على ذلك، - E. E. يكتب أوزولين بمفاجأة، - على الرغم من حقيقة أن الإغريق القدماء لم يعرفوا كل شيء عن الأرقام، فإن الحقيقة الأكثر حزنًا هي أن "علماء الرياضيات المعاصرين (ناهيك عن الآخرين) لديهم مفاهيم ومعرفة يكون الرقم في بعض الأحيان أدنى من ذلك" اليونانية القديمة.

هذا، كما ترى، هراء بالفعل" [المرجع نفسه].

لتأكيد هذا الاعتبار، E. E. يجري أوزولين تحليلا تاريخيا لمبادئ بناء مفهوم العدد ويأتي إلى الاستنتاج التالي. تبني الرياضيات الأوروبية، خاصة منذ القرن الثالث عشر، مفهوم العدد وفق مبدأ تداخل المجالات لطاليس، “أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية مدمجة في مجموعة الأعداد الصحيحة، مجموعة الأعداد الصحيحة مدمجة في مجموعة الأعداد الصحيحة”. مجموعة من الأعداد النسبية، مجموعة الأعداد النسبية مضمنة في مجموعة الأعداد الحقيقية، مجموعة الأعداد الحقيقية مضمنة في مجموعة الأعداد المركبة، وما إلى ذلك)" [المرجع نفسه]. "وعلى الرغم من حقيقة أن كورت جودل، من وجهة نظر المنطق الرسمي (في عام 1931)، وأنا، من وجهة نظر الرياضيات ما بعد الرياضيات، قد أثبتنا وأعدنا منذ فترة طويلة أن البنية المكونة من خمس طبقات للمجالات المتداخلة لا يمكن أن تكون قابلة للمقارنة. كاملة وصحيحة منطقيًا، نواجه مرارًا وتكرارًا "عقائد مدرسية" خاطئة في شكل عبارات يُفترض أنها عادلة مفادها، على سبيل المثال، أن الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من الأعداد العقلانية.

لذلك، أود مرة أخرى أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أن هذا لا يمكن أن يحدث. على سبيل المثال، في إطار الرياضيات، لا يمكننا التحدث إلا عن المساواة الشكلية للرقم الطبيعي 1 (واحد) إلى الرقم المنطقي 1.00 (0) إلى واحد. علاوة على ذلك، فإن المعنى المنطقي والرياضي (والمادي!) لهذه الأرقام مختلف تمامًا. فمثلاً الوحدة الطبيعية هي رقم إذا أضيف إلى رقم موجود يعطي الرقم التالي، والوحدة النسبية هي الرقم الذي إذا ضرب به هذا الرقم لا يغير معناه!!! "كيف يمكن للوحدة أن تغير المعنى" [المرجع نفسه] ؟؟؟

"علاوة على ذلك،" يتابع إي إي أوزولين، "الأعداد الطبيعية والعقلانية تنتمي إلى هياكل معدنية مختلفة تمامًا. لذلك، لا يمكننا حتى التحدث عن العلاقة الرياضية الرسمية بين هذه الأرقام.

للوهلة الأولى، قد يبدو أن المشكلة التي أوضحتها بشأن الفرق المنطقي بين الأعداد الطبيعية والعقلانية "لا تستحق العناء". ومعظم علماء الرياضيات، حتى لو كانوا يتفقون معي، ربما سيقولون إن "الوحدات هي وحدات في أفريقيا، وما الفرق الذي يحدثه المعنى الرياضي والمنطقي الذي يوضع فيها، سواء كان متماثلًا أو مختلفًا" [المرجع نفسه].

لكن مثل هذا الرأي يشكل مفهوما خاطئا كبيرا - "أسطورة ضارة للتعليم المدرسي"، وليس لها أي أساس رياضي أو منطقي. "وبعد الفحص الدقيق والتفصيلي، يتبين أن الاختلاف في المعنى المنطقي للأعداد الطبيعية والعقلانية يستلزم عواقب وخيمة للغاية التطبيق العمليالرياضيات" [المرجع نفسه].

وفي الختام، E. E. يخلص أوزولين إلى الاستنتاج الصريح التالي: " ... الرياضيات علم حر للغاية، ودقة الرياضيات واضحة فقط. في الرياضيات، يمكنك بناء أي من الهياكل البديهية الأكثر روعة، ودراستها، بغض النظر عن مدى كونها مجردة من الواقع ولا معنى لها. بمعنى آخر، اخترع وحاول بما يرضي قلبك. في ما وراء الرياضيات يكاد يكون من المستحيل القيام بذلك، وجميع هياكل ما وراء الرياضيات مرتبطة بطريقة أو بأخرى بالواقع. من المفارقة أن الواقع أكثر ثراءً من "خيالنا"."[المرجع نفسه].

وبالعودة إلى الموضوع المباشر لبحثنا، يمكننا استخلاص النتيجة التالية. جميع أنواع الأرقام ( مجموعات الأرقام) لها طبيعة منطقية وخصائص رياضية مختلفة. ولذلك، فمن غير الصحيح منهجيا بناء نظرية الأعداد عن طريق التعميم المباشر. العلاقة الأساسية لهذا الاستنتاج تتعلق بالأعداد الطبيعية والحقيقية. وحدة الأعداد الطبيعية ووحدة الأعداد الحقيقية لهما أصول مختلفة تمامًا وخصائص رياضية مختلفة. لا يمكنك قياس عدد التفاحات باستخدام المسطرة؛ ومن المستحيل أيضًا قياس طول الطاولة، فقط من خلال معرفة كيفية العد وعدم وجود مسطرة في متناول اليد. من المستحيل اختزال أحدهما إلى الآخر. فوحدة الأولى غير قابلة للتجزئة، في حين أن وحدة الثانية قابلة للتجزئة بالضرورة. الأعداد الصحيحة الطبيعية هي في الواقع أرقام بالمعنى الدقيق للكلمة، في حين تنتمي الأعداد الحقيقية إلى شكل من أشكال الكمية مثل الحجم. إن الخلط بين شكل العدد والكمية، الذي يعود تاريخه إلى الفيثاغوريين، هو المصدر الرئيسي للأزمة الحديثة في الرياضيات وأهم شرط أساسي لحساب الهندسة ونظرية المجموعات لج. كانتور، منذ فكرة ​​إن بناء كائنات رياضية قابلة للقسمة من كائنات غير قابلة للتجزئة يكمن وراء بناء مفهوم اللانهاية الفعلية بواسطة ج. كانتور.

ملاحظة أخرى. علماء الرياضيات المعاصرون لا يفهمون طبيعة العدد فحسب، كما لاحظ إي. أوزولين بشكل صحيح، ولكنهم أيضًا لا يفهمون الطبيعة المنطقية والرياضية للكمية والمفاهيم الأساسية الأخرى للرياضيات (على سبيل المثال، المجموعات).

وهذا على سبيل المثال ما كتبه علماء الرياضيات المشهورون عن الكمية:

"الكمية هي أحد المفاهيم الرياضية الأساسية، التي خضع معناها لعدد من التعميمات مع تطور الرياضيات"، يكتب أ.ن. كولموغوروف [كولموغوروف أ.ن. ضخامة. - مكتب تقييس الاتصالات. - ت 7. - م، 1951. ص 340]. "هذه... النظرية - عقيدة الحجم - ربما تلعب الدور الأكثر أهمية في إثبات جميع الرياضيات"، كتب عالم الرياضيات السوفيتي البارز ف. كاجان [كاجان ف. مقالات عن الهندسة. - م: جامعة موسكو، 1963. ص 109].

دعونا نتناول النقطة الأخيرة، حيث يكون معنى مفهوم الكمية أكثر اتساقًا ووضوحًا. "...بالنسبة لعالم الرياضيات،" كتب V. F. كاجان، "يتم تحديد القيمة بالكامل عند الإشارة إلى العديد من العناصر ومعايير المقارنة" [المرجع نفسه، ص 107]. بمعنى آخر، الكمية هي مجموعة من الأشياء المتجانسة، والتي تسمح لنا مقارنة عناصرها باستخدام مصطلحات "مساوي"، "أكثر"، "أقل". ويطرح سؤال مضاد: إذا قارنا مجموعة معينة من الأعداد الطبيعية بمجموعة معينة أخرى من نفس الأعداد الطبيعية، مثلا الرقم 5 والرقم 7، فهل يمكننا أن نطبق عليهما المصطلحات المذكورة أعلاه؟ السؤال بلاغي. والواقع أن التعريف المقترح لمفهوم الكمية يشير إلى أن مؤلفه لا يميز إطلاقاً بين هذين المفهومين الأساسيين (الأعداد والكميات). كما اشتكى أنصار نظرية المجموعات وكانتور نفسه أيضًا من صعوبة تحديد المفهوم الأساسي لهذه النظرية. يلاحظ E. Ozolin في مقالته أنه من الصعب جدًا تعريف الرياضيات كموضوع [Ozolin E.E. (أوز) أكتوبر 2004. مفهوم العدد. – [المصدر الإلكتروني]. عنوان URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

وللتأكد من أن كل هذه الشكوك لا أساس لها من الصحة، لا بد من العودة مرة أخرى إلى أرسطو، الذي يقدم في عدة تعريفات إجابات شاملة على أسئلتنا.

"الكمية هي ما ينقسم إلى أجزاء مركبة، كل منها، سواء كان اثنان أو أكثر، هو بطبيعته شيء واحد وشيء محدد. وكل كمية تكون مجموعة إذا كانت معدودة، ومقداراً إذا كانت قابلة للقياس. المجموعة هي شيء يمكن تقسيمه إلى أجزاء غير متصلة، من حيث الحجم - إلى أجزاء متصلة... من بين كل هذه الكميات، المجموعة المحدودة هي رقم، والطول المحدود هو الخط، والعرض المحدود هو المستوى، العمق المحدود هو الجسد” [أرسطو. مرجع سابق. في أربعة مجلدات. T.1. الميتافيزيقا. ص164].

من هذه القطعة من أرسطو. نحصل على التعريفات الصارمة التالية.

الرياضيات علم موضوعه هو الكمية الخالصة.

والكمية هي الشيء الذي ينقسم إلى أجزاء مركبة، كل منها، سواء كان اثنان أو أكثر، هو بطبيعته شيء واحد وشيء محدد.

المجموعة هي كمية قابلة للعد، أي. قابلة للتقسيم إلى أجزاء غير متصلة.

الحجم هو الكمية التي يمكن قياسها، أي. مقسمة إلى أجزاء مستمرة

الرقم هو مجموعة محدودة.

الخط - طول محدود.

الطائرة – عرض محدود.

الجسم - عمق محدود.

ومن هذه الأحكام ما يلي:

وحدة العدد ليس لها بعد، فهي وحدة عد، أي. غير قابلة للتجزئة لأننا نحسب فقط بالأعداد الصحيحة.

وحدة الكمية قابلة للقسمة دائمًا.

وحدة العدد هي أنقى أشكال الكمية المجردة، أي. إنه شكل غير مبال بالفضاء الهندسي.

وحدة الكمية هي الكمية الخالصة بالإضافة إلى الفضاء الهندسي.

الفضاء الهندسي هو تجريد للواقع المادي. الواقع المادي لديه اليقين النوعي والامتداد. إذا استخلصنا من اليقين النوعي للواقع المادي، فسنحصل على مساحة هندسية.

من الناحية الرسمية، تعتبر كل من وحدة العدد ووحدة الحجم أرقامًا، لكن جوهر هذه الأرقام وخصائصها الرياضية مختلفان. من المستحيل الحصول على وحدة الحجم من وحدة العدد. بينما يمكن الحصول على عدد خالص من الكمية. للقيام بذلك، من الضروري التجريد من الفضاء الهندسي – البعد. تمت مناقشة هذه النقاط جيدًا في كتاب أرسطو للفيزياء.

وبالتالي، من المستحيل الحصول على كمية من رقم (بالمعنى الدقيق للكلمة). وبما أن موضوع الحساب هو مفهوم العدد، وموضوع الهندسة هو الكمية، فلا يمكن اختزال الهندسة في الحساب. هذه طرق مختلفة لوجود اليقين الكمي للعالم المادي.

وبالتالي، فإن أساس الرياضيات الحديثة هو فكرة خاطئة عميقة - التحديد غير القانوني للعدد والحجم والحساب والهندسة. يعتبر مفهوم الحجم أكثر جوهرية لأنه يمكننا أن نستمد منه مفهوم العدد. بالإضافة إلى ذلك، فإن هذا المفهوم "يربط" الرياضيات بالفيزياء ويخلق عقبات أمام إضفاء الطابع الرسمي غير المبرر والإنشاءات التأملية. ولذلك فإن حساب الهندسة أدى إلى انحطاط موضوع الرياضيات وإضفاء الطابع الرسمي عليه (بورباكيزيشن) ونظرية الأعداد اللامتناهية. الحساب في الرياضيات هو، في جوهره، عملية اختزال موضوع الرياضيات إلى رقم.

المحاضرة 12 : المفاهيم الأساسية لنظرية المجموعات

إن اعتبار النظام كمجموعة من العناصر يجعل من الممكن استخدام جهاز نظرية المجموعات لوصفه الرياضي. علاوة على ذلك، في عدد من الحالات المهمة، يتم وصف الروابط بين العناصر بسهولة باستخدام جهاز المنطق الرياضي.

يعد مفهوم المجموعة أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات والتي يصعب إعطاء تعريف دقيق لها باستخدام المفاهيم الأولية. ولذلك، فإننا سوف نقتصر على شرح وصفي لمفهوم المجموعة.

كثيرعبارة عن مجموعة من الأشياء المحددة التي يمكن تمييزها تمامًا والتي تعتبر كلًا واحدًا. قدم مبتكر نظرية المجموعات، جورج كانتور، التعريف التالي للمجموعة: "المجموعة هي أشياء كثيرة نفكر فيها ككل".

تسمى الكائنات الفردية التي تشكل مجموعة عناصرالجموع.

يُشار إلى المجموعات عادةً بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، ويُشار إلى عناصر هذه المجموعات بأحرف صغيرة من الأبجدية اللاتينية. تتم كتابة المجموعات بين قوسين متعرجين ( ).

من المعتاد استخدام الترميز التالي:

• أ ∈ X - "العنصر أ ينتمي إلى المجموعة X"؛
• أ ∉ X - "العنصر أ لا ينتمي إلى المجموعة X"؛
• ∀ هو مقياس للاعتباطية والعمومية، للدلالة على "أي"، "مهما كان"، "للجميع"؛
• ∃ - مُحدِّد كمية الوجود: ∃y ∈ B - "يوجد (يوجد) عنصر y من المجموعة B"؛
• ∃! — المُحدِّد الكمي للوجود والتفرد: ∃!b ∈ C — "يوجد عنصر فريد b من المجموعة C"؛
• : - "هكذا؛ امتلاك عقار"؛
• → - رمز النتيجة يعني "يستلزم"؛
• ⇔ - المُحدِّد الكمي للتكافؤ، التكافؤ - "ثم وبعد ذلك فقط."

هناك العديد من أخيرو لا نهاية لها. تسمى المجموعات أخير، إذا كان عدد عناصره محدودا، أي. إذا كان هناك عدد طبيعي n، وهو عدد عناصر المجموعة. أ=(أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن). المجموعة تسمى لا نهاية لهاإذا كان يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. ب=(ب 1 ,ب 2 ,ب 3 , ...). على سبيل المثال، مجموعة حروف الأبجدية الروسية هي مجموعة محدودة. مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة لا نهائية.

عدد العناصر في المجموعة المحدودة M يسمى عدد العناصر في المجموعة M ويرمز له بالرمز |M|. فارغمجموعة - مجموعة لا تحتوي على عنصر واحد - ∅. يتم استدعاء المجموعتين متساوي، إذا كانت تتكون من نفس العناصر، أي. هي واحدة ونفس المجموعة. لا تكون المجموعات متساوية X ≠ Y إذا كان X يحتوي على عناصر لا تنتمي إلى Y، أو إذا كان Y يحتوي على عناصر لا تنتمي إلى X. يحتوي رمز المساواة المحدد على الخصائص التالية:

• س=س; - الانعكاسية
• إذا X=Y، Y=X - التماثل
• إذا كان X=Y,Y=Z، فإن X=Z هي العبورية.

ووفقاً لهذا التعريف لمساواة المجموعات، فمن الطبيعي أن نحصل على أن جميع المجموعات الفارغة متساوية مع بعضها البعض، أو ما هو نفسه، أن هناك مجموعة فارغة واحدة فقط.

مجموعات فرعية. علاقة الشمول.

المجموعة X هي مجموعة فرعية من المجموعة Y إذا كان أي عنصر من المجموعة X ∈ أيضًا المجموعة Y. يُشار إليها بـ X⊆Y.

إذا كان من الضروري التأكيد على أن Y يحتوي على عناصر أخرى إلى جانب العناصر من X، فسيتم استخدام رمز التضمين الصارم ⊂: X⊂Y. العلاقة بين الرمزين ⊂ و ⊆ تعطى بواسطة:

X⊂Y ⇔ X⊆Y وX≠Y

دعونا نلاحظ بعض خصائص المجموعة الفرعية التي تتبع التعريف:

1. X⊆Х (الانعكاسية)؛
2. → X⊆Z (العبورية)؛
3. ∅ ⊆ M. من المقبول عمومًا أن المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية من أي مجموعة.

تسمى المجموعة الأصلية A بالنسبة لمجموعاتها الفرعية مكتملتم تعيينه ويشار إليه بـ I.

أي مجموعة فرعية A i من المجموعة A تسمى مجموعة مناسبة من A.

تسمى المجموعة التي تتكون من جميع المجموعات الفرعية للمجموعة المعطاة X والمجموعة الفارغة ∅ منطقية X ويشار إليه بـ β(X). قوة المنطقية |β(X)|=2 n .

مجموعة قابلة للعد- هذه مجموعة A، يمكن ترقيم جميع عناصرها بتسلسل (ربما لا نهائي) a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... بحيث يتلقى كل عنصر رقمًا واحدًا فقط n وكل سيتم إعطاء العدد الطبيعي n كرقم لعنصر واحد فقط من مجموعتنا.

تسمى المجموعة المكافئة لمجموعة الأعداد الطبيعية بالمجموعة المعدودة.

مثال.مجموعة مربعات الأعداد الصحيحة 1، 4، 9، ...، n 2 هي مجرد مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الطبيعية N. المجموعة قابلة للعد، حيث يتم دمجها في تطابق واحد لواحد مع السلسلة الطبيعية وذلك بتعيين رقم ذلك العدد من السلسلة الطبيعية لكل عنصر، أي المربع الذي هو عليه.

هناك طريقتان رئيسيتان لتحديد المجموعات.

• التعداد (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n ));
• الوصف - يشير إلى الخصائص المميزة التي تمتلكها جميع عناصر المجموعة.

يتم تعريف المجموعة بالكامل من خلال عناصرها.

يمكن للتعداد أن يحدد فقط مجموعات محدودة (على سبيل المثال، مجموعة من الأشهر في السنة). لا يمكن تعريف المجموعات اللانهائية إلا من خلال وصف خصائص عناصرها (على سبيل المثال، يمكن تعريف مجموعة الأعداد النسبية من خلال وصف Q=(n/m, m, n∈Z, m≠0).

طرق تحديد مجموعة مع الوصف:

أ) عن طريق تحديد إجراء التوليدللإشارة إلى المجموعة (المجموعات) التي تعمل المعلمة (المعلمات) الخاصة بهذا الإجراء من خلالها - العودية، الاستقرائي.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1, k=1,2,3,...) — مجموعة من أرقام فيبونيتشي.

(مجموعة من العناصر x بحيث x 1 =1، x 2 =1 واختياري x k+1 (لـ k=1,2,3،...) يتم حسابها بواسطة الصيغة x k+2 =x k + x ك+1) أو X=)