مستوى اول

الوسيط. دليل مرئي (2019)

1. ما هو الوسيط؟

انه بسيط جدا!

خذ المثلث:

ضع علامة على المنتصف على أحد جوانبه.

والاتصال بالقمة المقابلة!

الخط الناتج وهناك وسيط.

2. خصائص الوسيط.

ماذا خصائص جيدةهل يملك الوسيط؟

1) دعونا نتخيل أن المثلث هو مستطيلي.هناك مثل هذه الأشياء، أليس كذلك؟

لماذا؟؟؟ ما علاقة الزاوية اليمنى بالموضوع؟

دعونا نشاهد بعناية. ليس مثلثاً فحسب، بل مستطيلاً. لماذا تسأل؟

لكنك تمشي على الأرض، فهل تراها مستديرة؟ لا، بالطبع، للقيام بذلك عليك أن تنظر إلى الأرض من الفضاء. لذلك سوف ننظر إلى مثلثنا القائم "من الفضاء".

لنرسم قطريًا:

هل تتذكر أن أقطار المستطيل متساويو يشاركنقطة التقاطع في النصف؟ (إذا كنت لا تتذكر، انظر إلى الموضوع)

وهذا يعني أن نصف القطر الثاني لنا الوسيط. الأقطار متساوية، ونصفيها أيضًا بالطبع. هذا ما سنحصل عليه

لن نثبت هذا البيان، ولكن لكي تصدقه، فكر بنفسك: هل هناك أي متوازي أضلاع آخر بأقطار متساوية غير المستطيل؟ بالطبع لا! حسنًا، هذا يعني أن الوسيط يمكن أن يساوي نصف ضلع فقط في المثلث القائم الزاوية.

دعونا نرى كيف تساعد هذه الخاصية في حل المشكلات.

هنا، مهمة:
إلى الجانبين . مرسومة من الأعلى الوسيط. ابحث عما إذا.

مرحا! يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس! ترى كم هو عظيم؟ لو لم نعرف ذلك الوسيطيساوي نصف الجانب

نطبق نظرية فيثاغورس:

2) والآن دعونا لا نحصل على واحدة فقط، بل كاملة ثلاثة وسطاء! كيف يتصرفون؟

تذكر كثيرا حقيقة مهمة:

صعب؟ انظر الى الصورة:

المتوسطات وتتقاطع عند نقطة واحدة.

و....(نثبت هذا في، ولكن في الوقت الراهن يتذكر!):

• - ضعف ما تستطيع؛
• - ضعف ما تستطيع؛
• - ضعف ما تستطيع.

هل أنت متعب بعد؟ هل ستكون قوياً بما يكفي للمثال التالي؟ والآن سنطبق كل ما تحدثنا عنه!

مهمة: في المثلث يتم رسم المتوسطات و التي تتقاطع عند نقطة ما. ابحث عما إذا

دعونا نجد باستخدام نظرية فيثاغورس:

والآن دعونا نطبق المعرفة المتعلقة بنقطة تقاطع المتوسطات.

دعونا نحدد ذلك. المقطع، أ. إذا كان كل شيء غير واضح، انظر إلى الصورة.

لقد وجدنا ذلك بالفعل.

وسائل، ؛ .

في المشكلة سئلنا عن قطعة.

في تدويننا.

إجابة: .

احب؟ حاول الآن تطبيق معرفتك حول الوسيط بنفسك!

الوسيط. مستوى متوسط

1. يقسم الوسيط الجانب إلى نصفين.

هذا كل شئ؟ أو ربما تقسم شيئًا آخر إلى النصف؟ تخيل ذلك!

2. النظرية: الوسيط يقسم المساحة إلى نصفين.

لماذا؟ دعونا نتذكر أكثر نموذج بسيطمساحة المثلث .

ونطبق هذه الصيغة مرتين!

انظر، الوسيط ينقسم إلى مثلثين: و. لكن! لهما نفس الارتفاع -! فقط عند هذا الارتفاع يسقط إلى الجانب، وعند - على الجانب الاستمرار. والمثير للدهشة أن هذا يحدث أيضًا: المثلثات مختلفة ولكن الارتفاع هو نفسه. والآن سوف نطبق الصيغة مرتين.

ماذا يعني هذا؟ انظر الى الصورة. في الواقع، هناك عبارتان في هذه النظرية. هل لاحظت هذا؟

البيان الأول:المتوسطات تتقاطع عند نقطة واحدة.

البيان الثاني:يتم تقسيم نقطة تقاطع الوسيط بنسبة، بدءًا من قمة الرأس.

دعونا نحاول كشف سر هذه النظرية:

دعونا نربط النقاط و. ماذا حدث؟

الآن لنرسم خطًا وسطًا آخر: حدد المنتصف - ضع نقطة، حدد المنتصف - ضع نقطة.

الآن - الخط الأوسط. إنه

1. موازي؛

لاحظت أي مصادفة؟ وكلاهما متوازيان. و و.

ماذا يتبع من هذا؟

1. موازي؛

بالطبع، فقط لمتوازي الأضلاع!

وهذا يعني أنه متوازي الأضلاع. وماذا في ذلك؟ دعونا نتذكر خصائص متوازي الأضلاع. على سبيل المثال، ماذا تعرف عن أقطار متوازي الأضلاع؟ هذا صحيح، لقد قسموا نقطة التقاطع إلى النصف.

دعونا نلقي نظرة على الرسم مرة أخرى.

أي أن الوسيط مقسم بالنقاط إلى ثلاثة أجزاء متساوية. ونفس الشيء بالضبط.

وهذا يعني أنه تم فصل كلا المتوسطين بنقطة في النسبة، أي و.

ماذا سيحدث للمتوسط ​​الثالث؟ دعونا نعود إلى البداية. يا إلهي؟! لا، الآن سيكون كل شيء أقصر بكثير. دعونا نتخلص من الوسيط ونقوم بالوسيط و.

تخيل الآن أننا قمنا بنفس المنطق تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمتوسطات و. ماذا بعد؟

اتضح أن الوسيط سوف يقسم الوسيط بنفس الطريقة تمامًا: بالنسبة، العد من النقطة.

ولكن ما عدد النقاط التي يمكن أن توجد على القطعة التي تقسمها بنسبة، اعتبارًا من النقطة؟

بالطبع واحد فقط! وقد رأينا ذلك بالفعل - هذه هي النقطة.

ماذا حدث في النهاية؟

لقد مر الوسيط بالتأكيد! مرت جميع الوسائط الثلاثة من خلاله. وكان الجميع منقسمين في المواقف، العد من الأعلى.

لذلك قمنا بحل (أثبتنا) النظرية. وتبين أن الحل هو متوازي أضلاع يقع داخل مثلث.

4. صيغة للطول المتوسط

كيف تجد طول الوسيط إذا كانت الجوانب معروفة؟ هل أنت متأكد أنك بحاجة إلى هذا؟ دعونا فتح سر رهيب: هذه الصيغة ليست مفيدة جدا. ولكن مع ذلك، سنكتبه، لكننا لن نثبته (إذا كنت مهتمًا بالإثبات، فراجع المستوى التالي).

كيف يمكننا أن نفهم لماذا يحدث هذا؟

دعونا نشاهد بعناية. ليس مثلثًا فحسب، بل مستطيلًا.

لذلك دعونا نفكر في المستطيل.

هل لاحظت أن المثلث الذي لدينا هو بالضبط نصف هذا المستطيل؟

لنرسم قطريًا

هل تتذكر أن قطري المستطيل متساويان وينصفان نقطة التقاطع؟ (إذا كنت لا تتذكر، انظر إلى الموضوع)
لكن أحد الأقطار هو الوتر! وهذا يعني أن نقطة تقاطع القطرين هي منتصف الوتر. كان يسمى لنا.

وهذا يعني أن نصف القطر الثاني هو الوسيط. الأقطار متساوية، ونصفيها أيضًا بالطبع. هذا ما سنحصل عليه

علاوة على ذلك، فإن هذا يحدث فقط في المثلث القائم الزاوية!

لن نثبت هذا البيان، ولكن لكي تصدقه، فكر بنفسك: هل هناك أي متوازي أضلاع آخر بأقطار متساوية غير المستطيل؟ بالطبع لا! حسنًا، هذا يعني أن الوسيط يمكن أن يساوي نصف ضلع فقط في المثلث القائم الزاوية. دعونا نرى كيف تساعد هذه الخاصية في حل المشكلات.

ها هي المهمة:

إلى الجانبين . يتم رسم الوسيط من قمة الرأس. ابحث عما إذا.

مرحا! يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس! ترى كم هو عظيم؟ إذا لم نكن نعرف أن الوسيط هو نصف الجانب فقط في المثلث الأيمن، لا توجد طريقة يمكننا من خلالها حل هذه المشكلة. والآن نستطيع!

نطبق نظرية فيثاغورس:

الوسيط. باختصار عن الأشياء الرئيسية

1. يقسم الوسيط الجانب إلى نصفين.

2. النظرية: الوسيط يقسم المساحة إلى النصف

4. صيغة للطول المتوسط

نظرية العكس:إذا كان الوسيط يساوي نصف طول الضلع، فإن المثلث قائم الزاوية ويتم رسم هذا الوسيط إلى الوتر.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدة، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 999 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

في الحالة الثانية سنقدم لكممحاكي “6000 مسألة مع الحلول والأجوبة، لكل موضوع، بجميع مستويات التعقيد”. سيكون بالتأكيد كافيًا لوضع يديك على حل المشكلات المتعلقة بأي موضوع.

في الواقع، هذا أكثر بكثير من مجرد محاكاة - برنامج تدريبي كامل. إذا لزم الأمر، يمكنك أيضًا استخدامه مجانًا.

يتم توفير الوصول إلى جميع النصوص والبرامج طوال فترة وجود الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

ملحوظة. في هذا الدرسيضع المواد النظريةوحل المسائل الهندسية في موضوع "الوسيط في المثلث القائم الزاوية". إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير موجودة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. ومن المؤكد تقريبا أن يتم استكمال الدورة.

خصائص الوسيط مثلث قائم

تحديد الوسيط

• تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة وتنقسم عند هذه النقطة إلى قسمين بنسبة 2:1، من رأس الزاوية. تُسمى نقطة تقاطعها بمركز ثقل المثلث (نادرًا ما يتم استخدام مصطلح "النقطه الوسطى" للإشارة إلى هذه النقطة في المشكلات) ،
• يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في الحجم.
• يقسم المثلث على ثلاثة متوسطات إلى ستة مثلثات متساوية.
• الجانب الأكبر من المثلث يتوافق مع الوسيط الأصغر.

تستخدم المشكلات الهندسية المقترحة للحل بشكل أساسي ما يلي خصائص متوسط ​​المثلث القائم الزاوية.

• مجموع مربعات المتوسطات المسقطة على أرجل المثلث القائم يساوي خمسة مربعات من المتوسطات المسقطة على الوتر (الصيغة 1)
• انخفض الوسيط إلى وتر المثلث القائم الزاوية يساوي نصف الوتر(الصيغة 2)
• متوسط ​​الوتر في المثلث القائم هو يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة بهاإعطاء مثلث قائم الزاوية (الصيغة 2)
• انخفض الوسيط إلى الوتر يساوي نصف الجذر التربيعي لمجموع مربعي الساقين(الصيغة 3)
• الوسيط المخفض إلى الوتر يساوي حاصل قسمة طول الساق على جيبي الزاوية الحادة المقابلة للساق (الصيغة 4)
• الوسيط المخفض إلى الوتر يساوي حاصل قسمة طول الساق على جيبي التمام للزاوية الحادة المجاورة للساق (الصيغة 4)
• مجموع مربعات أضلاع المثلث القائم الزاوية يساوي ثمانية مربعات من الوسيط المسقط إلى الوتر (الصيغة 5)

التدوين في الصيغ:

أ، ب- أرجل المثلث الأيمن

ج- الوتر في المثلث الأيمن

إذا أشرنا إلى المثلث بالرمز ABC، إذن

قبل الميلاد = أ

(إنه الجانبين أ، ب، ج- تكون متقابلة للزوايا المتناظرة)

م أ- الوسيط المرسوم على الساق أ

م ب- الوسيط المرسوم على الساق ب

م ج - متوسط ​​المثلث الأيمن، مرسومة إلى الوتر مع

ألفا (ألفا)- زاوية الكابينة المقابلة للجانب أ

مشكلة حول الوسيط في المثلث القائم

متوسطات المثلث القائم المرسوم على الساقين تساوي 3 سم و 4 سم على التوالي. أوجد وتر المثلث

حل

قبل البدء في حل المشكلة، دعونا ننتبه إلى نسبة طول الوتر في المثلث القائم الزاوية والوسيط الذي ينخفض ​​عليه. للقيام بذلك، دعونا ننتقل إلى الصيغ 2، 4، 5 خصائص الوسيط في المثلث القائم. تشير هذه الصيغ بوضوح إلى نسبة الوتر إلى الوسيط، والتي تم تخفيضها عليها من 1 إلى 2. لذلك، لتسهيل الحسابات المستقبلية (والتي لن تؤثر على صحة الحل بأي شكل من الأشكال، ولكنها ستجعله أكثر دقة) ملائم)، نشير إلى أطوال الأرجل AC وBC بالمتغيرين x وy كـ 2x ​​و2y (وليس x وy).

النظر في المثلث الأيمن ADC. الزاوية C صحيحة حسب شروط المشكلة، والضلع AC مشترك مع المثلث ABC، والضلع CD يساوي نصف BC حسب خواص الوسيط. ثم حسب نظرية فيثاغورس

أس 2 + سي دي 2 = م 2

بما أن AC = 2x، CD = y (بما أن الوسيط يقسم الساق إلى جزأين متساويين)، إذن
4س 2 + ص 2 = 9

في الوقت نفسه، ضع في اعتبارك المثلث القائم الزاوية EBC. كما أن لها زاوية قائمة C وفقًا لشروط المشكلة، فالضلع BC مشترك مع الضلع BC للمثلث الأصلي ABC، والساق EC، حسب خاصية الوسيط، يساوي نصف الضلع AC للمثلث الأصلي اي بي سي.
وفقا لنظرية فيثاغورس:
إي سي 2 + بي سي 2 = بي إي 2

بما أن EC = x (الوسيط يقسم الساق إلى نصفين)، BC = 2y، إذن
× 2 + 4ص 2 = 16

بما أن المثلثات ABC وEBC وADC متصلة بأضلاع مشتركة، فإن المعادلتين الناتجتين مرتبطتان أيضًا.
دعونا نحل نظام المعادلات الناتج.
4س 2 + ص 2 = 9
× 2 + 4ص 2 = 16

الوسيط هو القطعة الممتدة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، أي أنه يقسمها إلى نصفين عند نقطة التقاطع. النقطة التي يتقاطع عندها الوسيط مع الجانب المقابل للرأس الذي يخرج منه تسمى القاعدة. يمر كل وسيط في المثلث بنقطة واحدة تسمى نقطة التقاطع. يمكن التعبير عن صيغة طوله بعدة طرق.

صيغ للتعبير عن طول الوسيط

• في كثير من الأحيان، في المسائل الهندسية، يتعين على الطلاب التعامل مع قطعة مثل متوسط ​​المثلث. يتم التعبير عن صيغة طوله من حيث الجوانب:

حيث a وb وc هي الجوانب. علاوة على ذلك، c هو الجانب الذي يقع عليه الوسيط. هذا هو ما يبدو عليه الأمر صيغة بسيطة. في بعض الأحيان تكون متوسطات المثلث مطلوبة لإجراء العمليات الحسابية المساعدة. هناك صيغ أخرى.

• إذا تم أثناء الحساب معرفة جانبين للمثلث وزاوية معينة α تقع بينهما، فسيتم التعبير عن طول متوسط ​​المثلث، الذي تم تخفيضه إلى الجانب الثالث، على النحو التالي.

الخصائص الأساسية

• جميع المتوسطات لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة O ويتم تقسيمها عليها بنسبة اثنين إلى واحد، إذا تم حسابها من الرأس. وتسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث.
• يقسم الوسيط المثلث إلى قسمين آخرين مساحتهما متساوية. تسمى هذه المثلثات متساوية المساحة.
• إذا رسمنا جميع المتوسطات، فسيتم تقسيم المثلث إلى 6 أرقام متساوية، والتي ستكون أيضًا مثلثات.
• إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة متساوية، فإن كل متوسط ​​سيكون أيضًا ارتفاعًا ومنصفًا، أي عموديًا على الجانب الذي يرسم عليه، وينصف الزاوية التي يخرج منها.
• في مثلث متساوي الساقينالوسيط الذي يسقط من قمة مقابلة لجانب لا يساوي أي جانب آخر سيكون أيضًا ارتفاعًا ومنصفًا. المتوسطات المسقطة من القمم الأخرى متساوية. وهذا أيضًا شرط ضروري وكافي لتساوي الساقين.
• إذا كان المثلث هو القاعدة الهرم المنتظم، ثم يتم إسقاط الارتفاع الذي تم تخفيضه إلى قاعدة معينة إلى نقطة تقاطع جميع المتوسطات.

• في المثلث القائم، الوسيط المرسوم على الضلع الأطول يساوي نصف طوله.
• دع O تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث. ستكون الصيغة أدناه صحيحة لأي نقطة M.

• متوسط ​​المثلث له خاصية أخرى. فيما يلي صيغة مربع طوله من خلال مربعات الجوانب.

خصائص الجوانب التي يرسم عليها الوسيط

• إذا قمت بتوصيل أي نقطتين من نقاط تقاطع المتوسطات مع الجوانب التي تم إسقاطها عليها، فسيكون الجزء الناتج هو خط الوسط للمثلث ويكون نصف جانب المثلث الذي لا توجد به نقاط مشتركة.
• تقع قواعد الارتفاعات والمتوسطات في المثلث، وكذلك نقاط منتصف القطع التي تربط رؤوس المثلث بنقطة تقاطع الارتفاعات، على نفس الدائرة.

في الختام، من المنطقي أن نقول إن أحد أهم القطع هو متوسط ​​المثلث. ويمكن استخدام صيغته لإيجاد أطوال أضلاعه الأخرى.

1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبيةمثلث.

3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

خصائص منصفات المثلث

1. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية.

2. منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الأضلاع المجاورة: .

3. نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة المحصورة في هذا المثلث.

خصائص ارتفاعات المثلث

1. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم من الرأس زاوية مستقيمة، ويقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

2. ب مثلث حاد الزواياارتفاعاه قطعا نفس الشيء مثلثات.

خصائص المنصفات العمودية للمثلث

1. كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة. والعكس صحيح أيضًا: فكل نقطة متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي عليها.

2. نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة المرسومة على جانبي المثلث هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث.

خاصية خط الوسط للمثلث

خط الوسط للمثلث يوازي أحد أضلاعه ويساوي نصف ذلك الضلع.

تشابه المثلثات

مثلثين مشابهإذا كان أحد ما يلي صحيحا وفقا للشروط، مُسَمًّى علامات التشابه:

· زاويتان لمثلث واحد تساوي زاويتين لمثلث آخر.

· يتناسب ضلعان في مثلث مع ضلعين في مثلث آخر، وتكون الزوايا المتكونة من هذين الضلعين متساوية؛

· ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تتناسب على التوالي مع ثلاثة أضلاع لمثلث آخر.

في المثلثات المتشابهة، تكون الخطوط المتناظرة (الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وما إلى ذلك) متناسبة.

نظرية الجيب

نظرية جيب التمام

2= ب 2+ ج2- 2قبل الميلادكوس

صيغ منطقة المثلث

1. المثلث الحر

أ، ب، ج -الجانبين. - الزاوية بين الجانبين أو ب; - نصف محيط؛ ص-نصف قطر الدائرة المقيدة؛ ص-نصف قطر الدائرة المنقوشة س-مربع؛ ح أ -الارتفاع المرسوم عليه جانب أ.

س = آه أ

S = أب الخطيئة

س = العلاقات العامة

2. مثلث قائم

أ، ب -الساقين. ج-الوتر. ح ج -الارتفاع المرسوم على الجانب ج.

S = الفصل ج S = أب

3. مثلث متساوي الاضلاع

رباعيات

خصائص متوازي الأضلاع

· تساوي الجانبين المتقابلين؛

· الزوايا المتقابلة متساوية؛

· تنقسم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

· مجموع الزوايا المجاورة لأحد الجانبين هو 180 درجة؛

مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع جوانبها:

د 1 2 + د 2 2 =2(أ 2 + ب 2).

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا:

1. أن ضلعيه المتقابلين متساويان ومتوازيان.

2. الجوانب المتقابلة متساوية في الأزواج.

3. الزوايا المتقابلة متساوية في الأزواج.

4. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

خصائص شبه منحرف

· خط وسطه يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

· إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين فإن أقطاره متساوية وزوايا القاعدة متساوية؛

· إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين فيمكن وصف دائرة حوله؛

· إذا كان مجموع القواعد يساوي مجموع الأضلاع فيمكن كتابة دائرة فيه.

خصائص المستطيل

الأقطار متساوية.

متوازي الأضلاع يكون مستطيلاً إذا:

1. أن تكون إحدى زواياه مستقيمة.

2. أقطارها متساوية.

خصائص المعين

· جميع خصائص متوازي الأضلاع.

الأقطار متعامدة.

الأقطار هي منصفات زواياه.

1. يكون متوازي الأضلاع معينًا إذا:

2. ضلعاه المتجاوران متساويان.

3. قطراه متعامدان.

4. أحد القطرين هو منصف زاويته.

خصائص المربع

· جميع أركان المربع صحيحة؛

· أقطار المربع متساوية ومتعامدة، ونقطة التقاطع تنصف وتنصف زوايا المربع.

المستطيل هو مربع إذا كان لديه أي خصائص المعين.

الصيغ الأساسية

1. أي شكل رباعي محدب
د 1,د 2 -الأقطار. - الزاوية بينهما؛ س-مربع.

س = د 1 د 2 خطيئة

المثلث هو مضلع له ثلاثة أضلاع، أو خط مغلق متقطع له ثلاث وصلات، أو شكل مكون من ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم (انظر الشكل 1).

العناصر الأساسية للمثلث ABC

القمم - النقاط أ، ب، ج؛

حفلات - المقاطع a = BC، وb = AC، وc = AB التي تربط القمم؛

الزوايا - α، β، γ مكونة من ثلاثة أزواج من الجوانب. غالبًا ما يتم تحديد الزوايا بنفس طريقة تسمية الرءوس، بالأحرف A وB وC.

والزاوية التي تتكون من أضلاع المثلث والواقعة في باطنه تسمى زاوية داخلية، والمجاورة لها هي الزاوية المجاورة للمثلث (2، ص 534).

الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط في المثلث

بالإضافة إلى العناصر الرئيسية في المثلث، يتم أيضًا أخذ الأجزاء الأخرى ذات الخصائص المثيرة للاهتمام في الاعتبار: الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وخطوط الوسط.

ارتفاع

ارتفاعات المثلث- هي عموديات تسقط من رؤوس المثلث إلى الجانبين المتقابلين.

لرسم الارتفاع، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) ارسم خطًا مستقيمًا يحتوي على أحد أضلاع المثلث (إذا كان الارتفاع مرسومًا من رأس زاوية حادة في مثلث منفرج)؛

2) من الرأس الواقع مقابل الخط المرسوم، ارسم قطعة من النقطة إلى هذا الخط، وصنع زاوية قدرها 90 درجة معها.

تسمى نقطة تقاطع الارتفاع مع جانب المثلث قاعدة الارتفاع (انظر الشكل 2).

خصائص ارتفاعات المثلث

في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

في المثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.

إذا كان المثلث حادا فإن جميع قواعد الارتفاعات تنتمي إلى أضلاع المثلث، وفي المثلث المنفرج يقع ارتفاعان على استمرار الجانبين.

ثلاثة ارتفاعات في مثلث حاد تتقاطع عند نقطة واحدة وتسمى هذه النقطة مركز تقويم العظام مثلث.

الوسيط

الوسطاء(من اللاتينية mediana – "الوسطى") - هذه هي الأجزاء التي تربط رؤوس المثلث بنقاط منتصف الجوانب المقابلة (انظر الشكل 3).

لتكوين الوسيط يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) العثور على منتصف الجانب؛

2) قم بتوصيل النقطة التي تقع في منتصف جانب المثلث بالرأس المقابل بقطعة.

خصائص متوسطات المثلث

يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتبارًا من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبية مثلث.

يتم تقسيم المثلث بأكمله بواسطة متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

منصف

منصفات(من اللاتينية مكرر - مرتين وسيكو - قطع) هي قطع الخط المستقيم المحاطة داخل المثلث الذي يشطر زواياه (انظر الشكل 4).

لبناء منصف، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1) إنشاء شعاع يخرج من رأس الزاوية وتقسيمه إلى قسمين متساويين (منصف الزاوية).

2) العثور على نقطة تقاطع منصف زاوية المثلث مع الجانب المقابل؛

3) حدد القطعة التي تربط قمة المثلث بنقطة التقاطع على الجانب الآخر.

خصائص منصفات المثلث

منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة تساوي النسبة بين الضلعين المتجاورين.

تتقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث عند نقطة واحدة. تسمى هذه النقطة مركز الدائرة المنقوشة.

منصفات الزوايا الداخلية والخارجية متعامدة.

إذا كان منصف زاوية خارجية للمثلث يتقاطع مع امتداد الضلع المقابل فإن ADBD=ACBC.

منصفات واحدة داخلية واثنين زوايا خارجيةالمثلثات تتقاطع عند نقطة واحدة. وهذه النقطة هي مركز إحدى دوائر هذا المثلث الثلاثة.

أساسات منصفات الزاويتين الداخلية والخارجية للمثلث تقع على نفس الخط المستقيم إذا كان منصف الزاوية الخارجية غير موازي للضلع المقابل للمثلث.

إذا كانت منصفات الزوايا الخارجية للمثلث غير متوازية الأطراف المقابلة، فإن قاعدتيهما تقعان على نفس الخط المستقيم.