Tesseract عبارة عن مكعب فائق رباعي الأبعاد - مكعب في الفضاء رباعي الأبعاد.
وفقا لقاموس أكسفورد، فإن كلمة tesseract تم صياغتها واستخدامها في عام 1888 من قبل تشارلز هوارد هينتون (1853-1907) في كتابه عهد جديدأفكار". وفي وقت لاحق، أطلق بعض الناس على نفس الشكل اسم المكعب الرباعي (باليونانية τετρα - أربعة) - مكعب رباعي الأبعاد.
يتم تعريف التسراكت العادي في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد على أنه بدن محدب من النقاط (±1، ±1، ±1، ±1). بمعنى آخر يمكن تمثيلها بالمجموعة التالية:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = يقتصر tesseract على ثمانية مستويات زائدة x_i= +- 1, i=1,2,3,4 ، تقاطعها حيث أن التسراكت نفسه يعرفه بأوجه ثلاثية الأبعاد (وهي عبارة عن مكعبات عادية) ويتقاطع كل زوج من الوجوه ثلاثية الأبعاد غير المتوازية لتشكل وجوهًا ثنائية الأبعاد (مربعات)، وهكذا، في النهاية، يحتوي التسراكت على 8 ثلاثي الأبعاد الوجوه، 24 وجهًا ثنائي الأبعاد، 32 حرفًا و16 رأسًا.
وصف شعبي
دعونا نحاول أن نتخيل كيف سيبدو المكعب الفائق دون ترك مساحة ثلاثية الأبعاد.
في "مساحة" أحادية البعد - على الخط - نختار قطعة AB بطول L. على مستوى ثنائي الأبعاد على مسافة L من AB، نرسم قطعة DC موازية لها ونربط طرفيها. والنتيجة هي CDBA مربع. وبتكرار هذه العملية مع المستوى، نحصل على ثلاثة مكعب القياس CDBAGHFE. وبإزاحة المكعب في البعد الرابع (عموديًا على الأبعاد الثلاثة الأولى) مسافة L، نحصل على المكعب الفائق CDBAGHFEKLJIOPNM.
يعمل الجزء أحادي البعد AB كجانب للمربع CDBA ثنائي الأبعاد، والمربع - كجانب للمكعب CDBAGHFE، والذي، بدوره، سيكون جانب المكعب الفائق رباعي الأبعاد. القطعة المستقيمة لها نقطتان حدوديتان، والمربع له أربعة رؤوس، والمكعب له ثمانية. في المكعب الفائق رباعي الأبعاد، سيكون هناك 16 رأسًا: 8 رؤوس من المكعب الأصلي و8 رؤوس منزاحة في البعد الرابع. يحتوي على 32 حرفًا - 12 منها تعطي الموضع الأولي والنهائي للمكعب الأصلي، و8 حواف أخرى "ترسم" رؤوسه الثمانية، التي انتقلت إلى البعد الرابع. يمكن تطبيق نفس المنطق على وجوه المكعب الزائد. في الفضاء ثنائي الأبعاد يوجد واحد فقط (المربع نفسه)، والمكعب به 6 وجوه (وجهان من المربع المتحرك وأربعة أخرى تصف جوانبه). يحتوي المكعب الفائق رباعي الأبعاد على 24 وجهًا مربعًا - 12 مربعًا من المكعب الأصلي في موضعين و12 مربعًا من حوافه الاثني عشر.
مثلما أن أضلاع المربع عبارة عن 4 أجزاء أحادية البعد، وأضلاع (أوجه) المكعب عبارة عن 6 مربعات ثنائية الأبعاد، كذلك بالنسبة لـ "المكعب رباعي الأبعاد" (تيسراكت) تكون أضلاعه 8 مكعبات ثلاثية الأبعاد . تكون مساحات الأزواج المتقابلة من مكعبات التسراكت (أي المساحات ثلاثية الأبعاد التي تنتمي إليها هذه المكعبات) متوازية. في الشكل، هذه هي المكعبات: CDBAGHFE وKLJIOPNM وCDBAKLJI وGHFEOPNM وEFBAMNJI وGHDCOPLK وCKIAGOME وDLJBHPNF.
وبالمثل، يمكننا مواصلة التفكير في المكعبات الزائدة أكثرالأبعاد، ولكن من المثير للاهتمام أن نرى كيف سيبدو المكعب الفائق رباعي الأبعاد بالنسبة لنا، نحن سكان الفضاء ثلاثي الأبعاد. لهذا سوف نستخدم طريقة القياس المألوفة بالفعل.
لنأخذ المكعب السلكي ABCDHEFG وننظر إليه بعين واحدة من جانب الحافة. سوف نرى ويمكننا رسم مربعين على المستوى (حافتيه القريبة والبعيدة)، متصلتين بأربعة خطوط - حواف جانبية. وبالمثل، فإن المكعب الفائق رباعي الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد سيبدو وكأنه "صندوقين" مكعبين مدرجين في بعضهما البعض ومتصلين بثمانية حواف. في هذه الحالة، سيتم إسقاط "الصناديق" نفسها - الوجوه ثلاثية الأبعاد - على مساحتنا "، وسوف تمتد الخطوط التي تربطها في اتجاه المحور الرابع. يمكنك أيضًا محاولة تخيل المكعب ليس في الإسقاط، ولكن في صورة مكانية.
تمامًا كما يتكون المكعب ثلاثي الأبعاد من مربع مُزاح بطول وجهه، فإن المكعب المُزاح إلى البعد الرابع سيشكل مكعبًا زائدًا. إنه محدود بثمانية مكعبات، والتي ستبدو في المنظور كشكل معقد إلى حد ما. يتكون المكعب الفائق رباعي الأبعاد نفسه من عدد لا حصر له من المكعبات، تمامًا كما يمكن "تقطيع" المكعب ثلاثي الأبعاد إلى عدد لا حصر له من المربعات المسطحة.
من خلال قطع الوجوه الستة لمكعب ثلاثي الأبعاد، يمكنك تحليله إلى شكل مسطح - وهو تطور. سيكون له مربع على كل جانب من الوجه الأصلي بالإضافة إلى وجه آخر - الوجه المقابل له. وسيتألف التطوير ثلاثي الأبعاد للمكعب الفائق رباعي الأبعاد من المكعب الأصلي، وستة مكعبات "تنمو" منه، بالإضافة إلى واحد آخر - "الوجه الفائق" النهائي.
خصائص tesseract هي امتداد للخصائص الأشكال الهندسيةالبعد الأصغر إلى الفضاء رباعي الأبعاد.

باكاليار ماريا

تتم دراسة طرق التعريف بمفهوم المكعب رباعي الأبعاد (tesseract) وبنيته وبعض خصائصه، والسؤال عن ماهية الأجسام ثلاثية الأبعاد التي يتم الحصول عليها عندما يتقاطع المكعب رباعي الأبعاد مع مستويات مفرطة موازية لأوجهه ثلاثية الأبعاد. ، بالإضافة إلى الطائرات الفائقة المتعامدة مع قطرها الرئيسي. ويعتبر جهاز الهندسة التحليلية متعددة الأبعاد المستخدمة للبحث.

تحميل:

معاينة:

مقدمة ………………………………………………………………….2

الجزء الرئيسي ………………………………………………………..4

الاستنتاجات …………………………………………………………..12

المراجع ………………………………………………..13

مقدمة

لقد اجتذب الفضاء رباعي الأبعاد منذ فترة طويلة انتباه علماء الرياضيات المحترفين والأشخاص البعيدين عن دراسة هذا العلم. قد يكون الاهتمام بالبعد الرابع راجعا إلى افتراض أن عالمنا ثلاثي الأبعاد "منغمس" في فضاء رباعي الأبعاد، فكما "ينغمس" المستوى في فضاء ثلاثي الأبعاد، "ينغمس" الخط المستقيم في فضاء رباعي الأبعاد. مستوى، ونقطة تقع على خط مستقيم. بالإضافة إلى ذلك، يلعب الفضاء رباعي الأبعاد دورًا مهمًا في النظرية الحديثةالنسبية (ما يسمى بالزمكان أو فضاء مينكوفسكي)، ويمكن اعتبارها أيضًا حالة خاصةالفضاء الإقليدي الأبعاد (مع).

المكعب رباعي الأبعاد (tesseract) هو كائن في مساحة رباعية الأبعاد له أقصى بعد ممكن (تمامًا كما أن المكعب العادي هو كائن في مساحة ثلاثية الأبعاد). لاحظ أنها أيضًا ذات أهمية مباشرة، أي أنها يمكن أن تظهر في مشاكل تحسين البرمجة الخطية (كمجال يتم فيه البحث عن الحد الأدنى أو الأقصى دالة خطيةأربعة متغيرات)، ويستخدم أيضًا في الإلكترونيات الدقيقة الرقمية (عند برمجة تشغيل شاشة عرض الساعة الإلكترونية). بالإضافة إلى ذلك، تساهم عملية دراسة المكعب رباعي الأبعاد في تطوير التفكير المكاني والخيال.

وبالتالي، فإن دراسة البنية والخصائص المحددة للمكعب رباعي الأبعاد أمر مناسب تمامًا. ومن الجدير بالذكر أنه من حيث البنية، تمت دراسة المكعب رباعي الأبعاد جيدًا. الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو طبيعة أقسامها من خلال الطائرات الفائقة المختلفة. وبالتالي، فإن الهدف الرئيسي من هذا العمل هو دراسة بنية التسراكت، وكذلك توضيح مسألة ما هي الأشياء ثلاثية الأبعاد التي سيتم الحصول عليها إذا تم تشريح مكعب رباعي الأبعاد بواسطة طائرات مفرطة موازية لأحد ثلاثياته. وجوه الأبعاد، أو عن طريق الطائرات المفرطة المتعامدة مع قطرها الرئيسي. يُطلق على المستوى الزائد الموجود في الفضاء رباعي الأبعاد اسم الفضاء الفرعي ثلاثي الأبعاد. يمكننا القول أن الخط المستقيم على المستوى هو مستوى مفرط أحادي البعد، والمستوى الموجود في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو مستوى مفرط ثنائي الأبعاد.

الهدف حدد أهداف الدراسة:

1) دراسة الحقائق الأساسية للهندسة التحليلية متعددة الأبعاد.

2) دراسة مميزات بناء المكعبات ذات الأبعاد من 0 إلى 3؛

3) دراسة تركيب المكعب رباعي الأبعاد؛

4) وصف المكعب رباعي الأبعاد تحليلياً وهندسياً؛

5) عمل نماذج التطويرات والإسقاطات المركزية للمكعبات ثلاثية ورباعية الأبعاد.

6) باستخدام جهاز الهندسة التحليلية متعددة الأبعاد، وصف الأجسام ثلاثية الأبعاد الناتجة عن تقاطع مكعب رباعي الأبعاد مع طائرات زائدة موازية لأحد وجوهه الثلاثية الأبعاد، أو طائرات زائدة متعامدة مع قطره الرئيسي.

ستسمح لنا المعلومات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة بفهم بنية التسراكت بشكل أفضل، بالإضافة إلى تحديد أوجه التشابه العميقة في بنية وخصائص المكعبات ذات الأبعاد المختلفة.

الجزء الرئيسي

أولاً، نصف الجهاز الرياضي الذي سنستخدمه خلال هذه الدراسة.

1) إحداثيات المتجهات: إذا، الذي - التي

2) معادلة المستوى الزائد مع المتجه العادييبدو هنا

3) الطائرات و متوازيان إذا وفقط إذا

4) يتم تحديد المسافة بين نقطتين على النحو التالي: إذا، الذي - التي

5) شرط تعامد النواقل:

أولاً، دعونا نتعرف على كيفية وصف المكعب رباعي الأبعاد. ويمكن القيام بذلك بطريقتين - هندسية وتحليلية.

إذا تحدثنا عن الطريقة الهندسية للتحديد، فمن المستحسن تتبع عملية بناء المكعبات، بدءاً من البعد الصفري. المكعب ذو البعد الصفري هو نقطة (لاحظ، بالمناسبة، يمكن أن تلعب النقطة أيضًا دور الكرة ذات البعد الصفري). بعد ذلك، ندخل البعد الأول (المحور السيني) وعلى المحور المقابل نحدد نقطتين (مكعبين صفري البعد) يقعان على مسافة 1 من بعضهما البعض. والنتيجة هي قطعة - مكعب أحادي البعد. دعونا نلاحظ على الفور ميزة مميزة: حد (نهايتي) المكعب (القطعة) أحادي البعد عبارة عن مكعبين عديمي البعد (نقطتان). بعد ذلك، نقدم البعد الثاني (المحور الإحداثي) وعلى المستوىلنقم ببناء مكعبين أحاديي البعد (قطعتين)، طرفاهما على مسافة 1 من بعضهما البعض (في الواقع، أحد القطع هو الإسقاط المتعامدآخر). من خلال ربط الأطراف المقابلة للقطاعات، نحصل على مربع - مكعب ثنائي الأبعاد. مرة أخرى، لاحظ أن حدود المكعب ثنائي الأبعاد (المربع) هي أربعة مكعبات أحادية البعد (أربعة أجزاء). وأخيرا، قمنا بإدخال البعد الثالث (المحور التطبيقي) والبناء في الفضاءمربعان بحيث يكون أحدهما إسقاطًا متعامدًا للآخر (تقع الرؤوس المقابلة للمربعات على مسافة 1 من بعضها البعض). دعونا نربط القمم المقابلة بالقطاعات - نحصل على مكعب ثلاثي الأبعاد. نرى أن حد المكعب ثلاثي الأبعاد هو ستة مكعبات ثنائية الأبعاد (ستة مربعات). تسمح لنا الإنشاءات الموصوفة بتحديد النمط التالي: في كل خطوةالمكعب الأبعاد "يتحرك، ويترك أثرا" فيالقياس على مسافة 1، بينما اتجاه الحركة عمودي على المكعب. إن الاستمرار الرسمي لهذه العملية هو الذي يسمح لنا بالوصول إلى مفهوم المكعب رباعي الأبعاد. أي أننا سنجبر المكعب ثلاثي الأبعاد على التحرك في اتجاه البعد الرابع (عموديًا على المكعب) بمسافة 1. ونتصرف بشكل مشابه للمكعب السابق، أي من خلال ربط القمم المقابلة للمكعبات، سوف نحصل على مكعب رباعي الأبعاد. تجدر الإشارة إلى أن مثل هذا البناء هندسيًا في مساحتنا مستحيل (لأنه ثلاثي الأبعاد)، لكننا هنا لا نواجه أي تناقضات من وجهة نظر منطقية. الآن دعنا ننتقل إلى الوصف التحليلي للمكعب رباعي الأبعاد. ويتم الحصول عليها أيضًا بشكل رسمي باستخدام القياس. لذلك، فإن المواصفات التحليلية لمكعب الوحدة صفر الأبعاد لها الشكل:

المهمة التحليلية لمكعب الوحدة أحادي البعد لها الشكل:

المهمة التحليلية لمكعب الوحدة ثنائي الأبعاد لها الشكل:

المهمة التحليلية لمكعب الوحدة ثلاثي الأبعاد لها الشكل:

الآن أصبح من السهل جداً إعطاء تمثيل تحليلي لمكعب رباعي الأبعاد، وهو:

كما نرى، استخدمت كل من الطريقتين الهندسية والتحليلية لتحديد المكعب رباعي الأبعاد طريقة القياس.

الآن، باستخدام جهاز الهندسة التحليلية، سنكتشف ما هو هيكل المكعب رباعي الأبعاد. أولا، دعونا معرفة ما هي العناصر التي يتضمنها. هنا مرة أخرى يمكننا استخدام القياس (لطرح فرضية). حدود المكعب أحادي البعد هي نقاط (مكعبات صفرية الأبعاد)، ومكعب ثنائي الأبعاد - شرائح (مكعبات أحادية البعد)، ومكعب ثلاثي الأبعاد - مربعات (وجوه ثنائية الأبعاد). يمكن الافتراض أن حدود التسراكت عبارة عن مكعبات ثلاثية الأبعاد. ولإثبات ذلك دعونا نوضح المقصود بالرؤوس والأحرف والأوجه. دعنا نسميها رؤوس المكعب نقاط الزاوية. أي أن إحداثيات الرؤوس يمكن أن تكون أصفارًا أو آحادًا. وهكذا يتم الكشف عن العلاقة بين أبعاد المكعب وعدد رؤوسه. دعونا نطبق قاعدة المنتج الاندماجي - منذ قمة الرأسالمكعب المقاس له بالضبطالإحداثيات، كل منها يساوي صفر أو واحد (مستقل عن كل الآخرين)، ثم في المجموع هناكقمم وبالتالي، بالنسبة لأي قمة، تكون جميع الإحداثيات ثابتة ويمكن أن تكون متساويةأو . إذا قمنا بإصلاح جميع الإحداثيات (جعل كل منها متساويًاأو ، بغض النظر عن الآخرين)، باستثناء واحد، نحصل على خطوط مستقيمة تحتوي على حواف المكعب. على غرار السابق، يمكنك الاعتماد على أن هناك بالضبطأشياء. وإذا قمنا الآن بإصلاح جميع الإحداثيات (جعل كل منها متساويًاأو ، بشكل مستقل عن الآخرين)، باستثناء بعض اثنين، نحصل على مستويات تحتوي على وجوه ثنائية الأبعاد للمكعب. باستخدام قاعدة التوافقيات، نجد أن هناك بالضبطأشياء. بعد ذلك، بالمثل - إصلاح جميع الإحداثيات (جعل كل منها متساويًاأو ، بشكل مستقل عن الآخرين)، باستثناء بعض الثلاثة، نحصل على طائرات مفرطة تحتوي على وجوه ثلاثية الأبعاد للمكعب. باستخدام نفس القاعدة، نحسب عددهم - بالضبطإلخ. وهذا سيكون كافيا لبحثنا. دعونا نطبق النتائج التي تم الحصول عليها على بنية المكعب رباعي الأبعاد، أي في جميع الصيغ المشتقة التي نضعها. ولذلك فإن المكعب رباعي الأبعاد له: 16 رأسًا، و32 حرفًا، و24 وجهًا ثنائي الأبعاد، و8 وجوه ثلاثية الأبعاد. ومن أجل الوضوح، دعونا نحدد بشكل تحليلي جميع عناصره.

رؤوس المكعب رباعي الأبعاد:

حواف المكعب رباعي الأبعاد ():

وجوه ثنائية الأبعاد لمكعب رباعي الأبعاد (قيود مماثلة):

وجوه ثلاثية الأبعاد لمكعب رباعي الأبعاد (قيود مماثلة):

الآن بعد أن تم وصف هيكل المكعب رباعي الأبعاد وطرق تعريفه بتفاصيل كافية، فلننتقل إلى تنفيذ الهدف الرئيسي - توضيح طبيعة الأقسام المختلفة للمكعب. لنبدأ بالحالة الأولية عندما تكون أقسام المكعب موازية لأحد وجوهه ثلاثية الأبعاد. على سبيل المثال، النظر في أقسامها ذات الطائرات المفرطة الموازية للوجهمن المعروف من الهندسة التحليلية أن أي قسم من هذا القبيل سيتم الحصول عليه بواسطة المعادلةدعونا نحدد الأقسام المقابلة تحليليا:

كما نرى، لقد حصلنا على مواصفات تحليلية لمكعب وحدة ثلاثي الأبعاد يقع في مستوى مفرط

لإجراء تشبيه، دعونا نكتب مقطع مكعب ثلاثي الأبعاد بجوار المستوىنحن نحصل:

هذا مربع يقع في الطائرة. التشبيه واضح.

أقسام مكعب رباعي الأبعاد بواسطة الطائرات الفائقةإعطاء نتائج مماثلة تماما. وستكون هذه أيضًا عبارة عن مكعبات فردية ثلاثية الأبعاد تقع في طائرات مفرطةعلى التوالى.

الآن دعونا نفكر في أقسام مكعب رباعي الأبعاد بمستويات زائدة متعامدة مع قطره الرئيسي. أولاً، دعونا نحل هذه المشكلة لمكعب ثلاثي الأبعاد. باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه لتحديد وحدة مكعب ثلاثي الأبعاد، يستنتج أنه يمكن أن يأخذ القطر الرئيسي، على سبيل المثال، قطعة ذات نهاياتو . وهذا يعني أن متجه القطر الرئيسي سيكون له إحداثيات. وبالتالي فإن معادلة أي مستوى عمودي على القطر الرئيسي ستكون:

دعونا نحدد حدود تغيير المعلمة. لأن ، ثم بإضافة هذه المتباينات حدًا تلو الآخر، نحصل على:

أو .

اذا ثم (بسبب القيود). كذلك - إذا، الذي - التي . إذن متى ومتى يحتوي مستوى القطع والمكعب على نقطة مشتركة واحدة بالضبط (و على التوالى). الآن دعونا نلاحظ ما يلي. لو(مرة أخرى بسبب القيود المتغيرة). وتتقاطع المستويات المتناظرة مع ثلاثة وجوه في وقت واحد، وإلا كان مستوى القطع موازيا لأحدها، وهو ما لا يتم حسب الشرط. لو، فإن المستوى يتقاطع مع جميع وجوه المكعب. لو، ثم يتقاطع المستوى مع الوجوه. دعونا نقدم الحسابات المقابلة.

يترك ثم الطائرةيعبر الخطفي خط مستقيم، و. الحافة علاوة على ذلك. حافة يتقاطع المستوى في خط مستقيم، و

يترك ثم الطائرةيعبر الخط:

الحافة في خط مستقيم، و .

الحافة في خط مستقيم، و .

الحافة في خط مستقيم، و .

الحافة في خط مستقيم، و .

الحافة في خط مستقيم، و .

الحافة في خط مستقيم، و .

هذه المرة نحصل على ستة أجزاء لها نهايات مشتركة تسلسلية:

يترك ثم الطائرةيعبر الخطفي خط مستقيم، و. حافة يتقاطع المستوى في خط مستقيم، و . حافة يتقاطع المستوى في خط مستقيم، و . أي أننا نحصل على ثلاثة أجزاء لها نهايات مشتركة:وهكذا متى القيم المحددةمعاملسوف يتقاطع المستوى مع المكعب على طول مثلث منتظم ذو رؤوس

لذلك، إليك وصفًا شاملاً لأشكال المستوى التي تم الحصول عليها عندما يتقاطع المكعب مع مستوى متعامد مع قطره الرئيسي. وكانت الفكرة الرئيسية على النحو التالي. ومن الضروري أن نفهم أي الوجوه يتقاطع المستوى، وأي المجموعات تتقاطع معها، وكيف ترتبط هذه المجموعات ببعضها البعض. على سبيل المثال، إذا اتضح أن المستوى يتقاطع تمامًا مع ثلاثة أوجه على طول المقاطع التي لها نهايات مشتركة زوجية، فإن المقطع هو مثلث متساوي الأضلاع (وهو ما يتم إثباته عن طريق حساب أطوال المقاطع بشكل مباشر)، وتكون رؤوسه هي هذه الأطراف من القطاعات.

وباستخدام نفس الجهاز ونفس فكرة دراسة الأقسام يمكن استنتاج الحقائق التالية بطريقة مشابهة تماما:

1) متجه أحد الأقطار الرئيسية لمكعب الوحدة رباعي الأبعاد له الإحداثيات

2) يمكن كتابة أي مستوى زائد متعامد على القطر الرئيسي لمكعب رباعي الأبعاد على الصورة.

3) في معادلة المستوى الزائد القاطع، المعلمةيمكن أن تختلف من 0 إلى 4؛

4) متى و يحتوي المستوى الزائد القاطع والمكعب رباعي الأبعاد على نقطة مشتركة واحدة (و على التوالى)؛

5) متى سوف ينتج عن المقطع العرضي رباعي السطوح منتظم؛

6) متى في المقطع العرضي ستكون النتيجة مجسمًا مجسمًا.

7) متى سينتج المقطع العرضي رباعي الاسطح منتظم.

وفقًا لذلك، هنا يتقاطع المستوى الزائد مع tesseract على طول المستوى الذي يتم تخصيص منطقة مثلثية عليه، نظرًا لقيود المتغيرات (تشبيه - يتقاطع المستوى مع المكعب على طول خط مستقيم، والذي، بسبب قيود المتغيرات، تم تخصيص قطعة). في الحالة 5) يتقاطع المستوى الزائد تمامًا مع أربعة وجوه ثلاثية الأبعاد للتسراكت، أي أنه يتم الحصول على أربعة مثلثات لها جوانب مشتركة زوجية، وبعبارة أخرى، تشكل رباعي السطوح (كيف يمكن حساب ذلك بشكل صحيح). في الحالة 6) يتقاطع المستوى الزائد تمامًا مع ثمانية وجوه ثلاثية الأبعاد للتسراكت، أي أنه يتم الحصول على ثمانية مثلثات لها جوانب مشتركة تسلسلية، وبعبارة أخرى، تشكل المجسم الثماني. الحالة 7) تشبه تمامًا الحالة 5).

دعونا نوضح ما قيل مثال ملموس. وهي أننا ندرس قسم المكعب رباعي الأبعاد بواسطة المستوى الزائدبسبب القيود المتغيرة، يتقاطع هذا المستوى الزائد مع الوجوه ثلاثية الأبعاد التالية:حافة يتقاطع على طول الطائرةنظرا لقيود المتغيرات، لدينا:نحصل على منطقة مثلثة ذات رؤوسإضافي،نحصل على مثلثعندما يتقاطع المستوى الزائد مع الوجهنحصل على مثلثعندما يتقاطع المستوى الزائد مع الوجهنحصل على مثلثوبالتالي، فإن رؤوس رباعي السطوح لها الإحداثيات التالية. وكما يسهل حسابه، فإن هذا رباعي الأسطح منتظم بالفعل.

الاستنتاجات

لذلك تمت في سياق هذا البحث دراسة الحقائق الأساسية للهندسة التحليلية متعددة الأبعاد، ودراسة خصائص بناء مكعبات ذات أبعاد من 0 إلى 3، ودراسة تركيب المكعب رباعي الأبعاد، وتم تصميم المكعب رباعي الأبعاد تم وصفها تحليلياً وهندسياً، وتم عمل نماذج للتطورات والإسقاطات المركزية للمكعبات ثلاثية الأبعاد ورباعية الأبعاد، والمكعبات ثلاثية الأبعاد هي كائنات موصوفة تحليلياً ناتجة عن تقاطع مكعب رباعي الأبعاد مع مستويات زائدة موازية لأحد عناصره الثلاثة. وجوه ذات أبعاد، أو ذات طائرات زائدة متعامدة مع قطرها الرئيسي.

أتاح البحث الذي تم إجراؤه تحديد أوجه التشابه العميقة في بنية وخصائص المكعبات ذات الأبعاد المختلفة. يمكن تطبيق تقنية القياس المستخدمة في البحث، على سبيل المثال،مجال الأبعاد أوبسيط الأبعاد. يسمى،يمكن تعريف المجال البعدي على أنه مجموعة من النقاطفضاء متساوي الأبعاد من نقطة معينة تسمى مركز الكرة. إضافي،يمكن تعريف البعد البسيط كجزءمساحة الأبعاد محدودة بالحد الأدنى للعددالطائرات المفرطة الأبعاد. على سبيل المثال، البسيط أحادي البعد هو قطعة (جزء من فضاء أحادي البعد، محدود بنقطتين)، البسيط ثنائي الأبعاد هو مثلث (جزء من فضاء ثنائي الأبعاد، محدود بثلاثة خطوط)، أ البسيط ثلاثي الأبعاد هو رباعي السطوح (جزء من الفضاء ثلاثي الأبعاد، محدود بأربع مستويات). أخيراً،نحن نحدد البعد البسيط باعتباره الجزءمساحة الأبعاد، محدودةطائرة مفرطة البعد.

لاحظ أنه على الرغم من التطبيقات العديدة للتسراكت في بعض مجالات العلوم، إلا أن هذا البحث لا يزال إلى حد كبير دراسة رياضية.

فهرس

1) بوغروف ياس، نيكولسكي إس إم.الرياضيات العليا، المجلد 1 – م: بوستارد، 2005 – 284 ص.

2) الكم. مكعب رباعي الأبعاد / دوزين س.، ف.روبتسوف، العدد 6، 1986.

3) الكم. كيف ترسم مكعب الأبعاد / ديميدوفيتش ن.ب، رقم 8، 1974.

لنبدأ بشرح ما هو الفضاء رباعي الأبعاد.

هذا فضاء أحادي البعد، أي ببساطة محور OX. تتميز أي نقطة عليها بإحداثيات واحدة.

الآن لنرسم محور OY عموديًا على محور OX. لذلك حصلنا على مساحة ثنائية الأبعاد، أي مستوى XOY. تتميز أي نقطة عليها بإحداثيتين - الإحداثي والإحداثي.

لنرسم محور OZ عموديًا على محوري OX وOY. والنتيجة هي مساحة ثلاثية الأبعاد حيث تحتوي أي نقطة على حد أقصى وإحداثي وتطبيقي.

ومن المنطقي أن يكون المحور الرابع OQ متعامدًا مع محاور OX وOY وOZ في نفس الوقت. لكننا لا نستطيع بناء مثل هذا المحور بدقة، وبالتالي لا يسعنا إلا أن نحاول تخيله. كل نقطة في الفضاء رباعي الأبعاد لها أربعة إحداثيات: x وy وz وq.

الآن دعونا نرى كيف ظهر المكعب رباعي الأبعاد.

تُظهر الصورة شكلاً في فضاء أحادي البعد - خط.

إذا قمت بإجراء ترجمة موازية لهذا الخط على طول محور OY، ثم قمت بتوصيل الأطراف المقابلة للخطين الناتجين، فستحصل على مربع.

وبالمثل، إذا قمت بإجراء ترجمة موازية للمربع على طول محور OZ وقمت بتوصيل الرؤوس المقابلة، فستحصل على مكعب.

وإذا قمنا بنقل موازي للمكعب على طول محور OQ وقمنا بتوصيل رؤوس هذين المكعبين، فسنحصل على مكعب رباعي الأبعاد. بالمناسبة، ويسمى tesseract.

لرسم مكعب على متن طائرة، أنت في حاجة إليها مشروع. بصريا يبدو مثل هذا:

لنتخيل أنها معلقة في الهواء فوق السطح نموذج الإطار السلكيمكعب، أي كأنه «مصنوع من سلك»، وفوقه مصباح كهربائي. إذا قمت بتشغيل المصباح الكهربائي، وتتبع ظل المكعب بقلم رصاص، ثم أطفئ المصباح الكهربائي، فسيتم تصوير إسقاط المكعب على السطح.

دعنا ننتقل إلى شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء. انظر مرة أخرى إلى الرسم بالمصباح الكهربائي: كما ترى، تتقارب جميع الأشعة عند نقطة واحدة. تسمى نقطة التلاشيويستخدم في البناء منظور الإسقاط(ويمكن أيضًا أن تكون متوازية عندما تكون جميع الأشعة متوازية مع بعضها البعض. والنتيجة هي عدم إنشاء الإحساس بالحجم، ولكنه أخف وزنًا، علاوة على ذلك، إذا كانت نقطة التلاشي بعيدة تمامًا عن الجسم المسقط فإن الفرق بين هذين الإسقاطين قليل الملحوظ). لإسقاط نقطة معينة على مستوى معين باستخدام نقطة التلاشي، تحتاج إلى رسم خط مستقيم عبر نقطة التلاشي والنقطة المحددة، ثم العثور على نقطة التقاطع بين الخط المستقيم الناتج والمستوى. ومن أجل عرض شكل أكثر تعقيدًا، على سبيل المثال، مكعب، تحتاج إلى إسقاط كل من رؤوسه، ثم توصيل النقاط المقابلة. تجدر الإشارة إلى ذلك خوارزمية لإسقاط الفضاء على الفضاء الفرعييمكن تعميمها على حالة 4D->3D، وليس فقط 3D->2D.

كما قلت، لا يمكننا أن نتخيل بالضبط كيف يبدو محور OQ، تمامًا مثل التسراكت. لكن يمكننا الحصول على فكرة محدودة عنه إذا عرضناه على مجلد ثم رسمناه على شاشة الكمبيوتر!

الآن دعونا نتحدث عن إسقاط tesseract.

على اليسار يوجد إسقاط المكعب على المستوى، وعلى اليمين يوجد tesseract على الحجم. إنهما متشابهان تمامًا: يبدو إسقاط المكعب كمربعين، صغير وكبير، أحدهما داخل الآخر، وترتبط رؤوسهما المقابلة بخطوط. ويبدو إسقاط التسراكت على شكل مكعبين، صغير وكبير، أحدهما داخل الآخر، وتكون رؤوسهما مترابطة. لكننا جميعًا رأينا مكعبًا، ويمكننا أن نقول بكل ثقة أنه مربع صغير ومربع كبير وأربعة شبه منحرف أعلى وتحت ويمين ويسار المكعب. مربع صغير، هما في الواقع مربعان، وهما متساويان. و tesseract لديه نفس الشيء. ومكعب كبير، ومكعب صغير، وستة الأهرامات المقطوعةعلى جوانب مكعب صغير - هذه كلها مكعبات، وهي متساوية.

لا يستطيع برنامجي رسم إسقاط التسراكت على المجلد فحسب، بل يمكنه أيضًا تدويره. دعونا ننظر في كيفية القيام بذلك.

أولاً، سأخبرك ما هو دوران موازي للطائرة.

تخيل أن المكعب يدور حول محور OZ. ثم يصف كل من رؤوسه دائرة حول محور OZ.

الدائرة هي شكل مسطح. ومستويات كل من هذه الدوائر متوازية مع بعضها البعض، وفي في هذه الحالةبالتوازي مع مستوى XOY. وهذا يعني أنه يمكننا التحدث ليس فقط عن الدوران حول محور OZ، ولكن أيضًا عن الدوران الموازي لمستوى XOY، كما نرى، بالنسبة للنقاط التي تدور بالتوازي مع محور XOY، يتغير الإحداثي والإحداثي فقط، بينما يبقى التطبيق. دون تغيير، وفي الواقع، لا يمكننا التحدث عن الدوران حول خط مستقيم إلا عندما نتعامل مع فضاء ثلاثي الأبعاد. في الفضاء ثنائي الأبعاد كل شيء يدور حول نقطة، في الفضاء رباعي الأبعاد كل شيء يدور حول مستوى، في الفضاء الخماسي الأبعاد نتحدث عن الدوران حول حجم. وإذا تمكنا من تخيل الدوران حول نقطة ما، فإن الدوران حول مستوى وحجم أمر لا يمكن تصوره. وإذا تحدثنا عن الدوران الموازي للمستوى، ففي أي مساحة ذات أبعاد n يمكن لنقطة أن تدور بالتوازي مع المستوى.

ربما سمع الكثير منكم عن مصفوفة التدوير. بضرب النقطة بها، نحصل على نقطة تدور موازية للمستوى بزاوية phi. بالنسبة للفضاء ثنائي الأبعاد يبدو كما يلي:

كيفية الضرب: x لنقطة تدور بزاوية phi = جيب تمام الزاوية phi*ix للنقطة الأصلية ناقص جيب الزاوية phi*ig للنقطة الأصلية؛
ig لنقطة تدور بزاوية phi = جيب الزاوية phi * ix للنقطة الأصلية بالإضافة إلى جيب تمام الزاوية phi * ig للنقطة الأصلية.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
يا`=خطيئة ф*Xa + cos ф*يا
، حيث Xa وYa هما الإحداثي والإحداثي للنقطة المراد تدويرها، Xa` وYa هما الإحداثي والإحداثي للنقطة التي تم تدويرها بالفعل

بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم تعميم هذه المصفوفة على النحو التالي:

دوران موازي لمستوى XOY. كما ترون، فإن الإحداثي Z لا يتغير، بل يتغير X وY فقط
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
يا`=سين ф*Xa +cos ф*يا + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (أساسًا، Za`=Za)

دوران موازي لمستوى XOZ. لا شيء جديد،
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (في الأساس، Ya`=Ya)
Za`=sin ф*Xa + Ya*0 + cos ф*Za

والمصفوفة الثالثة.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (أساسًا، Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sin ф*Ya + cos ф*Za

أما بالنسبة للبعد الرابع فهي كالتالي:


أعتقد أنك تفهم بالفعل ما يجب الضرب به، لذلك لن أخوض في التفاصيل مرة أخرى. لكنني ألاحظ أنها تفعل نفس الشيء مثل مصفوفة الدوران الموازية للمستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد! كلاهما يغير الإحداثيات والتطبيق فقط، ولا يلمسان الإحداثيات الأخرى، لذا يمكن استخدامه في الحالة ثلاثية الأبعاد، ببساطة دون الاهتمام بالإحداثيات الرابعة.

ولكن مع صيغة الإسقاط، ليس كل شيء بهذه البساطة. بغض النظر عن عدد المنتديات التي قرأتها، لم تنجح معي أي من طرق العرض. لم يكن العرض الموازي مناسبًا لي، لأن الإسقاط لن يبدو ثلاثي الأبعاد. في بعض صيغ الإسقاط، للعثور على نقطة تحتاج إلى حل نظام من المعادلات (ولا أعرف كيفية تعليم الكمبيوتر كيفية حلها)، والبعض الآخر لم أفهمه ببساطة... بشكل عام، قررت أن التوصل إلى طريقتي الخاصة. لهذا الغرض، فكر في الإسقاط ثنائي الأبعاد->1D.

pov تعني "وجهة نظر"، وptp تعني "نقطة إلى المشروع" (النقطة المراد إسقاطها)، وptp` هي النقطة المطلوبة على محور OX.

الزاويتان povptpB وptpptp`A متساويتان في المقابلة (الخط المنقط موازٍ لمحور OX، والخط المستقيم povptp هو قاطع).
x للنقطة ptp` يساوي x للنقطة ptp مطروحًا منه طول المقطع ptp`A. يمكن إيجاد هذه القطعة من المثلث ptpptp`A: ptp`A = ptpA/ظل الزاوية ptpptp`A. يمكننا إيجاد هذا المماس من المثلث povptpB: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
الإجابة: Xptp`=Xptp-Yptp/ظل الزاوية ptpptp`A.

لم أصف هذه الخوارزمية بالتفصيل هنا، حيث أن هناك الكثير من الحالات الخاصة عندما تتغير الصيغة إلى حد ما. إذا كان أي شخص مهتما، فاطلع على الكود المصدري للبرنامج، كل شيء موصوف هناك في التعليقات.

من أجل إسقاط نقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد على مستوى، فإننا ببساطة نفكر في مستويين - XOZ وYOZ، ونحل هذه المشكلة لكل منهما. في حالة الفضاء رباعي الأبعاد، من الضروري النظر في ثلاث مستويات: XOQ، YOQ، وZOQ.

وأخيرا، عن البرنامج. يعمل الأمر على النحو التالي: تهيئة ستة عشر رأسًا من tesseract -> اعتمادًا على الأوامر التي أدخلها المستخدم، قم بتدويرها -> قم بإسقاطها على وحدة التخزين -> اعتمادًا على الأوامر التي أدخلها المستخدم، قم بتدوير إسقاطها -> قم بإسقاطها على المجلد الطائرة -> ارسم.

لقد كتبت التوقعات والتناوبات بنفسي. إنهم يعملون وفقًا للصيغ التي وصفتها للتو. ترسم مكتبة OpenGL الخطوط وتتعامل أيضًا مع خلط الألوان. ويتم حساب إحداثيات رؤوس التسراكت بهذه الطريقة:

إحداثيات رؤوس الخط المتمركز عند نقطة الأصل والطول 2 - (1) و (-1)؛
- " - " - مربع - " - " - وطول ضلعه 2 :
(1؛ 1)، (-1؛ 1)، (1؛ -1) و (-1؛ -1)؛
- " - " - مكعب - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
كما ترون، المربع هو خط واحد فوق محور OY وخط واحد أسفل محور OY؛ المكعب هو مربع واحد أمام مستوى XOY وواحد خلفه؛ التسراكت عبارة عن مكعب واحد على الجانب الآخر من حجم XOYZ، ومكعب واحد على هذا الجانب. ولكن من الأسهل بكثير إدراك هذا التناوب بين الآحاد والناقص إذا تم كتابتها في عمود

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

في العمود الأول، واحد وناقص واحد بالتناوب. في العمود الثاني، يوجد أولاً نقطتان إيجابيتان، ثم نقطتان سلبيتان. في الثالث - أربعة زائد، ثم أربعة ناقص. كانت هذه رؤوس المكعب. يحتوي tesseract على ضعف عددهم، وبالتالي كان من الضروري كتابة حلقة للإعلان عنها، وإلا فمن السهل جدًا الخلط.

يمكن لبرنامجي أيضًا رسم النقش. يمكن لأصحاب النظارات ثلاثية الأبعاد السعداء مشاهدة صورة مجسمة. لا يوجد شيء صعب في رسم صورة؛ ما عليك سوى رسم إسقاطين على المستوى للعين اليمنى واليسرى. لكن البرنامج يصبح أكثر بصرية وإثارة للاهتمام، والأهم من ذلك أنه يعطي فكرة أفضل عن العالم رباعي الأبعاد.

الوظائف الأقل أهمية هي إضاءة إحدى الحواف باللون الأحمر بحيث يمكن رؤية المنعطفات بشكل أفضل، بالإضافة إلى وسائل الراحة البسيطة - تنظيم إحداثيات نقاط "العين"، وزيادة وتقليل سرعة الدوران.

أرشفة البرنامج والكود المصدري وتعليمات الاستخدام.

τέσσερες ἀκτῖνες - أربعة أشعة) - مكعب فائق رباعي الأبعاد - مكعب في الفضاء رباعي الأبعاد. اسماء اخرى: 4-مكعب, رباعي المكعب(من اليونانية القديمة. τέτταρες - "أربعة")، ثماني خلايا , مثمن(من اليونانية القديمة. οκτώ - "ثمانية" و χώρος - "المكان، الفضاء")، المكعب الزائد(إذا لم يتم تحديد عدد القياسات).

في "مساحة" أحادية البعد - على الخط - نختار قطعة AB بطول L. على مستوى ثنائي الأبعاد على مسافة L من AB، نرسم قطعة DC موازية لها ونربط طرفيها. والنتيجة هي CDBA مربع. وبتكرار هذه العملية مع المستوى، نحصل على مكعب ثلاثي الأبعاد CDBAGHFE. وبإزاحة المكعب في البعد الرابع (عموديًا على الأبعاد الثلاثة الأولى) مسافة L، نحصل على المكعب الفائق CDBAGHFEKLJIOPNM.

يعمل الجزء أحادي البعد AB كجانب للمربع CDBA ثنائي الأبعاد، والمربع - كجانب للمكعب CDBAGHFE، والذي، بدوره، سيكون جانب المكعب الفائق رباعي الأبعاد. القطعة المستقيمة لها نقطتان حدوديتان، والمربع له أربعة رؤوس، والمكعب له ثمانية. في المكعب الفائق رباعي الأبعاد، سيكون هناك 16 رأسًا: 8 رؤوس من المكعب الأصلي و8 رؤوس منزاحة في البعد الرابع. يحتوي على 32 حرفًا - 12 منها تعطي الموضع الأولي والنهائي للمكعب الأصلي، و8 حواف أخرى "ترسم" رؤوسه الثمانية، التي انتقلت إلى البعد الرابع. يمكن تطبيق نفس المنطق على وجوه المكعب الزائد. في الفضاء ثنائي الأبعاد يوجد واحد فقط (المربع نفسه)، والمكعب به 6 وجوه (وجهان من المربع المتحرك وأربعة أخرى تصف جوانبه). يحتوي المكعب الفائق رباعي الأبعاد على 24 وجهًا مربعًا - 12 مربعًا من المكعب الأصلي في موضعين و12 مربعًا من حوافه الاثني عشر.

مثلما أن أضلاع المربع عبارة عن 4 أجزاء أحادية البعد، وأضلاع (أوجه) المكعب عبارة عن 6 مربعات ثنائية الأبعاد، كذلك بالنسبة لـ "المكعب رباعي الأبعاد" (تيسراكت) تكون أضلاعه 8 مكعبات ثلاثية الأبعاد . تكون مساحات الأزواج المتقابلة من مكعبات التسراكت (أي المساحات ثلاثية الأبعاد التي تنتمي إليها هذه المكعبات) متوازية. في الشكل، هذه هي المكعبات: CDBAGHFE وKLJIOPNM وCDBAKLJI وGHFEOPNM وEFBAMNJI وGHDCOPLK وCKIAGOME وDLJBHPNF.

بطريقة مماثلة، يمكننا مواصلة التفكير في المكعبات الفائقة ذات عدد أكبر من الأبعاد، ولكن من المثير للاهتمام أن نرى كيف سيبدو المكعب الفائق رباعي الأبعاد بالنسبة لنا، نحن سكان الفضاء ثلاثي الأبعاد. لهذا سوف نستخدم طريقة القياس المألوفة بالفعل.

لنأخذ المكعب السلكي ABCDHEFG وننظر إليه بعين واحدة من جانب الحافة. سوف نرى ويمكننا رسم مربعين على المستوى (حافتيه القريبة والبعيدة)، متصلتين بأربعة خطوط - حواف جانبية. وبالمثل، فإن المكعب الفائق رباعي الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد سيبدو وكأنه "صندوقين" مكعبين مدرجين في بعضهما البعض ومتصلين بثمانية حواف. في هذه الحالة، سيتم إسقاط "الصناديق" نفسها - الوجوه ثلاثية الأبعاد - على مساحتنا "، وسوف تمتد الخطوط التي تربطها في اتجاه المحور الرابع. يمكنك أيضًا محاولة تخيل المكعب ليس في الإسقاط، ولكن في صورة مكانية.

تمامًا كما يتكون المكعب ثلاثي الأبعاد من مربع مُزاح بطول وجهه، فإن المكعب المُزاح إلى البعد الرابع سيشكل مكعبًا زائدًا. إنه محدود بثمانية مكعبات، والتي ستبدو في المنظور كشكل معقد إلى حد ما. يتكون المكعب الفائق رباعي الأبعاد نفسه من عدد لا حصر له من المكعبات، تمامًا كما يمكن "تقطيع" المكعب ثلاثي الأبعاد إلى عدد لا حصر له من المربعات المسطحة.

من خلال قطع الوجوه الستة لمكعب ثلاثي الأبعاد، يمكنك تحليله إلى شكل مسطح - وهو تطور. سيكون له مربع على كل جانب من الوجه الأصلي بالإضافة إلى وجه آخر - الوجه المقابل له. وسيتألف التطوير ثلاثي الأبعاد للمكعب الفائق رباعي الأبعاد من المكعب الأصلي، وستة مكعبات "تنمو" منه، بالإضافة إلى واحد آخر - "الوجه الفائق" النهائي.

تمثل خصائص التسراكت استمرارًا لخصائص الأشكال الهندسية ذات البعد الأدنى في الفضاء رباعي الأبعاد.

التطورات التيسيركت

مثلما يمكن طي سطح المكعب إلى مضلع يتكون من ستة مربعات، يمكن طي سطح التسراكت إلى مادة صلبة ثلاثية الأبعاد تتكون من ثمانية مكعبات.

هناك 261 تصميمًا من طراز tesseract. يمكن العثور على تطورات المكعب الفائق من خلال تعداد "الأشجار المزدوجة"، حيث "الشجرة المزدوجة" ( شجرة مقترنة) هي شجرة ذات عدد زوجي من القمم، والتي تنقسم إلى أزواج بحيث لا يتكون أي زوج من رأسين متجاورين. توجد مراسلات فردية بين "الأشجار التوأم" ذات 8 رؤوس ومسح tesseract. هناك إجمالي 23 شجرة ذات 8 رؤوس، والتي عند تقسيمها إلى أزواج من القمم غير المتجاورة تؤدي إلى 261 شجرة ثنائية الرؤوس.

يعد النمط المتقاطع للتسراكت أحد عناصر لوحة سلفادور دالي "Corpus Hypercubus" (1954).

التوقعات

إلى الفضاء ثنائي الأبعاد

من الصعب تخيل هذا الهيكل، ولكن من الممكن عرض tesseract في مساحات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد. بالإضافة إلى ذلك، فإن الإسقاط على المستوى يجعل من السهل فهم موقع رؤوس المكعب الزائدي. بهذه الطريقة، من الممكن الحصول على صور لم تعد تعكس العلاقات المكانية داخل التسراكت، ولكنها توضح بنية اتصال قمة الرأس، كما في الأمثلة التالية:

إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد

يمثل أحد إسقاطات tesseract على مساحة ثلاثية الأبعاد مكعبين متداخلين ثلاثي الأبعاد، وترتبط القمم المقابلة لهما بقطاعات. المكعبات الداخلية والخارجية لها مقاسات مختلفةفي الفضاء ثلاثي الأبعاد، أما في الفضاء رباعي الأبعاد فهي مكعبات متساوية. لفهم المساواة بين جميع مكعبات التسراكت، تم إنشاء نموذج التسراكت الدوار.

• الأهرامات الستة المقطوعة على طول حواف التسراكت هي صور لستة مكعبات متساوية. ومع ذلك، فإن هذه المكعبات عبارة عن tesseract مثل المربعات (الوجوه) بالنسبة للمكعب. لكن في الحقيقة، يمكن تقسيم التسراكت إلى عدد لا نهائي من المكعبات، كما يمكن تقسيم المكعب إلى عدد لا نهائي من المربعات، أو المربع إلى عدد لا نهائي من الأجزاء.

إسقاط آخر مثير للاهتمام للتسراكت على مساحة ثلاثية الأبعاد هو الاثني عشر وجهًا معينيًا مع أربعة من أقطاره التي تربط أزواجًا من القمم المتقابلة في زوايا كبيرة من المعينات. في هذه الحالة، يتم إسقاط 14 من أصل 16 رأسًا من التسراكت في 14 رأسًا من الاثني عشر وجهًا معينيًا، وتتزامن إسقاطات القممتين المتبقيتين في مركزها. في مثل هذا الإسقاط على الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم الحفاظ على المساواة والتوازي لجميع الجوانب أحادية البعد وثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد.

زوج ستيريو

يتم تصوير زوج استريو من tesseract على شكل إسقاطين على مستوى أحد المتغيرات للتمثيل ثلاثي الأبعاد لـ tesseract. يتم عرض زوج الاستريو بحيث ترى كل عين واحدة فقط من هذه الصور، ويحدث تأثير مجسم، مما يجعل من الممكن إدراك إسقاط القطع المقطوعة على مساحة ثلاثية الأبعاد بشكل أفضل.

Tesseract في الثقافة

• في إحدى حلقات مغامرات جيمي نيوترون، اخترع "الصبي العبقري" جيمي مكعبًا فائقًا رباعي الأبعاد مطابقًا لصندوق الطي من رواية طريق المجد (1963) لروبرت هاينلين.
• تصف رواية Heinlein Glory Road صندوقًا كبيرًا الحجم كان أكبر من الداخل منه من الخارج.
• في قصة "... وبنى لنفسه منزلًا صغيرًا ملتويًا" (في نسخة أخرى من ترجمة "المنزل الذي بناه تيل") من تأليف هينلين، تم وصف منزل مكون من ثماني شقق على شكل تسراكت غير مطوي.
• تصف قصة هنري كوتنر "All Tenali Borogov" لعبة تعليمية للأطفال من المستقبل البعيد، تشبه في هيكلها التسراكت.
• في رواية Alex Garland لعام 1999 The Tesseract، يُستخدم مصطلح "tesseract" للإشارة إلى المكعب الفائق ثلاثي الأبعاد، بدلاً من المكعب الفائق نفسه. هذه استعارة تهدف إلى إظهار أن النظام المعرفي يجب أن يكون أوسع من ما يمكن معرفته.
• حبكة المكعب 2: المكعب الفائق يركز على ثمانية غرباء محاصرين في "مكعب فائق"، أو شبكة من الإسقاطات ثلاثية الأبعاد المترابطة لمكعب فائق واحد.
• في سلسلة أفلام Marvel Cinematic Universe، فإن Tesseract هو العنصر الرئيسيقطعة أثرية فضائية على شكل مكعب فائق.
• تدور حبكة فيلم "The Avengers" حول استخدام مكعب Tesseract كمصدر لا ينضب للطاقة الكونية لفتح بوابة إلى "بعد" آخر من أجل تنفيذ خطة للسيطرة على العالم (مقابل الحصول على Tesseract، سيزود Chitauri Loki بجيش للاستيلاء على الأرض). ومع ذلك، فإن هذه المادة ليس لديها أي شيء مشترك تقريبًا مع النظرية العامة للأبعاد الأربعة.
• في الفيلم الهزلي "Deadpool يدمر عالم Marvel" الشخصية الرئيسيةبمساعدة الشرير الفائق Arcade، يستخدم tesseract للقبض على Kitty Pryde: قدراتها لا يمكن أن تساعدها على الهروب من المكعب.
• مسلسل تلفزيونى "

Tesseract (من اليونانية القديمة τέσσερες ἀκτῖνες - أربعة أشعة) هو مكعب فائق رباعي الأبعاد - وهو نظير للمكعب في الفضاء رباعي الأبعاد.
تمت صياغة كلمة tesseract واستخدامها في عام 1888 من قبل تشارلز هوارد هينتون (1853-1907) في كتابه "عصر جديد من الفكر". في وقت لاحق، أطلق بعض الناس على نفس الشكل اسم رباعي المكعب (اليونانية τετρα - أربعة) - مكعب رباعي الأبعاد.

زجاجة كلاين هي سطح محدد غير قابل للتوجيه (أي مشعب ثنائي الأبعاد). تم وصف زجاجة كلاين لأول مرة في عام 1882 من قبل عالم الرياضيات الألماني إف كلاين. ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بشريط موبيوس والمستوى الإسقاطي. يبدو أن الاسم يأتي من ترجمة خاطئة للكلمة الألمانية Fläche (السطح)، والتي في ألمانيةقريب من التهجئة لكلمة Flasche (زجاجة) ؛ ثم عاد هذا الاسم بهذا الشكل إلى الألمانية.

لبناء نموذج لزجاجة كلاين، عليك أن تأخذ زجاجة بها فتحتين: في الأسفل وفي الحائط، اسحب الرقبة للخارج، وثنيها لأسفل، وقم بتمريرها عبر الفتحة الموجودة في جدار الزجاجة (للحصول على زجاجة كلاين حقيقية في الفضاء رباعي الأبعاد ليست هناك حاجة إلى هذا الثقب، ولكن بدونه لا يمكن القيام به في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد)، متصل بالفتحة الموجودة في أسفل الزجاجة.
KleinBottle-طوبولوجيا-01.png

على عكس الزجاج العادي، ليس لهذا الجسم "حافة" حيث ينتهي السطح فجأة. على عكس منطاديمكنك الانتقال من الداخل إلى الخارج دون عبور السطح (أي، في الواقع، هذا الكائن ليس له "داخل" ولا "خارج").

يتم تعريف التسراكت العادي في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد على أنه بدن محدب من النقاط (±1، ±1، ±1، ±1).
يقتصر التسراكت على ثمانية مستويات مفرطة، يحدد تقاطعها مع التسراكت نفسه وجوهه ثلاثية الأبعاد (وهي مكعبات عادية). يتقاطع كل زوج من الوجوه غير المتوازية ثلاثية الأبعاد لتشكل وجوهًا ثنائية الأبعاد (مربعات)، وهكذا. أخيرًا، يحتوي التسراكت على 8 وجوه ثلاثية الأبعاد، و24 وجهًا ثنائي الأبعاد، و32 حرفًا، و16 رأسًا.
يمثل أحد إسقاطات tesseract على مساحة ثلاثية الأبعاد مكعبين متداخلين ثلاثي الأبعاد، وترتبط القمم المقابلة لهما بقطاعات. المكعبات الداخلية والخارجية لها أحجام مختلفة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ولكنها في الفضاء رباعي الأبعاد تكون مكعبات متساوية. لفهم المساواة بين جميع مكعبات التسراكت، تم إنشاء نموذج التسراكت الدوار.

الأهرامات الستة المقطوعة على طول حواف التسراكت هي صور لستة مكعبات متساوية. ومع ذلك، فإن هذه المكعبات عبارة عن tesseract مثل المربعات (الوجوه) بالنسبة للمكعب. لكن في الحقيقة، يمكن تقسيم التسراكت إلى عدد لا نهائي من المكعبات، كما يمكن تقسيم المكعب إلى عدد لا نهائي من المربعات، أو المربع إلى عدد لا نهائي من الأجزاء.

إسقاط آخر مثير للاهتمام للتسراكت على مساحة ثلاثية الأبعاد هو الاثني عشر وجهًا معينيًا بأقطاره الأربعة التي تربط أزواجًا من القمم المتقابلة في زوايا كبيرة من المعينات. في هذه الحالة، يتم إسقاط 14 من أصل 16 رأسًا من التسراكت في 14 رأسًا من الاثني عشر وجهًا معينيًا، وتتزامن إسقاطات القممتين المتبقيتين في مركزها. في مثل هذا الإسقاط على الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم الحفاظ على المساواة والتوازي لجميع الجوانب أحادية البعد وثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد.

Tesseract في الفن

في فيلم "New Abbott Plain" للمخرجة Edwina A، يعمل المكعب الزائد بمثابة الراوي.
في إحدى حلقات مغامرات جيمي نيوترون، اخترع جيمي "الصبي العبقري" مكعبًا فائقًا رباعي الأبعاد مطابقًا لصندوق الطي من رواية روبرت هاينلين عام 1963 طريق المجد.
ذكر روبرت إي هينلين المكعبات الزائدة، وفقًا لـ على الأقل، في ثلاث قصص خيال علمي. في "المنزل ذو الأبعاد الأربعة" (البيت الذي بني تيل، 1940) وصف منزلًا تم بناؤه على أنه قطعة أرض غير ملفوفة، وبعد ذلك، بسبب الزلزال، "انطوى" في البعد الرابع وأصبح قطعة أرض "حقيقية".
تصف رواية Heinlein Glory Road صندوقًا كبيرًا الحجم كان أكبر من الداخل منه من الخارج.
تصف قصة هنري كوتنر "All Tenali Borogov" لعبة تعليمية للأطفال من المستقبل البعيد، تشبه في هيكلها التسراكت.
في رواية أليكس جارلاند (1999)، تم استخدام مصطلح "تيسراكت" للإشارة إلى المكعب الفائق ثلاثي الأبعاد، بدلاً من المكعب الفائق نفسه. هذه استعارة تهدف إلى إظهار أن النظام المعرفي يجب أن يكون أوسع من ما يمكن معرفته.
مؤامرة المكعب 2: Hypercube تتمحور حول ثمانية غرباء محاصرين في "hypercube" أو شبكة من المكعبات المتصلة.
يستخدم المسلسل التلفزيوني أندروميدا مولدات tesseract كجهاز رسم. وهي مصممة في المقام الأول للتعامل مع المكان والزمان.
لوحة "الصلب" (Corpus Hypercubus) لسلفادور دالي (1954).
يصور الكتاب الهزلي Nextwave مركبة تتضمن 5 مناطق tesseract.
في الألبوم Voivod Nothingface، إحدى المقطوعات الموسيقية تسمى "In my Hypercube".
في رواية أنتوني بيرس Route Cube، يُطلق على أحد الأقمار التي تدور حول الجمعية الدولية للتنمية اسم tesseract الذي تم ضغطه إلى 3 أبعاد.
في مسلسل "المدرسة" الثقب الأسود"" في الموسم الثالث هناك حلقة "Tesseract". يضغط لوكاس على زر سري وتبدأ المدرسة في "التشكل مثل قطعة رياضية".
تم العثور على مصطلح "tesseract" ومشتقه "tesseract" في قصة Madeleine L'Engle "A Wrinkle in Time".
TesseracT هو اسم فرقة djent البريطانية.
في سلسلة أفلام Marvel Cinematic Universe، يعد Tesseract عنصرًا رئيسيًا في الحبكة، وهو قطعة أثرية كونية على شكل مكعب فائق.
في قصة روبرت شيكلي "الآنسة الفأر والبعد الرابع"، يحاول كاتب مقصور على فئة معينة، أحد معارف المؤلف، رؤية القطع من خلال التحديق لساعات في الجهاز الذي صممه: كرة على ساق مع قضبان ملتصقة بها، على التي يتم تركيب المكعبات عليها، ولصقها بجميع أنواع الرموز الباطنية. تذكر القصة عمل هينتون.
_______________________________