Каждый современный человек обязан знать, что такое система координат. Ежедневно мы сталкиваемся с такими системами, даже не задумываясь, что они собой представляют. Когда-то в школе мы учили базовые понятия, примерно знаем что есть ось иксов, ось игреков и точка отсчета, равная нулю. На самом деле все гораздо сложнее, существует несколько разновидностей систем координат. В статье подробно рассмотрим каждую из них, а также дадим подробное описание, где и зачем они используются.

Определение и область применения

Система координат - это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов. Совокупность чисел, которые определяют расположение конкретной точки, называют координатами этой точки. Системы координат используются во многих областях науки, например, в математике координаты являются совокупностью чисел, которые сопоставлены точкам в некоторой карте заранее определенного атласа. В геометрии координаты - это величины, которые определяют расположение точки в пространстве и на плоскости. В географии координаты обозначают широту, долготу и высоту над общим уровнем моря, океана или другой заранее известной величины. В астрономии координаты являются величинами, которые дают возможность определить положение звезды, например, склонение и прямое восхождение. Это далеко не полный перечень того, где используются системы координат. Если вы думаете, что эти понятия далеки от людей, не интересующихся наукой, то поверьте, что в быту они встречаются гораздо чаще, чем вы себе думаете. Возьмите хотя бы карту города, чем вам не система координат?

Разобравшись с определением, давайте рассмотрим, какие разновидности координатных систем существуют и что они из себя представляют.

Зональная система координат

Данную систему координат применяют в основном при различных горизонтальных съемках и составлении достоверных планов местности. В ее основу положена равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса. В этой проекции всю поверхность земного геоида делят меридианами на 6-ти градусные зоны и номеруют с 1-й по 60-ю на восток от Гринвичского меридиана. При этом средний меридиан данной 6-ти угольной зоны называют осевым. Его принято совмещать с внутренней поверхностью цилиндра и считать осью абсцисс. Для того, чтобы избежать отрицательных значений ординат (у), ординату на осевом меридиане (начальную точку отсчета) принимают не за нуль, а за 500 км, то есть перемещают на 500 км к западу. Перед ординатой обязательно указывают номер зоны.

Система координат Гаусса-Крюгера

Данная система координат берет в основу проекцию, которую предложил известный немецкий ученый Гаусс, и разработал для пользования в геодезии Крюгер. Сущность данной проекции состоит в том, что земную сферу условно делят меридианами на шестиградусные зоны. Зоны нумеруют от Гринвичского меридиана с запада на восток. Зная номер зоны, вы легко сможете определить средний меридиан, называемый осевым, по формуле Z = 60(n) – 3, где (n) – это номер зоны. Для каждой зоны делают плоское изображение, путем ее проектирования на боковую поверхность цилиндра, ось которого находится перпендикулярно к земной оси. Затем этот цилиндр пошагово развертывают на плоскость. Экватор и осевой меридиан изображают прямыми линиями. Осью абсцисс в каждой зоне является осевой меридиан, а экватор выполняет роль оси ординат. Начальной точкой отсчета служит точка пересечения экватора и осевого меридиана. Абсциссы отсчитывают к северу от экватора только со знаком плюс и к югу от экватора только со знаком минус.

Полярная система координат на плоскости

Это двумерная система координат, каждая точка в которой определяется на плоскости двумя числами - полярным радиусом и полярным углом. Полярная система координат полезна в тех случаях, когда взаимосвязь между точками проще представить в виде углов и радиусов. Полярную систему координат задают лучом, называющимся полярной или нулевой осью. Точка, из которой выходит данный луч, называют полюсом или началом координат. Произвольная точка на плоскости определяется лишь двумя полярными координатами: угловой и радиальной. Радиальная координата равняется расстоянию от точки до начала системы координат. Угловая координата равна углу, на который необходимо против часовой стрелки повернуть полярную ось, чтобы попасть в точку.

Прямоугольная система координат

Что такое прямоугольная система координат вам наверняка известно еще со школьной скамьи, но все же, давайте вспомним еще разок. Прямоугольная система координат – это такая прямолинейная система, в которой оси расположены в пространстве или на плоскости и взаимно перпендикулярны между собой. Это самая простая и часто используемая система координат. Она прямо и довольно легко обобщается для пространств с любой размерностью, что также способствует ее широчайшему применению. Положение точки на плоскости определяют двумя координатами - икс и игрек, соответственно имеется ось абсцисс и ординат.

Декартовая система координат

Поясняя, что такое декартова система координат, в первую очередь необходимо сказать, что это частный случай прямоугольной системы координат, в котором по осям установлены одинаковые масштабы. В математике чаще всего рассматривают двухмерную или трехмерную декартовую систему координат. Координаты обозначают латинскими буквами x, y, z и называют, абсциссой, ординатой и аппликатой соответственно. Координатную ось (OX) обычно называют осью абсцисс, ось (OY) – осью ординат, а ось (OZ) – осью аппликат.

Теперь вы знаете, что такое система координат, какими они бывают и где используются.

Топографическое изучение земной поверхности заключается в определении положения ситуации и рельефа относительно математической поверхности Земли, т.е. в определении пространственных координат характерных точек, необходимых и достаточных для моделирования местности. Модель местности может быть представлена в виде геодезических чертежей, изготовление которых называют картографированием, и аналитически – в виде совокупности координат характерных точек. Для построения моделей местности в геодезии применяют метод проекций и различные системы координат.

Метод горизонтальной проекции заключается в том, что изучаемые точки (A, B, C, D, E ) местности с помощью вертикальных (отвесных) линии проектируются на уровенную поверхностьУ (рис. 5), в результате чего получают горизонтальные проекции этих точек (a, b, c, d, e ). ОтрезкиАa, Bb, Cc, Dd, Ee называются высотами точек, а численные их значения – отметками.

Высота точки является одной из её пространственных координат. Отметка называется абсолютной, если в качестве уровенной поверхности принимается геоид, и относительной или условной, если для этого принимается произвольная уровенная поверхность.

Рис. 5. Проектирование точек местности на уровенную поверхность Земли

Две другие недостающие координаты точки определяются с помощью системы координат, построенной на математической поверхности Земли (рис. 6).

Через любую точку поверхности референц-эллипсоида можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости:

плоскость геодезического меридиана – плоскость, проходящая через ось вращения ЗемлиPP" ;

плоскость геодезической широты , которая перпендикулярна плоскости геодезического меридиана.

Следы сечения поверхности референц-эллипсоида этими плоскостями называют меридианом (М ) и параллелью .

Меридиан , проходящий через астрономическую обсерваторию в Гринвиче, называетсяначальным илинулевым (М 0 ).

Параллель , плоскость которой проходит через центр ЗемлиO , называетсяэкватором (Э ).

Плоскость , проходящая через центр ЗемлиO перпендикулярно к её оси вращенияPP" , называетсяэкваториальной .

Основой для всех систем координат являются плоскости меридиана и экватора.

Рис. 6. Система географических координат Рис. 7. Система геодезических координат

Системы координат подразделяются на угловые, линейные и линейно – угловые.

Примером угловых координат являются географические координаты (рис.6): широта  и долгота . Вдоль соответствующих параллели и меридиана широта и долгота точек постоянны.

В геодезии применяются следующие системы координат:

геодезические;

астрономические;

географические;

плоские прямоугольные геодезические (зональные);

полярные;

Геодезические координаты

Геодезические координаты определяют положение точки земной поверхности на референц-эллипсоиде (рис.7).

Геодезическая широта B – угол, образованный нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора. Широта отсчитывается от экватора к северу или югу от 0° до 90° и соответственно называется северной или южной широтой.

Геодезическая долгота L – двугранный угол между плоскостями геодезического меридиана данной точки и начального геодезического Гринвичского меридиана.

Долготы точек, расположенных к востоку от начального меридиана, называются восточными, а к западу – западными.

Астрономические координаты (для геодезии)

Астрономическая широта  и долгота определяют положение точки земной поверхности относительно экваториальной плоскости и плоскости начального астрономического меридиана (рис.8).

Рис. 8. Система астрономических координат Рис. 9. Система географических координат

Астрономическая широта 

Астрономическая долгота  – двугранный угол между плоскостями астрономического меридиана данной точки и начального астрономического меридиана.

Плоскостью астрономического меридиана является плоскость, проходящая через отвесную линию в данной точке и параллельная оси вращения Земли.

Астрономическая широта  и долгота определяются астрономическими наблюдениями.

Геодезические и астрономические координаты отличаются (имеют расхождение) из-за отклонения отвесной линии от нормали к поверхности эллипсоида. При составлении географических карт этим отклонением пренебрегают.

Географические координаты

Географические координаты – величины, обобщающие две системы координат: геодезическую и астрономическую, используют в тех случаях, когда отклонение отвесных линий от нормали к поверхности не учитывается (рис.9).

Географическая широта  – угол, образованный отвесной линией в данной точке и экваториальной плоскостью.

Географическая долгота  – двугранный угол между плоскостями меридиана данной точки с плоскостью начального меридиана.

Плоские прямоугольные геодезические координаты (зональные).

При решении инженерно-геодезических задач в основном применяют плоскую прямоугольную геодезическую и полярную системы координат.

Для определения положения точек в плоской прямоугольной геодезической системе координат используют горизонтальную координатную плоскость ХОУ (рис. 10), образованную двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Одну из них принимают за ось абсциссX , другую – за ось ординатY , точку пересечения осейО – за начало координат.

Рис. 10. Плоская прямоугольная система координат

И
зучаемые точки проектируют с математической поверхности Земли на координатную плоскостьХОУ . Так как сферическая поверхность не может быть спроектирована на плоскость без искажений (без разрывов и складок), то при построении плоской проекции математической поверхности Земли принимается неизбежность данных искажений, но при этом их величины должным образом ограничивают. Для этого применяется равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера (проекция названа по имени немецких ученых, предложивших данную проекцию и разработавших формулы для её применения в геодезии), в которой математическая поверхность Земли проектируется на плоскость по участкам – зонам, на которые вся земная поверхность делится меридианами через 6° или 3°, начиная с начального меридиана (рис. 11).

Рис. 11. Деление математической поверхности Земли на шестиградусные зоны

В пределах каждой зоны строится своя прямоугольная система координат. С этой целью все точки данной зоны проецируются на поверхность цилиндра (рис. 12, а), ось которого находится в плоскости экватора Земли, а его поверхность касается поверхности Земли вдоль среднего меридиана зоны, называемого осевым. При этом соблюдается условие сохранения подобия фигур на земле и в проекции при малых размерах этих фигур.

Рис. 12. Равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера (а) и зональная система координат (б):

1 – зона, 2 – координатная сетка, 3 – осевой меридиан, 4 – проекция экватора на поверхность цилиндра, 5 – экватор,

6 – ось абсцисс – проекция осевого меридиана, 7 – ось ординат – проекция экватора

После проектирования точек зоны на цилиндр, он развертывается на плоскость, на которой изображение проекции осевого меридиана и соответствующего участка экватора будет представлена в виде двух взаимно перпендикулярных прямых (рис. 12, б). Точка пересечения их принимается за начало зональной плоской прямоугольной системы координат, изображение северного направления осевого меридиана – за положительную ось абсцисс, а изображение восточного направления экватора – за положительное направление оси ординат.

Для всех точек на территории нашей страны абсциссы имеют положительное значение. Чтобы ординаты точек также были только положительными, в каждой зоне ординату начала координат принимают равной 500 км (рис. 12, б). Таким образом, точки, расположенные к западу от осевого меридиана, имеют ординаты меньше 500 км, а к востоку – больше 500 км. Эти ординаты называют преобразованными.

На границах зон в пределах широт от 30° до 70° относительные ошибки, происходящие от искажения длин линий в этой проекции, колеблются от 1: 1000 до 1: 6000. Когда такие ошибки недопустимы, прибегают к трехградусным зонам.

На картах, составленных в равноугольной картографической проекции Гаусса – Крюгера, искажения длин в различных точках проекции различны, но по разным направлениям, выходящим из одной и той же точки, эти искажения будут одинаковы. Круг весьма малого радиуса, взятый на уровенной поверхности, изобразится в этой проекции тоже кругом. Поэтому говорят, что рассматриваемая проекция конформна, т. е. сохраняет подобие фигур на сфере и в проекции при весьма малых размерах этих фигур. Таким образом, изображения контуров земной поверхности в этой проекции весьма близки к тем, которые получаются.

Четверти прямоугольной системы координат нумеруются. Их счет идет по ходу стрелки от положительного направления оси абсцисс (рис.13).

Рис. 13. Четверти прямоугольной системы координат

Если за начало плоской прямоугольной системы координат принять произвольную точку, то она будет называться относительной или условной.

Полярные координаты

При выполнении съемочных и разбивочных геодезических работ часто применяют полярную систему координат (рис.14). Она состоит из полюса О и полярной осиОР , в качестве которых принимается прямая с известным началом и направлением.

Рис. 14. Полярная система координат

Для определения положения точек в данной системе используют линейно-угловые координаты: угол β , отсчитываемый по часовой стрелке от полярной осиОР до направления на горизонтальную проекцию точкиА" , и полярное расстояниеr от полюса системыО до проекцииА" .

Системы высот

Высота точки является третьей координатой, определяющей её положение в пространстве.

В геодезии для определения отметок точек применяются следующие системы высот (рис.15):

ортометрическая (абсолютная);

геодезическая;

нормальная (обобщенная);

относительная (условная).

Рис. 15. Системы высот в геодезии

Ортометрическая (абсолютная) высота H о – расстояние, отсчитываемое по направлению отвесной линии от поверхности геоида до данной точки.

Геодезическая высота H г – расстояние, отсчитываемое по направлению нормали от поверхности референц-эллипсоида до данной точки.

В нормальной системе высот отметка точкиH н отсчитывается по направлению отвесной линии от поверхностиквазигеоида , близкой к поверхности геоида.

Квазигеоид («якобы геоид») – фигура, предложенная в 1950-х г.г. советским учёным М.С. Молоденским в качестве строгого решения задачи определения фигуры Земли. Квазигеоид определяется по измеренным значениям потенциалов силы тяжести согласно положениям теории М.С. Молоденского.

В нашей стране все высоты реперов государственной нивелирной сети определены в нормальной системе высот. Это связано с тем, что положение геоида под материками определить сложно. Поэтому с конца 40-х годов в СССР было принято решение не применять ортометрическую систему высот.

В России абсолютные высоты точек определяются в Балтийской системе высот (БСВ) относительнонуля Кронштадтского футштока – горизонтальной черты на медной пластине, прикрепленной к устою моста через обводной канал в г. Кронштадте.

Относительная высота H у – измеряется от любой другой поверхности, а не от основной уровенной поверхности.

Местная система высот – Тихоокеанская, её уровенная поверхность ниже нуля Кронштадтского футштока на 1873 мм.

Форма и размеры земли. системы координат. Высоты.

2.1. Форма и размеры Земли

Изучение формы и размеров Земли включает решение двух задач. Это - установление некоторой сглаженной, обобщенной, теоретической фигуры Земли и определение отклонений от нее фактической физической поверхности.

Учитывая, что поверхность океанов и морей составляет 71% поверхности Земли, а поверхность суши - только 29%, за теоретическую фигуру Земли принято тело, ограниченное поверхностью океанов в их спокойном состоянии, продолженной и под материками, и называемое геоидом .

Поверхность, в каждой своей точке перпендикулярная к отвесной линии (направлению силы тяжести), называется уровенной поверхностью . Из множества уpовенных поверхностей одна совпадает с поверхностью геоида.

Из-за неравномерности распределения масс в земной коре геоид имеет неправильную геометрическую форму, и его поверхность нельзя выразить математически, что необходимо для решения геодезических задач. При решении геодезических задач геоид заменяют близкими к нему геометрически правильными поверхностями.

Так, для приближенных вычислений Землю принимают за шар с радиусом 6371 км.

Ближе к форме геоида подходит эллипсоид – фигура, получаемая вращением эллипса (рис. 2.1) вокруг его малой оси. Размеры земного эллипсоида характеризуют следующими основными параметрами: a - большая полуось, b - малая полуось, a - полярное сжатие и e – первый эксцентриситет меридианного эллипса, где и .

Различают общеземной эллипсоид и референц-эллипсоид.

Центр общеземного эллипсоида помещают в центре масс Земли, ось вращения совмещают со средней осью вращения Земли, а размеры принимают такие, чтобы обеспечить наибольшую близость поверхности эллипсоида к поверхности геоида. Общеземной эллипсоид используют при решении глобальных геодезических задач, и в частности, при обработке спутниковых измерений. В настоящее время широко пользуются двумя общеземными эллипсоидами: ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г, Россия) и WGS-84 (Мировая геодезическая система 1984 г, США).

Референц-эллипсоид – эллипсоид, принятый для геодезических работ в конкретной стране. С референц-эллипсоидом связана принятая в стране система координат. Параметры референц-эллипсоида подбираются под условием наилучшей аппроксимации данной части поверхности Земли. При этом совмещения центров эллипсоида и Земли не добиваются.

В России с 1946 г. в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского с параметрами: а = 6 378 245 м, a = 1/ 298,3.

2.2. Системы координат, применяемые в геодезии

Для определения положения точек в геодезии применяют пространственные прямоугольные, геодезические и плоские прямоугольные координаты.

Пространственные прямоугольные координаты . Начало системы координат расположено в центре O земного эллипсоида (рис. 2.2).

Ось Z направлена по оси вращения эллипсоида к северу. Ось Х лежит в пересечении плоскости экватора с начальным - гринвичским меридианом. Ось Y направлена перпендикулярно осям Z и X на восток.

Геодезические координаты . Геодезическими координатами точки являются ее широта, долгота и высота (рис. 2.2).

Геодезической широтой точки М называется угол В , образованный нормалью к поверхности эллипсоида, проходящей через данную точку, и плоскостью экватора.

Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0° до 90° и называется северной или южной. Северную широту считают положительной, а южную - отрицательной.

Плоскости сечения эллипсоида, проходящие через ось OZ , называются геодезическими меридианами .

Геодезической долготой точки М называется двугранный угол L , образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического меридиана и геодезического меридиана данной точки.

Долготы отсчитывают от начального меридиана в пределах от 0° до 360° на восток, или от 0° до 180° на восток (положительные) и от 0° до 180° на запад (отрицательные).

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью земного эллипсоида.

Геодезические координаты с пространственными прямоугольными координатами связаны формулами

X = (N + H ) cosB cosL ,

Y = (N+H ) cosB sinL ,

Z = [(1 - e 2 ) N+H ] sinB ,

где e - первый эксцентриситет меридианного эллипса и N - радиус кривизны первого вертикала. При этом N=a/ (1 - e 2 sin 2 B ) 1/2 .

Геодезические и пространственные прямоугольные координаты точек определяют с помощью спутниковых измерений, а также путем их привязки геодезическими измерениями к точкам с известными координатами.

Отметим, что наряду с геодезическими существуют еще астрономические широта и долгота. Астрономическая широта j это - угол, составленный отвесной линией в данной точке с плоскостью экватора. Астрономическая долгота l – угол между плоскостями Гринвичского меридиана и проходящего через отвесную линию в данной точке астрономического меридиана. Астрономические координаты определяют на местности из астрономических наблюдений.

Астрономические координаты отличаются от геодезических потому, что направления отвесных линий не совпадают с направлениями нормалей к поверхности эллипсоида. Угол между направлением нормали к поверхности эллипсоида и отвесной линией в данной точке земной поверхности называется уклонением отвесной линии .

Обобщением геодезических и астрономических координат является термин – географические координаты .

Плоские прямоугольные координаты . Для решения задач инженерной геодезии от пространственных и геодезических координат переходят к более простым – плоским координатам, позволяющим изображать местность на плоскости и определять положение точек двумя координатами х и у .

Поскольку выпуклую поверхность Земли изобразить на плоскости без искажений нельзя, введение плоских координат возможно только на ограниченных участках, где искажения так малы, что ими можно пренебречь. В России принята система прямоугольных координат, основой которой является равноугольная поперечно–цилиндрическая проекция Гаусса. Поверхность эллипсоида изображается на плоскости по частям, называемым зонами. Зоны представляют собой сферические двуугольники, ограниченные меридианами, и простирающиеся от северного полюса до южного (рис. 2.3). Размер зоны по долготе равен 6°. Центральный меридиан каждой зоны называется осевым. Нумерация зон идет от Гринвича к востоку.

Долгота осевого меридиана зоны с номером N равна:

l 0 = 6°× N - 3° .

Осевой меридиан зоны и экватор изображаются на плоскости прямыми линиями (рис. 2.4). Осевой меридиан принимают за ось абсцисс x , а экватор - за ось ординат y. Их пересечение (точка O ) служит началом координат данной зоны.

Чтобы избежать отрицательных значений ординат, координаты пересечения принимают равными x 0 = 0, y 0 = 500 км, что равносильно смещению оси х к западу на 500 км.

Чтобы по прямоугольным координатам точки можно было судить, в какой зоне она расположена, к ординате y слева приписывают номер координатной зоны.

Пусть например, координаты точки А имеют вид:

x А = 6 276 427 м

y А = 12 428 566 м

Эти координаты указывают на то, что точка А находится на расстоянии 6276427 м от экватора, в западной части (y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.

Для пространственных прямоугольных, геодезических и плоских прямоугольных координат в России принята единая система координат СК-95, закрепленная на местности пунктами государственной геодезической сети и построенная по спутниковым и наземным измерениям по состоянию на эпоху 1995 г.

Местные системы прямоугольных координат. При строительстве различных объектов часто используют местные (условные) системы координат, в которых направления осей и начало координат назначают, исходя из удобства их использования в ходе строительства и последующей эксплуатации объекта.

Так, при съемке железнодорожной станции ось у направляют по оси главного железнодорожного пути в направлении возрастания пикетажа, а ось х – по оси здания пассажирского вокзала.

При строительстве мостовых переходов ось х обычно совмещают с осью моста, а ось y идет в перпендикулярном направлении.

При строительстве крупных промышленных и гражданских объектов оси x и y направляют параллельно осям строящихся зданий.

2.3. Системы высот

Счет высот в инженерной геодезии ведут от одной из уровенных поверхностей.

Высотой точки называют расстояние по отвесной линии от точки до уровенной поверхности, принятой за начало счета высот.

Если высоты отсчитывают от основной уровенной поверхности, то есть от поверхности геоида, их называют абсолютными высотами Аа и Вв - абсолютные высоты точек А и В .

Если за начало счета высот выбрана какая-либо другая уровенная поверхность, то высоты называют условными . На рис. 2.5 отрезки отвесных линий Аа ¢ и Вв ¢ - условные высоты точек А и В .

В России принята Балтийская система высот. Счет абсолютных высот ведут от уровенной поверхности, проходящей через нуль Кронштадтского футштока .

Численное значение высоты принято называть отметкой. Например, если высота точки А равна H А = 15,378 м, то говорят, что отметка точки равна 15,378 м.

Разность высот двух точек называется превышением . Так, превышение точки В над точкой А равно

h AB = H В - H A .

Зная высоту точки А , для определения высоты точки В на местности измеряют превышение h AB . Высоту точки В вычисляют по формуле

H В = H A + h AB .

Измерение превышений и последующее вычисление высот точек называется нивелированием.

Абсолютную высоту точки следует отличать от ее геодезической высоты, то есть высоты, отсчитываемой от поверхности земного эллипсоида (см. раздел 2.2). Геодезическая высота отличается от абсолютной высоты на величину отклонения поверхности геоида от поверхности эллипсоида.

В заключение отметим, что точное определение положения поверхности геоида в области материков невозможно. Поэтому в России принято отсчитывать высоты от близкой к геоиду, но доступной точному определению вспомогательной поверхности, названной квазигеоидом . Высоты, отсчитываемые от поверхности геоида, называются ортометрическими высотами, а отсчитываемые от поверхности квазигеоида – нормальными высотами. На результаты измерений, выполняемых в инженерной геодезии, различия в двух названных системах высот влияния не оказывают, и в дальнейшем мы их различать не будем, а будем пользоваться введенным выше обобщенным понятием – абсолютные высоты.

Последние материалы

• Основные закономерности татического деформирования грунтов

  За последние 15...20 лет в результате многочисленных экспериментальных исследований с применением рассмотренных выше схем испытаний получены обширные данные о поведении грунтов при сложном напряженном состоянии. Поскольку в настоящее время в…

• Упругопластическое деформирование среды и поверхности нагружения

  Деформации упругопластических материалов, в том числе и грунтов, состоят из упругих (обратимых) и остаточных (пластических). Для составления наиболее общих представлений о поведении грунтов при произвольном нагружении необходимо изучить отдельно закономерности…

• Описание схем и результатов испытаний грунтов с использованием инвариантов напряженного и деформированного состояний

  При исследовании грунтов, как и конструкционных материалов, в теории пластичности принято различать нагружение и разгрузку. Нагружением называют процесс, при котором происходит нарастание пластических (остаточных) деформаций, а процесс, сопровождающийся изменением (уменьшением)…

• Инварианты напряженного и деформированного состояний грунтовой среды

  Применение инвариантов напряженного и деформированного состояний в механике грунтов началось с появления и развития исследований грунтов в приборах, позволяющих осуществлять двух- и трехосное деформирование образцов в условиях сложного напряженного состояния…

• О коэффициентах устойчивости и сопоставление с результатами опытов

  Так как во всех рассмотренных в этой главе задачах грунт считается находящимся в предельном напряженном состоянии, то все результаты расчетов соответствуют случаю, когда коэффициент запаса устойчивости к3 = 1. Для…

• Давление грунта на сооружения

  Особенно эффективны методы теории предельного равновесия в задачах определения давления грунта на сооружения, в частности подпорные стенки. При этом обычно принимается заданной нагрузка на поверхности грунта, например, нормальное давление р(х), и…

• Несущая способность оснований

  Наиболее типичной задачей о предельном равновесии грунтовой среды является определение несущей способности основания под действием нормальной или наклонной нагрузок. Например, в случае вертикальных нагрузок на основании задача сводится к тому…

• Процесс отрыва сооружений от оснований

  Задача оценки условий отрыва и определения требуемого для этого усилия возникает при подъеме судов, расчете держащей силы «мертвых» якорей, снятии с грунта морских гравитационных буровых опор при их перестановке, а…

• Решения плоской и пространственной задач консолидации и их приложения

  Решений плоской и тем более пространственных задач консолидации в виде простейших зависимостей, таблиц или графиков очень ограниченное число. Имеются решения для случая приложения к поверхности двухфазного грунта сосредоточенной силы (В…

Для решения большинства задач в прикладных науках необходимо знать местоположение объекта или точки, которое определяется с помощью применения одной из принятых систем координат. Кроме того, имеются системы высот, которые также определяют высотное местонахождение точки на

Что такое координаты

Координаты - числовые или буквенные значения, с помощью которых можно определить место, где расположена точка на местности. Как следствие, система координат - это совокупность однотипных значений, имеющих одинаковый принцип нахождения точки или объекта.

Нахождение местоположения точки требуется для решения многих практических задач. В такой науке, как геодезия, определение местонахождения точки в заданном пространстве - главная цель, на достижении которой строится вся последующая работа.

Большинство систем координат, как правило, определяют расположение точки на плоскости, ограниченной только двумя осями. Для того чтобы определить позицию точки в трехмерном пространстве, применяется также система высот. С ее помощью можно узнать точное местонахождение искомого объекта.

Кратко о системах координат, применяемых в геодезии

Системы координат определяют местоположение точки на территории задавая ей три значения. Принципы их расчета различны для каждой координатной системы.

Основные пространственные системы координат, применяемые в геодезии:

1. Геодезические.
2. Географические.
3. Полярные.
4. Прямоугольные.
5. Зональные координаты Гаусса-Крюгера.

Все системы имеют свою начальную точку отсчета, величины для местонахождения объекта и области применения.

Геодезические координаты

Основной фигурой, применяемой для отсчета геодезических координат, является земной эллипсоид.

Эллипсоид - трехмерная сжатая фигура, которая наилучшим образом представляет собой фигуру земного шара. Ввиду того что земной шар - математически неправильная фигура, вместо нее для определения геодезических координат используют именно эллипсоид. Это облегчает осуществление многих расчетов для определения положения тела на поверхности.

Геодезические координаты определяются тремя значениями: геодезической широтой, долготой и высотой.

1. Геодезическая широта - это угол, начало которого лежит на плоскости экватора, а конец - у перпендикуляра, проведенного к искомой точке.
2. Геодезическая долгота - это угол, который отсчитывают от нулевого меридиана до меридиана, на котором находится искомая точка.
3. Геодезическая высота - величина нормали, проведенной к поверхности эллипсоида вращения Земли от данной точки.

Географические координаты

Для решения высокоточных задач высшей геодезии необходимо различать геодезические и географические координаты. В системе, применяемой в инженерной геодезии, таких различий, ввиду небольшого пространства, охватываемого работами, как правило, не делают.

Для определения геодезических координат в качестве плоскости отсчета используют эллипсоид, а для определения географических - геоид. Геоид является математически неправильной фигурой, более приближенной к фактической фигуре Земли. За его уровненную поверхность принимают ту, что продолжена под уровнем моря в его спокойном состоянии.

Географическая система координат, применяемая в геодезии, описывает позицию точки в пространстве с указанием трех значений. долготы совпадает с геодезической, так как точкой отсчета также будет называемый Гринвичским. Он проходит через одноименную обсерваторию в городе Лондоне. определяется от экватора, проведенного на поверхности геоида.

Высота в системе местных координат, применяемой в геодезии, отсчитывается от уровня моря в его спокойном состоянии. На территории России и стран бывшего Союза отметкой, от которой производят определение высот, является Кронштадтский футшток. Он расположен на уровне Балтийского моря.

Полярные координаты

Полярная система координат, применяемая в геодезии, имеет другие нюансы произведения измерений. Она применяется на небольших участках местности для определения относительного местоположения точки. Началом отсчета может являться любой объект, отмеченный как исходный. Таким образом, с помощью полярных координат нельзя определить однозначное местонахождение точки на территории земного шара.

Полярные координаты определяются двумя величинами: углом и расстоянием. Угол отсчитывается от северного направления меридиана до заданной точки, определяя ее положение в пространстве. Но одного угла будет недостаточно, поэтому вводится радиус-вектор - расстояние от точки стояния до искомого объекта. С помощью этих двух параметров можно определить местоположение точки в местной системе.

Как правило, эта система координат используется для выполнения инженерных работ, проводимых на небольшом участке местности.

Прямоугольные координаты

Прямоугольная система координат, применяемая в геодезии, также используется на небольших участках местности. Главным элементом системы является координатная ось, от которой происходит отсчет. Координаты точки находятся как длина перпендикуляров, проведенных от осей абсцисс и ординат до искомой точки.

Северное направление оси Х и восточное оси У считаются положительными, а южное и западное - отрицательными. В зависимости от знаков и четвертей определяют нахождение точки в пространстве.

Координаты Гаусса-Крюгера

Координатная зональная система Гаусса-Крюгера схожа с прямоугольной. Различие в том, что она может применяться для всей территории земного шара, а не только для небольших участков.

Прямоугольные координаты зон Гаусса-Крюгера, по сути, являются проекцией земного шара на плоскость. Она возникла в практических целях для изображения больших участков Земли на бумаге. Искажения, возникающие при переносе, считаются незначительными.

Согласно этой системе, земной шар делится по долготе на шестиградусные зоны с осевым меридианом посередине. Экватор находится в центре по горизонтальной линии. В итоге насчитывается 60 таких зон.

Каждая из шестидесяти зон имеет собственную систему прямоугольных координат, отсчитываемую по оси ординат от Х, а по оси абсцисс - от участка земного экватора У. Для однозначного определения местоположения на территории всего земного шара перед значениями Х и У ставят номер зоны.

Значения оси Х на территории России, как правило, являются положительными, в то время как значения У могут быть и отрицательными. Для того чтобы избежать знака минус в величинах оси абсцисс, осевой меридиан каждой зоны условно переносят на 500 метров на запад. Тогда все координаты становятся положительными.

Система координат была предложена Гауссом в качестве возможной и рассчитана математически Крюгером в середине двадцатого века. С тех пор она используется в геодезии в качестве одной из основных.

Система высот

Системы координат и высот, применяемые в геодезии, используются для точного определения положения точки на территории Земли. Абсолютные высоты отсчитываются от уровня моря или другой поверхности, принятой за исходную. Кроме того, имеются относительные высоты. Последние отсчитываются как превышение от искомой точки до любой другой. Их удобно применять для работы в местной системе координат с целью упрощения последующей обработки результатов.

Применение систем координат в геодезии

Помимо вышеперечисленных, имеются и другие системы координат, применяемые в геодезии. Каждая из них имеет свои преимущества и недостатки. Есть также свои области работы, для которых актуален тот или иной способ определения местоположения.

Именно цель работы определяет, какие системы координат, применяемые в геодезии, лучше использовать. Для работы на небольших территориях удобно использовать прямоугольную и полярную системы координат, а для решения масштабных задач необходимы системы, позволяющие охватить всю территорию земной поверхности.

Система координат - способ задания точек пространства с помощью чисел . Количество чисел, необходимых для однозначного определения любой точки пространства, определяет его размерность. Обязательным элементом системы координат является начало координат - точка, от которой ведется отсчет расстояний. Другим обязательным элементом является единица длины, которая позволяет отсчитывать расстояния. Все точки одномерного пространства можно задать при выбранном начала координат одним числом. Для двумерного пространства необходимы два числа, для трехмерного - три. Эти числа называются координатами.

1. История

Развитие систем координат в истории человечества связан как с математическими задачами, так и с практическими проблемами искусства навигации , опиравшейся на картографию и астрономию . Известную систему координат, прямоугольную, предложил Рене Декарт в году. Понятие о полярную систему координат в европейской математике сложилось примерно в эти времена, но первые увляння о ней существовали еще в Древней Греции , в в средневековых арабских математиков, которые разрабатывали методы расчета направлении Каабу .

Становление понятия систем координат привело к развитию новых разделов геометрии: аналитической , проективной , начертательной .

2. Декартова система координат

Наиболее распространенной системой координат в математике есть декартова система координат , названная так в честь Рене Декарта . Декартова система координат задается началом координат и тремя векторами , которые определяют направление координатных осей . Каждая точка пространства задается числами, доринюють расстоянии от данной точки до координатных плоскостей.

Координаты декартовой системы на полощини принято обозначать , В пространстве .

Различные декартовы системы координат связаны между собой аффинные преобразования : смещением и поворотами.

3. Криволинейные системы координат

Исходя из декартовой системы координат, можно определить криволину систему координат, то есть, например, для трехмерного пространства числа , Связанных с декартовыми координатами спивидношеннямы:

,

где все функции однозначны и непрерывно дифференцированные, причем якобиан :

.

Примером криволинейной системы координат на плоскости является полярная система координат , в которой положение точки задается двумя числами: расстоянием между точкой и началом координат, и углом между лучом, который соединяет начало координат с точкой и выбранной осью. Декартовы и полярные координаты точки связаны между собой формулами:

, ,

Для трехмерного пространства популярные цилиндрическая и сферическая системы координат . Так, положение самолета в пространстве можно задать тремя числами: высотой, расстоянием до точки на поверхности Земли, над которой он пролетает, и углом между направлением на самолет и направлением на север. Такое задание соответствует цилиндрической системе координат, Альтернативно, положения самолета можно задать расстоянием до него и двумя углами: полярным и азимутальные. Такое задание соответствует сферической системе координат.

Разнообразие систем координат не исчерпывается приведенными. Существует очень много криволинейных систем координат, удобных для использования при решении той или иной математической задачи.

3.1. Свойства

Каждое из уравнений , Задает координатную плоскость. Пересечение двух координатных плоскостей с различными i задает координатную линию. Каждая точка пространства определяется пересечением трех координатных плоскостей.

Важными характеристиками криволинейных систем координат является длина элемента дуги и элемента объема в них. Эти величины используются при интегрировании. Длина элемента дуги задается квадратичной формой:

,

Являются компонентами метрического тензора .

Элемент объема равен в криволинейной системе координат

.

Квадрат якобиана равен детерминанту от метрического тензора:

.

Система координат называется правой, если касаются координатных линий, направлены в сторону роста соответствующих координат, образуют правую тройку векторов .

При описании векторов в криволинейной системе координат удобно пользоваться локальным базизом, определенным в каждой точке.

4. В географии

6. В физике

Описуюючы движение физических тел , физика использует понятие